合情推理PK演绎推理

台情推理 P K演绎推理 口 李代 国 周广黎 数学推理是从一个或几个已知判断得出一个新 判断的思维过程，而合情推理与演绎推理是数学发 现过程和数学体系建构过程中的两种重要思维形 式．本文着重介绍这两种推理形式的联系与不同． 我们先从三个例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 入手． f例 1f 已知数列 (a }的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 为 口 一 南 ( ∈N )，记，( )一( 一n )( 一a2)⋯( 一 日 )，试通过计算 厂(1)，_厂(2)， (3)的值，推测 出 厂(，z)的值． 分析 计算得厂(1)一}，厂(2)一专， (3)一 号．由此猜想厂( )一 ． 1例2l 小光和小明是一对孪生兄弟，刚上 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 一 年级．一次，他们 的爸爸 带他们去 密云水库 游玩 ， 看到 了野鸭子．小光说：“野鸭子吃 小鱼．”小明说 ： “野鸭子吃小虾．”哥俩说着说着就争论了起来，非要 爸爸给评评理．爸爸知道他们俩说得都没错，但没有 直接告诉他们俩，而是用例子来进行比喻．爸爸说完 后，哥俩都服气了． 以下哪一项最可能是爸爸讲给儿子们听的话? A．一个人的爱好是会 变化的．爸爸小时候很 爱 吃糖，你奶奶管也管不住．但现在 ，你让爸爸吃 ，爸爸 都不吃 了． B．凡事都有两面性．咱们家养了猫，耗子就没 了．但是如果猫身上长了跳蚤，也是很讨厌的． C．动物有时也通人性．若是主人喂它某种饲料， 则吃得很好 ；若是陌生人喂，则怎么也不吃． D．你们兄弟俩的爱好几乎一样，只是对饮料的 爱好有所不同，一个喜欢可乐，一个喜欢雪碧．你妈 妈就不在乎 ，可乐、雪碧都行． 分析 在题干中，兄弟俩说的“野鸭子吃小鱼” 和“野鸭子吃小虾”都没错．因为可能是一部分野鸭 子吃小鱼，另一部分野鸭子吃小虾，也可能是野鸭子 既吃小鱼又吃小虾，所以两个孩子的话并不矛盾．他 们只是片面地看到了野鸭子的某一种行为，然后各 执一词，争论不休． 选项 A虽然用了比喻，但是说的是小孩和大人 的区别，而题干中并未讨论小鸭子和大鸭子的区别． 在选项 D中，爸爸用哥俩对可乐、雪碧各有偏好 和妈妈既喝可乐又喝雪碧的例子进行类比，说明同 一 个群体中的不同个体可能有不同偏好，同一个体 也可以有不同行为．由于比喻恰当，哥俩便服气了． 选 B项讲的是事物的两面性，含有人的主观评 价，与题干内容相去甚远． 选项 C用的不是比喻，与题干内容不符． 故正确答案为 D_ l例3l 用三段论的形式写出命题“函数Y— lg(x+ ~／1+z )是奇函数”的演绎推理过程． 分析 若对 V ∈R，有 厂(一 )一一厂(-z)，则 称 _厂( )是奇函数， (大前提) 函数_厂( )一lg(x+~／1+,27 )满足对 V37∈R， 有 _厂(一z)一一_厂( )， (小前提) 所以函数 y— lg(x+,／1+z。)是奇函数． (结论) 例 1是通过求一个数列(或定义域是正整数集的 函数)的前几项的值，去猜想它的通项公式，这个过 程是一个推理过程，它是由特殊到一般的推理，即在 研究事物的特殊情况下的结论的基础上，得出有关 事物的一般情况下的结论的推理 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，这种推理叫 做归纳推理，归纳推理也称为归纳法．根据所研究的 是否是事物的一切特殊情况，归纳推理一般又可分 为完全归纳推理和不完全归纳推理，也称为完全归 纳法和不完全归纳法． 责编／顾 俊 邮箱／90jt,307 T001@163 Gore 2009年第7～8期 I 例2实际上是用比喻进行说理，在数学上叫做用 类比进行推理．类比推理是根据两个对象都具有一 些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另 外某一属性，从而推出另一个对象也具有与该属性 相同或类似的属性的推理方法，它是从特殊到特殊 的推理． 以上两种推理有一个共同的性质，它们都是根 据已有的事实、正确的结论(包括定义、公理、定理 等)、实验或实践的结果以及个人的经验或直觉等推 测某些新结果的推理过程，这样的推理叫做合情推 理．