王顺荣编高教版社结构化学习题答案第7章

第七章 晶体结构的点阵理论 组员：070601321 艳君 070601322 林露 070601323 洁洁 070601324 明颖 070601325 林莹 070601326 俞鸿 070601347 潘渊 1.在空间点阵中，是否一定能够选出素单位（不论平行六面体的形状如何）？立 方面心点阵能否选出？怎样选法？ 答：能。可以，分别取四条棱的中点，连线，构成一个面，即为立方面心点阵。 2.根据划分点阵正当单位的基本原则，论证平面点阵的四类点阵的四种类型中只 有矩形单位有带心和不带心的两种型式，而其他均无带心的形式。 证明：正单位即对称性高的、含点阵少的单位。符合要求的平面正当格子只有四 种形状五种型式，即正方形格子，矩形格子，矩形带心格子，六方格子和平行四 边形格子。如下图所示， 若其他形式的格子含有点心结构，则又会变回无带心形式。 3.以二维图形为例，论证非并置堆砌不符合平移群的要求。 六方格子 正方形格子 矩形格子 矩形带心格子 四方格子 解析：对于二维结构，晶胞定点应为 4 个晶胞共有，才能保证晶胞定点上的点有 着相同的环境。如图，若每个矩形代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 一个结构基元，由于 A 点和 B 点的周围 环境不同，（A 点上方没有连接线，B 点下方没有连接线），图中的矩形不是晶胞。 晶胞可选择红色线所组成的，形成形成有晶胞并置排列的结构。 4.点阵结构与晶体有何对应关系？空间格子与晶格是对应关系还是同一回事？ 答：这些几何点在空间按一定规律排列（周期重复）就构成了点阵。晶体的不同， 所对应的点阵形式不一定相同，但它们都有一个共同的性质，连接其中任何两点 所决定的矢量，进行平移都能够复原。点阵是反应晶体结构周期性的几何形式。 空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格 子或晶格。 5.为什么有立方面心点阵型式，而无四方面心点阵型式？ 如图所示，因为四方面心可由四方体心代替。 6、衍射指标和晶面指标有何区别和与联系？ 答：衍射指标表示衍射与倒易点阵点（h, k， l)关系的符号，记为 hkl。衍射指 标与晶面指标的不同之处在于：三个整数 h、k、 l 不必是互质的。 衍射指标 hkl 的整数性决定了晶体衍射方向的分立性，每一套衍射指标规定了一 个衍射方向。设有一组晶面，间距为 d(hkl)，一束平行 X 射线射到该晶面族上， 入射角为 θ。晶面族产生衍射的条件为： 2 d (hkl) sinθn＝ n λ 7.如图，对于层形石墨分子形成的二维晶体，其结构基元除了图中的选法外，还 可与怎样选择？各种选法所得的结构基元中都包含几个 C？几个 C---C 键长？ 2 个 C，2 个 C---C 键长 3 个 C，3 个 C---C 键长 4/3 个 C，1 个 C---C 键长 10/3 个 C，5 个 C---C 键长 8.写出金刚石立方晶胞中碳原子的分数坐标，已知晶胞参数 a=356.7pm，计算 C-C 键长。 解： 可知 C 的原子坐标为（0，0，0）和（ 1 4 , 1 4 , 1 6 ） 键长 R= （x2－x1）2+(y2－y1)2+(z2－z1)2a 带入有关数据 R= （ 1 4 －0）2+( 1 4 －0)2+( 1 6 －0)2 ×356.7pm =139.5pm 9.有一 AB 型晶体，晶胞中 A 和 B 得坐标参数分别为（000）和（ 1 2 ， 1 2 ， 1 2 ）。指明该晶体的空间点阵型式和结构基元。 解： 设 A 的射散因子为 fa,B 的射散因子为 fb F(hkl)= faei2π(0+0+0) +fbei2π( h 2 + k 2 + l 2 ) =fa+ fbeiπ(h+k+l) =fa+ fb[cosπ(h+k+l)+i sin(h+k+l)] 当 fa=fb，即 AB 为相同物质时： 当 h+k+l=奇数时，F(hkl)=0 当 h+k+l=偶数时，F(hkl)=2f 在奇数时不衍射，故为体心点阵（I） 当 fa≠fb，即 AB 为不同物质时： 无消光现象，故为简单点阵（P） 结构基元：A:○ B:● fa=fb fa≠fb 10. 