常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 本章讨论常微分方程初值问题数值解法，主要是差分法。解微分方程的所谓差分法的要点如下：首先是区域的离散，即将连续的求解区域离散化成有限个网格点。其次是方程的离散，例如用差商代替微商，或者对微分方程积分使之变成积分方程，然后数值积分，或者……。最后得到网格点上的近似解所满足的一个差分方程，解之即得差分解。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数 满足 （i.1a） (i.1b) 其中 是定义在区域 : , 上的函数， 和 是给定的常数。我们假设 对 满足Lipschitz条件，即存在常数 使得 （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法--差分 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。先来讨论最简单的Euler法。为此，首先将求解区域 离散化为若干个离散点： （i.3） 其中 ， 称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在 处，在（i.1a）中用向前差商 代替微商 ，便得 如果忽略误差项 ，再换个记号，用 代替 便得到 一般地，我们有 （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值 出发，由上式可以依次算出 上的差分解 。 下面我们用数值积分法重新导出 Euler法以及其它几种方法。为此，在区间 上积分常微分方程（i.1a），得 （i.5） 用各种数值积分公式计算（i.5）中的积分，便导致各种不同的差分法。例如，若用左矩形公式就得到 Euler 法（i.4）。如果用右矩形公式，便得到下面的： （i.6） 类似地，如果用梯形公式，就得到 (i.7) 当 关于 是非线性函数的时候，不能由（i.6）和(i.7)从 直接算出 ，称这一类方法为隐式，通常采用某种迭代法求解。例如，将一般的隐式方法写成 (i.8) 则可以利用如下的迭代法由 算出 ： (i.9) 关于 的迭代通常只需进行很少几步就可以满足精度 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 了。 为了避免对隐式方法进行迭代的麻烦，比如说对于改进的Euler方法（i .7），可以采用某种预估法近似算出 ，然后再用（i .7）作校正，这就导致所谓预估校正法。下面给出一个例子： （i.10） 这是一个多步法，即计算节点 上的近似值 时，除了用到前一点的近似值 之外，还要用到 ，甚至可能用到 。而用前面的各种Euler法计算节点 上的近似值 时，只用到 ，因此称之为单步法。 下面给出另一个多步法的例子。在区间 上积分（i.1a），得 用Simpson公式(即把被积函数看作二次函数)近似计算积分，便得到 （i.11） 用多步法（i.10）或（i.11）计算时，必须先用某种单步法由 计算出 ，称为造表头。然后再逐次算出 。 一般说来，多步法比Euler法等简单的单步法精度要高一些。下面我们讨论一类所谓Ronge-Kutta法。他们是单步法，但是其精度可以与多步法比美。最常用的是下面的标准Ronge-Kutta法和Gear法： （i.12） (i.13) 从几何上， Ronge-Kutta法可以粗略地解释为：在区间 中选取若干个点(可以重复) ，仅仅利用在区间 内可以得到的所有信息，依次给出函数 在这些点上尽可能精确的的近似值 ，然后把它们组合起来，尽可能精确地近似计算（i.5）中的积分。 Ronge-Kutta法一般的构造方式如下。选定常数 ，令 （i.14） 选取这些待定常数 的原则是：将（i.14）在 作Taylor展开，然后按照 的幂重新整理，使得 （i.15） 与微分方程（i.1a）的解 在 处的Taylor展式 （i.16） 有尽可能多的项重合，即要求 这里 等等。 按照（i.14）构造出的都是显式Runge-Kutta方法, 在每一个 的表达式中只出现 。如果允许在某一个 的表达式中出现 ，则可以导出隐式Runge-Kutta方法。 i.2 常微分方程组与高阶常微分方程 先来考虑下面的常微分方程组初值问题 (i.17) 利用向量记号,上式可以改写为 (i.18) 上节中各方法都可以直接应用到常微分方程组(i.18)。例如，Euler方法成为 再来考虑高阶常微分方程 (i.19) 这时,可以令 (i.20) (i.21) (i.22) 于是可以把高阶常微分方程(i.19)化成一阶常微分方程组(i.18)。 i.3 收敛性与稳定性 截断误差 粗略地说，截断误差可以定义为将微分方程解带入到差分方程后得到的误差，代表了微分方程与差分方程之间的误差。例如，由Taylor展式和微分方程(i.1a)得到 其中 是区间 上某个常数。与Euler法 相比较， 定义余项 为Euler法的截断误差，它关于 是2阶的，记为 。将上节中讨论的单步法写成一般形式 ，则可以定义截断误差为 。对于每一个差分法在适当的点（例如 ， 或者 ）作Taylor展开，就可以得到截断误差的阶。对多步法可以类似处理。