合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路 的作用． 例3实际上是一个证明过程，证明过程本身就是 一 个推理过程，是从一般到特殊的推理，它是以某类 事物中一般(普遍)事物的判断为前提作出这类事物 中个别(特殊)事物的判断的推理方法，我们称之为 演绎推理．演绎推理的过程刚好与归纳推理的过程 相反．它是逻辑论证和数学证明中常用的推理方法． 三段论是演绎推理的主要形式，指由两个简单判断 作前提和一个简单判断作结论组成的演绎推理形 式．三段论的三个简单判断中共只包含三个不同的 概念，每个概念都只重复出现一次．这三个概念都有 专门的名称：结论中的宾词叫“大词”，结论中的主词 叫“小词”，结论不出现的那个概念叫“中词”．在两个 前提中，包含大词的叫“大前提”，包含小词的叫“小 前提”． 1习题 1} 设 fo(z)一 sinx，f1(z)： fo (z)， f2( )一 f1 (z)，⋯， ( )一 1 ( )， ∈ N ， 求-厂2 oo7(z)． 答案 一COST． I习题 2I 类比正三角形的性质：三边长相等， 三内角相等，可推知正四面体的下列一些性质：① 各 棱长相等，各共顶点的两条棱的夹角相等；② 各个面 都是全等的正三角形，各相邻 两个面所成的二 面角 相等；③ 各个面都是全等的正三角形，各共顶点的两 条棱的夹角相等． 你认为其 中比较恰 当的性质是 ．(填序号) 答案 ③． 1>-3题3l 指出下列推理中的错误． (1)自然数是整数 ， (大前提) 一 6是整数， (小前提) 所以 一6是 自然数． (结论) (2)中国的(一个)大学分布于中国各地， (大前提) 清华大学是中国的(一个)大学， (小前提) 所以清华大学分布于中国各地． (结论) 答案 (1)小前提错误；(2)大前提错误． 由上述例题及习题，我们可以看出合情推理与 演绎推理都是数学推理过程中常见的一些方法，它 们之间联系紧密、相辅相成；同时，我们又可以看到 合情推理仅仅是一种猜想，它的结论不一定正确，还 需要我们进一步去研究、论证，而这个过程正好就是 演绎推理．因此我们在解题时，往往先用合情推理猜 想一个结论，然后再用演绎推理进行证明． — — — — 一 0 l例4t 已知：sin 3o。+sin。90。+sin 150。一_芸．， 一 0 sin25。+sin265。+sin 125。一_芸I． 观察上述两个等式的规律，请你写出一般性的 等式： =要．并证 明该 等式． 分析 一般性的等式为：sin2a+sin2( +6O。)+ sin2(a+120 号． 证明如下：左边 ：1-- ． c ， os2a[1--cos(2 ， a+ 120~) + —1-- — — co — s( 2a — + — 2 — 40~) ： 专一丢[c。s2a十c。s(2a ’ n o q L⋯⋯ ⋯⋯ +120。)+c。s(2a+24o。)]一号一专(c。s2a+ cos2 cosl20。 一 sin2口sin120。 + cos2dcos240。 一 sin2asin24o。)=号一丢(cos2ff-- 1 c。s2a一譬sin2a — 1 c。s2a+譬sin2a)=号一右边， 所以原式得证． 直竖 将一般性的等式写成sin (a一60。)+ sin2a+ sitl2(口+ 6O。) 3 ，或 sin2(a一24O。)+sin2(a — l20。)+sinz口： 3等均正确 ． 这里先利用归纳推理 猜热一般性的结论，再利用演绎推理证明该结论． 2009年第7～8期 责编／顾 俊 邮箱／mJtm~071001@163．corn 观察以下各等式： sin 3O。+cos 6O。+sin30。cos60。一昔， sin2 20。+cos2 50。 n20~cos50。一号， sin。15。+cos 45。+sin15。cos45。一{． 分析上述各等式的共同特点，猜想反映一般规 律的等式，并对其正确性作出证明． 解 一般 等式 为：sin + COS。(a+ 30。)+ sinacos(d+30。)一昔．证明过程略． 圃 已知数 ) 一1,a 一 an ( = 1，2，⋯)，试 归纳 出这 个数 列 的通 项公 式并 证 明． 分析 。 一 一 ，⋯． 一 般地，有 n”一 · 证明如下：由n叶 一 ，得 一 一 上 +2 ， 即 一 1 2 ， 所以数列{÷}是首项为 ，公差为2的等差数 I j a 1 列，则 一 一t-2("一 1)， 所以 an 一 2n一1，则n 一 -二1 ． 