根据群的性质，证明二维点阵符合平移群：Tmn=ma+nb 证明：平面点阵可以看成是两个不平行的直线点阵，因为点阵是一组无限的点， 连接其中任意两点可得一向量，设为 a, 则在 a 方向上进行平移可得：Tm=ma， 同理，可设另一个不与 a 平行的向量 b，在 b 方向上进行平移可得 Tn=nb,因为不 平行的两条直线可以确定一个平面。综上所述 Tmn=ma+nb 11.NaCl 晶胞如图所示，试计算晶胞中 Na＋、Cl－数和 NaCl 粒子数；并推求出带 阴影的三个晶面的晶面指标。 Na + ：12×（1/4）+1=4 Cl － : 8×（1/8）+6×（1/2） =4 以 O 为原点 三个晶面从下到上 晶面指标分别为（1，0，1）、 （0，0，1）、（2，0，4） 12.所谓晶面交角，就是二晶面的法线交成的锐角。已知黄铁矿（FeS2,即“愚人 金”）属立方晶系，试作图（取 c与纸面垂直）突出其晶面（100）、(010)、(110)、 (210)的取向，并由图计算出各晶面间相应的晶面交角。 解： 黄铁矿（FeS2）中两个 S缔合在一起，结构与 NaCl相似，但由于 S-S的取 向使空间群从 Fm3m降至 Pa3。取 c与纸面垂直，则如图 由图可知晶面 （100）为 BCGF ,(010)为 CDHG,(110)为 BDHF,(210)为 BFIK (100)与（010）的夹角为 90° (100)与（110）的夹角为 45° (100)与（210）的夹角为 arc tan2 (010)与（110）的夹角为 45° c a b A B C D D D D D D E F G H I K (010)与（210）的夹角为 arc tan1/2 (110)与（210）的夹角为 arc tan1/2-45° 13、利用立方体图形，计算 CH4 正四面体结构 C-H 键的夹角是 109 o 28 ＇ A、B、C、O 为 CH4 中 4 个 H，D 为 CH4 的 C A、O、D 的原子坐标分别为（1，0，1），(0，0， 0)，（1/2,1/2,1/2） AD=√3/2 , OD=√3/2, AO=√2 ∠AOD为两个 C-H 键的夹角 Cos∠AOD=（AD2+ OD2- AO2）/2 AD· OD=-1/3 ∠AOD=109o28＇ 即 CH4 中 C-H 键夹角为 109 o 28 ＇ 14.利用三角函数法，证明由于点阵结构的制约，晶体结构中不存在 5、7 及更高 次轴。 设该晶胞中有一旋转轴 n，通过某点阵 O，根据除一重轴外，任何对称轴必与一 组平面点阵垂直，则必有一组平面点阵与 n 垂直，而在其中，必可以找出与 n 垂直的、属于平移群的素向量 a。如图，讲 a 作用于 O 得 A 点，将-a 作用于 O 得 A'点。若以 2pai/n 表示 n，的基转角（a），则 L/(2pai/n)及 L/(-2pai/n），必能使 点阵复原，这样就必可得到阵点 B 及 B'，并可得出向量 BB'。由于向量 OB'及 OB 是 a-及 a 绕 n 旋转后得到的，属于平移群。由图可以看出，BB'必平行于 AA'， 则有 BB'=ma，m 为整数。 由图中的几何关系可得： )/2cos(2' nOBBB  ， 即 m/2=cos(2 /n)，因 212/,1)/2cos(  mmn 或即 ，故有 m=0、1、-1、2、 -2。 分别解 0,2,1)\2cos(2 n ，如下： m )/2cos( n n/2  n -2 -1 2/21   2 -1 -0.5 3/23/2   3 0 0 4/22/   4 1 0.5 6/23/   6 2 1 1/22   1 已经证明，n=1，2，3，4，6. 15.根据正当晶胞的要求，绘图证明 14 种空间点阵型式中有正交底心，而无四 方底心和立方底心型式。 如图 1所示，正交底心不能由正交简单点阵来代替。 如图 2所示，四方底心可由四方简单点阵代替。 如图 3 所示，假设存在立方底心，则由图可知它不存在 4 个 3 次轴，这与立 方晶系所拥有的特征对称元素相矛盾，所以不存在立方底心。 （1） （2） （3） 16、举例说明点群的国际符号的意义：用国际符号确定出属于 hO 和 dT 点群的晶 系的所有对称元素？ 答：（1）晶体中满足群的性质定义的点对称操作的集合称作晶体学点群。点群的 国际符号是按照一定的顺序排列的数字和字母，这种排列先后的顺序叫“位序”， 大多记三位，表示晶体中三个方向的对称性。例如：.NH3，具有三角锥结构， 只有一个 3 重轴（应属于单轴群），还有过轴的镜面，因此应是 C3V群；BrF5， 用价层电子对互斥理论确定其几何结构为四方角锥，应是 C4V。NH3，具有三角 锥结构，只有一个 3 重轴（应属于单轴群），还有过轴的镜面，因此应是 C3V群； BrF5，用价层电子对互斥理论确定其几何结构为四方角锥，应是 C4V。 （2） hO ：4 3，3 4，6 m dT ：43，34，62.，9m，i 17. 绘图指出金红石（TiO2）晶体中的 42 螺旋轴 18.对直线点阵与晶面组（h*k*l*）垂直的情况，推正出布拉格方程。 由图可知：AE=dh*k*l* Δ =BC－AD=nλ ∠CAE=θ S0 s D θ A θ 2 1 3 θ d C （h*k*l*） B E 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 1 6 7 8 5 2’ 3’ 4’ 1’ 6’ 7’ 8’ 5’ 在直角三角形 ABD 中，AB=AD/cos[∠(2+θ )] (7-5) 在直角三角形 ABC 中，AB=BC/sin[∠(1+θ )] (7-6) 在直角三角形 ABE 中，AB=d h*k*l*/cos∠1 (7-7) 由（7-6）式与（7-7）式可得： BC= d h*k*l*·sin[∠(1+θ )] /cos∠1 由(7-5) 式与（7-7）式可得： AD= d h*k*l*·cos[∠(2+θ )] /cos∠1 所以 △= BC- AD= d h*k*l* cos∠1{sin[∠(1+θ - cos[∠(2+θ )]) (7-8) 因为 ∠1+∠1=90°，所以 cos∠2= sin∠1，sin∠2= cos∠1 代入（7-8）式，得 △= d h*k*l*·2sinθ 即 2 d h*k*l*·2sinθ nh*nk*nl*=nλ 19.金属铝为立方晶系晶体，晶胞参数 a=404.9pm，试计算 d200、d111、 d220 。 解： 立方晶系 dhkl = a/ h2+k2+l2 d200 =404.9/ 22+02+02 =202.5pm d111 =404.9/ 1 2 +1 2 +1 2 =233.8pm d220 =404.9/ 22+22+02 20.晶胞的二要素是什么？X 射线在晶体衍射中衍射的二要素是什么？二者有何 联系？分别通过什么方程或公式联系起来？并解释之。 解：晶胞二要素，一是晶胞的大小和形状，可用晶胞参数表示；二是晶胞中各原 子的坐标位置，通常用坐标来表示。 X 射线在晶体衍射中衍射的二要素是衍射方向和衍射强度。 衍射方向和晶胞参数相对应，衍射强度和晶胞中原子坐标参数相对应。 衍射方向和晶胞参数可用 laue 方程表达： hssa  )( 0 kssb  )( 0 lssc  )( 0 式中 a,b,c 反映了晶胞大小形状和空间取向； s和 0s 反映了衍射 X 射线和入射 X 射线的方向；h,k,l 为衍射指标， 为 X 射线波长。 衍射强度 hklI 和结构因子 hklF 成正比，而结构因子和晶胞中原子种类及其坐标参数 x,y,z 有关：    j jjjihkl lzkyhxifF (2exp  21.Ni、Pd、Pt、Cu、Ag、Au等金属都属于立方面心结构。试证明它们对 X射线 的衍射，只有当衍射指标 hkl都是奇数或都是偶数时，衍射才能出现；而当 hkl 为奇偶混杂时，则衍射不能出现。 证明： Cu 原子成立方紧密堆积，空间群为 Fm3m，晶胞参数α 。=0.3608nm,原子配位数 CN=12，单位晶胞中原子数目 Z=4,结构如图所示 其分数坐标分别为（0 0 0），（1/2 1/2 0）,(0 1/2 1/2),(1/2 1 1/2),四原子 是同一种原子，其散射因子 f相同。 