上节中各方法的截断误差阶分别为： 表i.1 常微分方程差分法的截断误差阶 差分法 Euler 隐式Euler 改进Euler 预估校正(i.10) Milne 标准Ronge-Kutta Gear 截断误差 相容性 一个差分方法称为相容的，如果其截断误差至少是一阶的。 收敛性 实用中我们更关心的是近似解的收敛性，即 时，是否有 。在适当的条件下，例如步长 足够小，右端函数 和解 足够光滑等等，可以证明以上讨论的各方法都是收敛的，并且有估计式 （i.23） 其中常数 与 和 有关，与 和 无关；阶数 等于截断误差的阶数减去1。 稳定性 收敛性考虑的是差分方程的精确解与微分方程的精确解之间的误差。但是在计算机上求差分解时，由于计算机字长的限制，不可避免地产生舍入误差。另外，方程中的系数和初值等等由于测量条件等限制，也会产生数据误差。而稳定性研究的就是舍入误差和数据误差对差分方程计算结果的影响，即计算过程中某一步的“差之毫厘”会不会导致后面结果的“失之千里”。根据误差来源和误差衡量标准的不同，可以定义形形色色的稳定性。一般说来，隐式方法的稳定性好于同类型的显式方法（例如Euler方法与隐式Euler方法）。另外，为了保证稳定性，常常要求步长 足够小。 对于常微分方程数值解来说，最简单常用的是关于初值的稳定性。以单步法为例。称某差分法关于初值稳定，如果对同一个微分方程和所有足够小的 ，存在常数 ，使得从不同初值 和 出发的两个差分解 和 之间的误差满足 （i.24） 其中 。由于任意一对 ， 都可以看作是初值，关于初值的稳定性其实是考察如下问题：假设某一步计算有误差，而其后的计算不再有误差，那么这一步的误差对以后结果的影响如何。本章所讨论的所有差分方法都是关于初值稳定的。不加区别地说差分方法稳定时，通常指的是关于初值稳定。 不难证明，如果一个差分方法是稳定且相容的，则一定收敛，即 当 （i.25） 在差分解的实际计算中，每步都难以避免地舍入误差。因而，我们进一步考察差分方法的所谓绝对稳定性，即每一步的舍入误差积累起来，是否会对后面的运算结果产生太坏的影响。考察某一个差分法对非线性常微分方程的绝对稳定性是十分困难的事情，无法得到象对初值稳定性那样的漂亮结论。通常的做法是考虑模型方程 （i.26） 可以认为这个模型方程的真解和差分解的性质代表了非线性常微分方程 在某一个局部的真解和差分解的性质。（例如在 处将 线性化，将 看作 ，忽略其他项。）记 。关于某一个差分法的绝对稳定性的典型结果是：给出一个区间 ，使得对于所有的 ，求解（i.25）的这个差分法都是绝对稳定的。这个区间 称之为这个差分法的绝对稳定域。绝对稳定域越大， 的取值范围就越大， 的允许区值就越多，所代表的非线性常微分方程也就越多。 表i.2 常微分方程差分法的绝对稳定域 差分法 Euler 隐式Euler 改进Euler Milne 标准R-K Gear 绝对稳定域 （-2，0） (0,0) (-2.78,0) (-2.78,0) 关于绝对稳定性的一个必要条件是：若一个多步法是相容并且稳定的，则它绝对稳定（即它的绝对稳定域非空）的一个必要条件是 。这相当于仅当 时，多步法才可能绝对稳定。而当 时，在差分计算中误差增长很快。那么这时候是否就无法用差分法近似计算微分方程了呢？为此，注意到模型方程 的解是 。从而微分方程的解当 （相应于 ）时是按指数增长的。因此，如果这时误差的增长速率不超过微分方程解的增长速率，则仍然是可以接受的，并称之为相对稳定。如果存在区间 ，使得对于所有的 ，求解（i.25）的这个差分法都是相对稳定的，则称这个区间 为这个差分法的相对稳定域。特别地，Milne方法的相对稳定域为 。这就是说，Milne方法绝对稳定极差，相对稳定性却极好。 习题 写出并解释用于（i.18）的标准Runge-Kutta方法。 _1336397081.unknown _1336903447.unknown _1336974845.unknown _1339313251.unknown _1339327638.unknown _1339331469.unknown _1341580396.unknown _1341580465.unknown _1341580488.unknown _1341580443.unknown _1339332354.unknown _1339332511.unknown _1339332915.unknown _1339332380.unknown _1339331628.unknown _1339328885.unknown _1339330069.unknown _1339330095.unknown _1339328908.unknown _1339329322.unknown _1339328283.unknown _1339328379.unknown _1339327958.unknown _1339328000.unknown _1339327689.unknown _1339314350.unknown _1339326747.unknown _1339327509.unknown _1339327537.unknown _1339326751.unknown _1339327331.unknown _1339324896.unknown _1339313636.unknown _1339314318.unknown _1339313651.unknown _1339313399.unknown _1339308419.unknown _1339312841.unknown _1339313212.unknown _1339313224.unknown _1339313194.unknown _1339313128.unknown _1339312776.unknown _1339312797.unknown _1339310606.unknown _1339312741.unknown _1339310318.unknown _1336975189.unknown _1337680357.unknown _1337680371.unknown _1337061476.unknown _1337152733.unknown _1336974878.unknown _1336974909.unknown _1336975151.unknown _1336974887.unknown _1336974854.unknown _1336971573.unknown _1336974500.unknown _1336974603.unknown _1336974822.unknown _1336974515.unknown _1336971592.unknown _1336974444.unknown _1336971584.unknown _1336969639.unknown _1336971023.unknown _1336971553.unknown _1336971562.unknown _1336969780.unknown _1336904324.unknown _1336904566.unknown _1336904677.unknown _1336904687.unknown _1336904364.unknown _1336903776.unknown _1336904130.unknown _1336903754.unknown _1336888318.unknown _1336889500.unknown _1336890350.unknown _1336890944.unknown _1336902893.unknown _1336902575.unknown _1336890560.unknown _1336890154.unknown _1336890209.unknown _1336889839.unknown _1336888649.unknown _1336889306.unknown _1336889332.unknown _1336888783.unknown _1336888468.unknown _1336888493.unknown _1336888419.unknown _1336803699.unknown _1336887140.unknown _1336887342.unknown _1336888258.unknown _1336887249.unknown _1336832065.unknown _1336886878.unknown _1336834532.unknown _1336804109.unknown _1336801154.unknown _1336802413.unknown _1336803631.unknown _1336801274.unknown _1336397739.unknown _1336398574.unknown _1336398766.unknown _1336398565.unknown _1336397694.unknown _1336309553.unknown _1336310580.unknown _1336375645.unknown _1336375772.unknown _1336397043.unknown _1336376470.unknown _1336397033.unknown _1336375746.unknown _1336374806.unknown _1336375625.unknown _1336374735.unknown _1336310103.unknown _1336310410.unknown _1336310446.unknown _1336310223.unknown _1336309817.unknown _1336309928.unknown _1336309966.unknown _1336309904.unknown _1336309622.unknown _1336300611.unknown _1336300783.unknown _1336309389.unknown _1336309488.unknown _1336309108.unknown _1336300686.unknown _1336300739.unknown _1336300400.unknown _1336300417.unknown _1336300468.unknown _1336300580.unknown _1336300221.unknown _1336300251.unknown _1336300356.unknown _1336299980.unknown