一 1 点翌 实际上，这里的证明通项公式的过程及 方法也就是求通项公式的过程及方法．由例 5以及后 面的习题 5，你能总结出什么规律?若数列{“ )满足 a,rbl= L(ab≠0)，则采用取倒数的方法即可得 口 —十一oa 出数列{ an}是等差数列，再根据等差数列的通项公 式即可求出数列{a )的通项公式． 圜 设数 } 一l， 一 ( = 1，2，⋯)，试 归纳 出这 个数 列 的通 项公 式并 证 明． 解n。一_詈_蛹一手，⋯． I 一 般地，有 口n一—n4 L r-1· 本题也可以直接求出通项公式． 证明(求法)如下：由n井 一 2a． ， 得上 ~2M-1 一 一 去+ 1，~II。． 1一 1一 1， 所以数列{ }是首项为去，公差为÷的等差数 歹Ⅱ，则 一一1+( 一1)x ， 所以a 一 ，则 n ： 2 ． 圃 将平面内的三角形和空间中的四面体 进行类比． 分析 这里的类比可分为以下两类(这里分别 列举部分性质，请同学们自己完成证明)： (1)平面内的直角 三角形与空间中的直角 四面 体的性质类比． 平面内的直角三角形 空间中的直角四面体 的性质 的性质 三 丑 c 在 AABC中， BCA 在四面体 SABC中， ：90。，点C在斜边AB上 平面 SAB，平面 SBC，平 的射影为D，则有结论： 面SAC两两垂直，点S在 (1)点 D在线段AB上． 底面ABC上的射影为0， (2)AB>AC，AB>BC， 则有类似结论： 即直角三角形的三边中， (1)点 0在 AABC内． 斜边最长． (2)直角四面体的四面 (3)射影定理 ：AC 一AD 中，底面面积最大． · AB，CB 一 DB ·AB， (3) 一5△ s△^Bc， CD =AD·DB． S~sac=S△mcSAAgC， ㈤ 一 +击． S SBc=S△0BcS△ABc． (4) ： +壶 ． 1 十 ‘ (2)平面内的一般三角形与空间中的一般四面 贵编／顾 俊 邮箱／ m071001@]63．Gore 2009年第 7～8期 体的性质类比． 三角形 四面体 三角形中任意两边之和 四面体中任意三个面的 面积之和大于第 四个面 大于第三边 ． 的面积． 三角形 的三条 内角平分 四面体的六个二面角的 线交于一点，且该点是三 平分面交于一点，且该点 角形内切圆的圆心． 是四面体内切球的球心。 四面体中过任意顶点的三 三角形 中任意两边 中点 条棱的中点连成的三角形 的连线平行于第三边，且 的面积等于第四个面面积 1 等于第三边的一半 ． 的寺，且该三角形所在平 面平行于第四个面． 三角形 的三条中线交 于 将四面体 的每一个 顶点 一 点，且三角形的每一条 和对面的重心相连接，所 中线被该点分成的两段 得四条线段交于一点，且 其中每一条线段被 交点 的比为 2 ：1． 分成的两段的比是 3：1 ． 在四面体 ABCD中，二面 在 AABC中，若 A的平 角 C—AB—D的平分面交 分线交边 13(2于点 D，则 棱 (11D于点E ，则 一 A — B ～ ． AC — DC。 ． SZ~aBD’ 在四面体 ABCD 中，设棱 在 △ABc中，有 sin L A — AB与面ACD，BCD 的夹 b c 角分 别 为 a， ，则 S~N2D sinB sinC‘ 一 sine’ 设AABC的三边长分别 设四面体 ABCD 的四个 为a，b，c，面积为 S，内切 面的面积分别为 S ，sz， 圆的半径为 r，外接圆的 s3，S ，体积为 ，内切球 半径为 R，则有： 的半径为 r，外接球 的半 ㈩ r： ； 径为 R，则有 ， 、 3V 一 S + +S3+ S4’ (2)R≥ 2 r． (2)R≥ 3r ． 直竖 这里是将三角形与三棱锥进行类比．事 实上，平面几何与立体几何之问有许多类似的类比， 比如说平面中的点与空间中的线，平面中的线与空 间中的面，平面中的圆与空间中的球等都可以建立 这样的类比．同学们不妨对三角形与三棱柱进行 类比． 总之，就数学其公理化的严谨体系而言，它是演 绎性的科学；而从数学的发现过程和研究方法来说， 它又是归纳的科学．只有把合情推理与演绎推理、猜 想与证明辨证地结合起来，才能在较高的层次上认 识数学的本质，把握数学的思维，也才能有效地增强 创新意识，提高创新能力． 巩 固 练 习 1．