nullnullnull4.1 功 动能定理 首先讨论变力所做的功。 上一章我们讨论了力对时间的积累与质点运动状态变化间的关系---动量定理.并引入了动量守恒定理。 本章我们将讨论力对空间的积累与质点运动状态变化间的关系，即动能定理、功能原理和机械能守恒定理。null现在，我们来看变力功的计算 一、变力的功 当质点沿给定的路径从 a 运动到 b ，力对质点做的总功为相继的无限小位移中做的一切无限小元功的总和。恒力(直线运动）的功单位：J标量null 积分限是质点初坐标和末坐标，
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上把这个积分称为线积分。以一维运动为例 功值等于示功图曲线下的面积。对直角系：注意：功是一个过程量，它与状态量不同！null 我们这是在用矩形面积去逼近曲线下的面积。 积分的思想方法就是──用理想模型去逼近真实。这是科学研究的一种基本方法。null若力为恒矢量，且运动方向不变 这就是我们在中学物理中熟悉的功 null 一抛体质量 m ，计算从 a 到 b 这段路程中重力的功。解：例
题
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1：抛体在重力场中运动，在这一元段内写出元功 计算功的基本程序∶ 建立坐标系；
在过程区间任选一元位移；
写出元功
分析
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变量关系；
积分计算功；
分析结果的物理意义。计算功的基本程序∶ 由此例我们看到，功的计算主要在把握对元功的分析，不论力是在变还是位移的方向在变，我们都只抓住任一元位移中，都可视它们是不变的，因而可写出元功，这叫做微元法。 null另解∶由功的定义式从这种解法，我们可以悟出这样一个原则∶等于各分力对质点做功的代数和null二、功率 功率是描述作功快慢的物理量，用P
表
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示。null一人从10m深的井中提水，开始时桶中装有10kg的水，由于桶漏水，每提升1m要漏掉0.2kg的水。求水被匀速提到井口时人所做的功。解：例题2 ：null解：例题3：由 再由牛顿第二定律nullnull 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量三、质点的动能定理 null 现在我们来讨论质点系统的问题，对于质点系统，动能定理有完全相同的形式。为简单计，仍考虑前面讨论过的两质点系统四、质点系动能定理null对质点 1 对质点 2 两式相加 即 ──质点系动能定理这结论可向任意多质点系统推广内力的功不为零！null 以重力作功为例引入保守力做功的结果与质点运动的路径无关仅决定于始末两点的位置坐标若物体从 a 出发经任意路径回到 a 点，则有:物体沿任意闭合路径一周，重力所作的功为零.特点是：4.2 保守力 势能一、保守力null 重力的功仅与质点的相对位置改变有关，与质点的运动路径无关，这种情况特别重要，我们把做功具有这种性质的力称为保守力。否者称为非保守力。做功与路径无关的力──保守力 根据功的定义，力对质点所做的功一般与质点具体运行的路径有关，例如在摩擦力作用下，某质点从 a 点运动到 b 点，经过路径 1 或 2 ，这摩擦力的功是不一样的。ab重力是保守力摩擦力是非保守力null 在行星轨道a、b段内计算太阳对行星的引力的功。解：例题4 ：在a、b段内任取元位移，则可见万有引力也是保守力null计算 xa ~ xb 段内，弹性力的功。解：例题5 ：弹性力也是保守力弹性力是线性回复力取元位移分析元功则null解：例题6 ：按做功的定义null（非保守力）做功与路径有关null 保守力做功仅决定于系统相对位置状态（坐标）函数的改变，与路径无关！看到它们的特征了吗?作功的结果是使系统的能量改变.二、力学系统的势能1.势能下面看看保守力作功的特征。null保守力的功与势能增量的关系：则：定义：重力势能引力势能弹性势能由系统位置状态决定的函数（能量）称为势能，─保守力做功等于相关势能增量的负值微分形式：2.势能的性质 2.势能的性质 势能属于相互作用的系统共有;
(一对内力做功的结果)
(动能则属于质点自身)
势能是相对的，势能差是绝对的;
势能是由系统中物体之间相对位置确定的能量
势能的值与势能零点的选择有关
势能是系统状态的函数;
只有保守力才能引入相关势能的概念;重力势能：零点可以任意选择，一般选地面；
引力势能：零点选在无穷远点；
弹性势能：零点选在弹簧的平衡位置。null势能的完整定义∶ 例∶引力势能例∶弹性势能例∶重力势能令：null3.势能曲线null4。势能与保守力的关系由有在直角坐标系中null比较上两式有null4.3 功能原理 机械能守恒定理 由质点系的动能定理： 质点系总动能的增量等于外力的功与质点系内保守力的功和质点系内部非保守力的功三者之和。将系统内力作功区分为保守力功和非保守力功—质点系的动能定理而所以—系统功能原理null系统动能和势能之和为系统的机械能，用E 表示。则系统的功能原理还可表示为： ─系统机械能的改变是由于外力对系统做功及系统内非保守力做功的结果null关于功能原理①②③讨论null由系统的功能原理：机械能守恒定律 如果系统中无非保守内力，称这样的系统为无耗散系统。孤立的无耗散系统 如果没有外力作用于系统，称这样的系统为孤立系统。—机械能守恒null能量转换与守恒定律 在一个孤立系统内，有非保守力做功时，机械能不守恒。但能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。不论发生何种变化过程，各种形式能量之间无论怎样转换，总的能量将保持不变。这就是能量守恒定律。 能量守恒定律是自然界中的普遍规律。其意义远远超出了机械能守恒定律的范围，后者只是前者的一个特例，它体现了运动的守恒。null 如图，一柔软链条长为l , 桌面光滑，悬垂长度为 b 。开始链条静止。求：当链条全部脱离桌子时的速度。 解：例题7 ：选链─桌─地系统机械能守恒建坐标（重力势能零点在原点）得 null第二宇宙速度解：例题8 ：从地球表面发射飞行器到宇宙深处因机械能守恒得逃逸速度 null对于黑洞，临界逃逸速度 v = c 。视界半径如果地球成为黑洞如果太阳成为黑洞 null 右图是哈勃望远镜拍摄的NGC 4261 核心部分的气体和尘埃盘的图象（未修正前）这张图象证实了 天文 学家三十年来关于活动星系本质的推测，它揭示出室女座星系团的椭圆星系 NGC4261 中心有一气体尘埃环。 天文学家认为该环正受到一个具有1000万个太阳质量的中心黑洞的吸积。
左图是地面拍摄的 NGC4261 光学射电合成图象。null 在天蝎座距离一万光年处，有一颗恒星与黑洞相当接近。null 上图为我们的邻近M82星系。它的核心被认为有一个中等重量级的黑洞。 null位于大熊座星系中央的巨型黑洞
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