代入 F(hkl)=∑jfje 2∏(hx j +k iy j +lz j)得： F(hkl)=fei2∏(0+0+0)+ fei2∏(h/2+k/2+0)+ fei2∏(0+k/2+l/2)+ fei2∏(h/2+k+l/2) =f[1+ ei∏(h+k)+ ei∏(k+l)+ ei∏(h+2k+l)] =f[1+cos∏(h+k)+ isin∏(h+k)+cos∏(k+l)+isin∏(k+l)+cos∏ (h+2k+l)+isin∏(h+2k+l)] z x y 当 h k l均为奇数时 F(hkl)=f[1+1+0+1+0+1+0] =4f 当 h k l均为偶数时 F(hkl)=f[1+1+0+1+0+1+0] =4f 当 h l k奇偶混杂时，例 h为奇数，k为偶数，l为奇数。则 F(hkl)=f[1+（-1）+0+（-1）+0+1+0] =0 这个结果说明当衍射指标 h k l都是奇数或都是偶数时衍射才能出现；而当 h k l为奇偶混杂时衍射不能出现。 22、在简单立方晶胞中原子坐标（以 a 为单位）为（0 0 0）、（0 1 0）（0 0 1）、（1 0 0）、（1 1 0）、（1 0 1）和（1 1 1），按照所有原子相同情况计算结构因子 F（hkl）： 并讨论其与散色因子 f 的关系。 解：F（hkl）=fei2п (0+0+0) +fei2п (0+k+0)+ fei2п (0+0+l) +fei2п (h+0+0)+ fei2п (h+k+0) +fei2п (h+0+l)+ fe i2п (h+k+l) = f+ fe i2пk+ fe i2пl +fe i2пh +fe i2п (h+k) fe i2п (h+l) fe i2п (h+k+l) 结构因子与散色因子类似，它相当于在衍射方向上每个晶胞散色 X 射线的有效 电子数。若为素晶胞，即晶胞中含有一个原子，则结构因子即相当于原子的散色 因子 f。故结构因子可以理解为晶胞的散色因子。F（hkl）与晶胞中各原子的散 色因子有关。 23．正交晶系的二水合氯化亚锰六次甲基四胺配合物晶体，沿 a、b、c 三个晶轴 方向分别摄取了三张回转图，分别量得下列层线间距值：H1＝6.58×10 －3 m， H2=7.08×10 －3 m，H’1＝1.097×10 －2 m（H1 、H ’ 1 代表第一层线与 O 层线的间距， H2 代表第二层线与 O 层线的间距），相机半径为 5.00×10 －2 m，试计算三个晶轴 参数 a、b、c。所用的 X 射线λ ＝0.1542nm。 解：使晶体绕 a 轴转动。按劳埃方程，衍射方向必须满足 a（cosα －cosα o）＝ hλ 。若入射线与转动轴垂直α o＝90 o ， 则 a cosα ＝hλ 。 设 R 为胶片圆柱的半径，Hh为第 h 层线与 o 层线距离，λ 为衍射方向与 a 轴的夹角，则 cosα h＝Hh（R 2 + Hh 2）1/2 可求晶胞参数 a＝hλ （R2+ Hh 2）1/2 / Hh ＝1×0.1542×[(5.00×10 －2 ) 2 +（6.58×10－3）2] 1/2/6.58×10－3=0.5275 使晶体绕 b 轴转动。按劳埃方程，衍射方向必须满足 b（cosβ －cosβ o）＝ kλ 。若入射线与转动轴垂直β o＝90 o ， 则 b cosβ ＝kλ 。 Hk 为第 k 层线与 o 层线距离，λ 为衍射方向与 b 轴的夹角，则 cosβ k＝Hk （R2+ Hk 2）1/2 可求晶胞参数 b＝kλ（R2+ Hh 2）1/2 / Hk ＝1×0.1542×[(5.00 ×10－2)2+（1.097×10－2）2] 1/2/1.097×10－2=0.3471 使晶体绕 c 轴转动。按劳埃方程，衍射方向必须满足 c（cosγ －cosγ o）＝ lλ 。若入射线与转动轴垂直γ o＝90 o ， 则 ccosγ ＝lλ 。 Hl为第 l 层线与 o 层线距离，γ 为衍射方向与 c 轴的夹角，则 cosγ l＝Hl （R2+ Hl 2）1/2 可求晶胞参数 c＝lλ （R2+ Hl 2）1/2 / Hl ＝1×0.1542×[(5.00 ×10－2)2+（7.08×10－3）2] 1/2/7.08×10－3=0.4904