两自由度系统-振动力学

null第三章 两自由度系统第三章 两自由度系统举例系统的自由度数就是描述系统运动所必需的独立坐标数。若一个系统的运动需要两个独立的坐标来描述，则此系统为一个两自由度系统。第一节 无阻尼自由振动第一节 无阻尼自由振动系统运动微分方程 写成矩阵形式：由牛三定律列方程如下：可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 为：[M]：质量矩阵，通常是实对称矩阵。即[M]T=[M], [K]：刚度矩阵。 {x}：位移向量第一节 无阻尼自由振动第一节 无阻尼自由振动 由于无阻尼自由振动是简谐振动，故可假设代入（5）得微分方程的一般形式：或者写成方程（6）要有非零解，则{A}的系数行列式要等于零。第一节 无阻尼自由振动第一节 无阻尼自由振动 于是有方程（7）和（8）叫做系统的特征方程或频率方程。正实根（9）叫做系统的特征根或固有频率。方程有两个正实根对于实际的简谐运动，两个负频率没有意义。第一节 无阻尼自由振动第一节 无阻尼自由振动 振幅比、主振型、固有振型特征向量、振型向量、模态向量模态参数包括：第一节 无阻尼自由振动第一节 无阻尼自由振动方程组的解： 通解=通解1+通解2 四个待定常数： 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 与说明1.二自由度系统有二阶固有频率； 2.系统的自由振动响应是两个固有模态振动的线性组合，不再是简谐振动和周期振动，因为Wn1 与 Wn2 不一定成倍数关系； 3. Wn1， Wn2， r1， r2是固有特性，是确定、唯一的。 第一节 无阻尼自由振动第一节 无阻尼自由振动 例求扭转振动系统的固有频率和固有振型，已知： I1=I2=I,K1=K2=K3=K（轴的扭转刚度）解：设圆盘1，2的角位移分别为 系统运动微分方程: 第一节 无阻尼自由振动第一节 无阻尼自由振动 振型图：第一节 无阻尼自由振动第一节 无阻尼自由振动 进一步讨论求扭转振动系统在三种不同初始条件下的自由振动条件1第一节 无阻尼自由振动第一节 无阻尼自由振动 条件2条件3作业：3-1，3-2，3-4Lagrange方程Lagrange方程 除质心运动定理、动量矩定理、拉朗伯原理以外，可用Lagrange方程建立复杂运动系统的运动微分方程。L=T-U=动能-势能，称为Lagrange函数。对于无阻尼自由振动方程， Lagrange方程可表述为：称为广义坐标。对于2自由度系统：n=2Lagrange方程Lagrange方程 例 教材 民兵爆破地雷教材pdf初中剪纸校本课程教材衍纸校本课程教材排球校本教材中国舞蹈家协会第四版四级教材 p145：3-5。取 为广义坐标，建立系统运动微分方程，求解固有频率。 （两种方法建立方程）分析设圆盘质量为m，半径为r， 匀质圆盘，方法1Lagrange方程Lagrange方程 由拉氏方程，有约掉r2，整理成矩阵形式由频率方程，可解得固有频率（ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 见课本p145)Lagrange方程Lagrange方程 方法2刚体平面运动微分方程纯滚动条件广义坐标和坐标耦合广义坐标和坐标耦合车身视为以刚体性杆，质量为m，质心的转动惯量为J，轮胎近似为两个弹簧K1,K2.以质心铅垂坐标x和转角 为广义坐标。简化的汽车振动模型方法1微小振动条件下，以静平衡位置为x原点，建立运动微分方程，重力与弹簧静压力相抵。 广义坐标和坐标耦合 广义坐标和坐标耦合质心运动定理+对质心的动量矩定理：方法2 广义坐标和坐标耦合 广义坐标和坐标耦合主坐标：可使动力耦合，静力耦合解除的一组坐标。 主坐标的求解在下一章介绍 总结与说明1.耦合的方式取决于广义坐标的选择，不是系统的固有性质。 2.广义坐标，运动方程的形式不唯一，所以需要解耦，去掉耦合。非主坐标主坐标耦合方程非耦合方程第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应运动微分方程的一般形式： 设 以下只需专门讨论（还有任意激励） 线性系统，叠加原理成立分别求每个周期力的响应，每个 周期力又可展开为Fourier级数第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应设响应 则（2）可化为定义阻抗矩阵 （动刚度矩阵）导纳矩阵 （动柔度矩阵）第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应 响应与激励幅值F、频率w、系统的物理参数m、k有关。