平面几何中，有结论“周长一定的所有矩形 中，正方形的面积最大”，类比到立体几何中，可得的 结论是“ ”． 2．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1O 11 12 13 14 15 ． 按照以上排列的规律，第 行(，z≥3)从左向右 数的第 3个数为 ． 3．为确保信息的安全，信息需加密传输，发送方 由明文 一 密文(加密)，接收方则由密文一 明文(解 密)．已知加密规则为：明文n，6，f，d对应密文&+2b， 26+c，2c+3d，4d．例如：明文1，2，3，4对应密文5，7， 18，l6．当接收方收到密文 14，9，23，28时，则解密得 明文为 ． 4．已知厂(z)： ( ≠一 1，盘>o)，且 _厂(1)一 log162。-厂(一2)= 1． (1)求函数_厂(z)的解析式； (2)已知数列{ )的通项 一[1一厂(1)][1一 _厂(2)]⋯E1～f(n)J，试求321，z2， 3， 4； (3)猜想{工 }的通项公式． (参考答案见第70页) 2009年第 7～8期 责编／顾 俊 邮箱／guim071001@163 com 函数的零点与不动点的关系 口 刘 伟 f例11 已知函数，(z)=÷一1眦在区间(1，2) 内有一个零点X。，若用二分法求 。的精确度为0．1 的近似值 ，则需要将区间(1，2)对分的次数为 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析 由1与2的平均数为要，不妨设零点z。 在(1，专)内；由l与 3的平均数为{，不妨设零点 在(1，百5)内；由1与 5的平均数为．昙_，不妨设零点 在(1，詈)内；由1与 9的平均数为 ，不妨设零点 在(1， )内．而 17—1<0．1，所以需要将区间(1，2) 对分的次数为 4，选 B． 垩洼 通过每次把_厂(z)的零点所在的区间收 缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近 ，(z)的 零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法． 对于函数 f(x)，若存在z。∈R，使 f(x。)： X。成立，则称 z。为函数 厂(z)的不动点．已 知函数 厂( )一 般 + (6+ 1)z+b一 1(口≠ O)． (1)当n：1，b一一2时，求函数 厂(z)的不动点； (2)若对任意实数b，函数 厂( )恒有两个相异的 不动点，求实数 a的取值范围． 解析 (1)根据函数不动点的定义，当n= 1，b 一 一 2时，令 厂(z)一z，有 z 一 ～3 ，得32 ～2x 一 3—0，解得，( )的不动点为～1和 3． (2)令 g(z)一厂(z)一z，则由题设知对任意实 数 6，方程 g(工)一0恒有两个不等的实根， 即 O370+(6+1) +b一1～z一 0，即甜 +bx+ (6—1)=0恒有两个不等的实根． 所以对任意实数b，判别式A ：b 一 (6一1)> 0恒成立， 即b 一4ab+4a> 0恒成立， 所以判别式A2一(～4a) 一4×4a<0，即16a。 一 16a< 0，解得0< 口< 1，即为所求． 评注 实际上，函数的不动点与函数的零点是 相通的，f(x)的不动点就是 厂(z)一32的零点． 巩固练习参考答案 《“利用不等式”求最值归类探究》 z．(一专，÷) 《含绝对值的不等式问题的求解策略》 1．{ 1—4< 32< 0或 4< z< 8)． 2．{ I一2< < O}． 3．由意题，可知△一1—4(J n一{I+l n 1)≥ o，可得n的取值范围为[o，11． 4．(1)I，(O)l—J f f≤ 1． (2)提示 由于g( )一甜 +6为单调函数，其 图像是一条直线，故要证一1≤ ≤1时，}g( )l≤ 2，只须证 l g(± 1)l≤ 2． 《扑朔迷离的几何概型》 1．(1) ．(2)专． 2．(1 3；(2)詈；(3)0．3．{． 0 0 《合情推理 PK演绎推理》 1． 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积一定的所有长方体中，正方体的体积 最 大 2． + 3 3．7，6'l，4 4．(1)f(x)= ．(2 ={ =号， z 。 = 专幽一詈 一 ． 2009年第 7～8期 责编／顾 俊 邮箱／ un071001@163 corn