通常是瞬态，衰减，因为实际系统有阻尼存在。例1已知：m=m1，m2=2m，K1=Kc=K,K2=2K,F1=Fsinwt,F2=0. 求：系统强迫振动的响应。分析系统的运动微分方程为第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应 则响应幅值为：系统强迫振动 的稳态响应为：第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应 进一步讨论思考：若只在m2上有Fsinwt， 系统的响应会是怎么样的？第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应例2已知：J1，J2,K,F1=Msinwt,F2=0. 讨论系统的强迫振动。分析系统的运动微分方程为则阻抗矩阵为：特征多项式为：频率方程为：第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应第二节 无阻尼强迫振动的稳态响应传递函数矩阵为：系统强迫振动 的稳态响应为：注意作业：3-11，3-14，3-15第三节 无阻尼吸振器第三节 无阻尼吸振器隔振是减少振源对周围物体的影响，但它不能减小振源本身的振动强度。而吸振器则能做到这一点。下图是一个无阻尼动力减振器的系统。其中由质量m1和弹簧k1组成的系统，称为主系统； 由质量m2和弹簧k2组成的辅助系统，称为吸振器。第三节 无阻尼吸振器第三节 无阻尼吸振器显然这是两自由度的无阻尼受迫振动系统，系统的运动微分方程为由第二节解法得：式中：第三节 无阻尼吸振器第三节 无阻尼吸振器总结与说明1.当 时，即等于系统的零点时，作用在主系统上的力有 吸振器施加于主系统的力精确地与作用于主系统的激振力平衡。 2.无阻尼吸振器是针对某个给定的工作频率设计的，不适用变频激励。 3.无阻尼吸振器的缺点是使单自由度系统成为两自由度系统，系统有两个共振频率，增加了共振的可能性。第四节 有阻尼振动第四节 有阻尼振动一、有阻尼自由振动设系统响应：代入（1）得：由于{B}有非零解，则得到特征方程或者频率方程：第四节 有阻尼振动第四节 有阻尼振动一、有阻尼自由振动（续）振幅比：特征向量：方程通解为：第四节 有阻尼振动第四节 有阻尼振动进一步讨论一、有阻尼自由振动（续）从振动现象看，不会有正的实部。初始条件下的自由振动总会不断减少。具体可分为三类：1.四个特征值都是负实数。 过阻尼或临界阻尼，系统响应不是周期振动，迅速衰减。 2.四个特征值组成两对具有负实部的共轭复根。 记 欠阻尼，幅值按指数函数衰减的简谐运动。 3.两个特征值为负实根，另两个特征值为一对有负实部的共轭复根。第四节 有阻尼振动第四节 有阻尼振动 待定常数由初始条件确定。二、强迫振动的稳态响应由于线性系统满足叠加原理，且激励有一般性。可用复指数法求解。 以 代换 ，并设稳态响应为第四节 有阻尼振动第四节 有阻尼振动可得到：阻抗矩阵 二、强迫振动的稳态响应(续)第四节 有阻尼振动第四节 有阻尼振动因此系统在简谐激励力作用下的稳态响应是：二、强迫振动的稳态响应(续)例3-17求系统强迫振动 的稳态响应。分析用复指数法求解,可得机械阻抗矩阵作业：3-19，3-18，3-7第四节 有阻尼振动第四节 有阻尼振动二、强迫振动的稳态响应(续)第四节 有阻尼振动第四节 有阻尼振动二、强迫振动的稳态响应(续)例3-16已知：m1=m2=m，求系统强迫振动的稳态响应。分析第四节 有阻尼振动第四节 有阻尼振动二、强迫振动的稳态响应(续)第五节 有阻尼吸振器第五节 有阻尼吸振器无阻尼吸振器适用于激振频率稳定的情况。如果设备工作转动变换范围大，需用有阻尼吸振器两自由度系统运动微分方程为解方程可得因而有第五节 有阻尼吸振器第五节 有阻尼吸振器第五节 有阻尼吸振器第五节 有阻尼吸振器进一步讨论第五节 有阻尼吸振器第五节 有阻尼吸振器进一步讨论（续）第五节 有阻尼吸振器第五节 有阻尼吸振器进一步讨论（续）