工程制图第四章

第四章 立体表面的交线 本 章 导 读 通过本章学习了解截交线、相贯线的性质，掌握平面截平面立体、回转体、复合回转体截交线的画法。熟练掌握利用积聚性投影和辅助平面法求相贯线的方法，掌握平面立体与回转体相贯、回转体与回转体正交相贯相贯线的画法。掌握特殊相贯线、多体正交相贯线的画法。了解过渡线的画法。 平面与立体或两立体相交，立体表面就产生了交线，如图4-1所示。画图时应正确地画出这些交线的投影。 a) b) c) d) e) f) 图4-1 立体表面的交线 第一节 立体表面的截交线 一、截交线的概念、性质及求取方法 1．截交线的概念 平面截切立体，截平面与立体表面的交线，称为截交线。截交线围成的平面图形称为截面。如图4-2所示，三棱锥被截平面P所截，截交线围成的平面图形是三角形。 2．截交线的性质 由图4-1a、b、c可见，截平面与立体相对位置不同，截交线的形状各不相同，但它们都有共同的性质： 图4-2 立体表面截交线 （1）共有性：截交线是截平面与立体表面的共有线，它同时属于截平面和立体表面。 （2）封闭性：截面形状是封闭的平面多边形、平面曲线或由直线和曲线围成的平面图形。 （3）截交线的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的相对位置。 3．求截交线的方法与步骤 线是一系列点的集合，求截交线可归结为找共有点。当截平面处于特殊位置时，截平面的投影有积聚性，截交线的一个投影已知，然后用面上取点线的方法求交线其他投影。方法与步骤如下： （1）空间及投影分析：首先分析截交线的形状（是平面多边形还是平面曲线），然后分析截交线的投影（即分析截交线的投影在哪个面有积聚性，在哪个面反映实形，在哪个面是类似形）。 （2）求出一系列共有点，依次连线，并判别可见性，最后整理轮廓线。 二、平面与平面立体相交 平面与平面立体相交，其截交线是一封闭的平面多边形。其求取方法有：棱线法和棱面法。 棱线法：利用截面多边形的顶点是截平面与立体相应棱线的交点这一特性，求出这些共有点的投影，可得到截交线的投影。 棱面法：利用截面多边形的边是截平面与立体相应棱面的交线，求出各棱线的投影，也得到截交线的投影。 1．平面与棱锥相交 [例4-1] 已知正垂面截切三棱锥，求作截交线的投影，并完成截切后三棱锥的三视图，如图4-3a所示。 a） b） c) d) 图4-3 正三棱锥被正垂面截切 （1）空间及投影分析： 由图4-3b所示可知，立体为正三棱锥，被正垂面所截，截面是三角形。由于截平面是正垂面，故截交线的正面投影积聚为直线，截交线的另两个投影均为类似三角形。 （2）作图： 由截交线的积聚性可在主视图中定出三角形截面的三个顶点的投影1′、2′、3′，利用棱线法求出该三角形截面顶点的侧面投影1″、2″、3″和水平投影1、2、3。如图4-3c所示。连线并判别可见性，整理轮廓线，将水平投影和侧面投影依次连线，将被截去的侧棱线投影擦除，加深棱线和截交线的投影,如图4-3d所示。 思考：如图4-4a所示，三棱锥改为被正垂面和水平面截切，其截切后三棱锥的三视图如何画？ a） b） c） 图4—4 正三棱锥被正垂面和水平面截切 （1）空间及投影分析： 正三棱锥被正垂面和水平面所截，两条截交线均为四边形。根据投影图可知，正垂面截切所得四边形在正面投影有积聚性，在另两面投影均为类似四边形。水平面截切所得四边形在正面投影和侧面投影均有积聚性，水平投影反映实形，如图4-4b所示。 （2）作图： 画出三棱锥截切前的左视图，由点的投影规律，利用平行线法作水平截面的水平投影实形，过1′作铅垂线交sa于1，过1作ac的平行线交sc于3，作23∥bc，过4′作铅垂线得4、7。水平截面的侧面投影积聚为线段1″（4″）7″2″。同理找出正垂截面点Ⅴ、Ⅵ的水平和侧面投影5、6和5″、6″。 判别可见性：两截面交线的水平投影47不可见，画细虚线。整理轮廓线，棱线SA上线段ⅠⅤ和棱线SB上线段ⅡⅥ被切去，因此，三棱锥的三个投影上15、1′5′和1″5″，26、2′6′和2″6″断开，最后检查加深俯、左视图，如图4-4c所示。 2. 平面与棱柱相交 [例4-2] 已知四棱柱被正垂面P截切，求截切后四棱柱的左视图，如图4-5a所示。 a) b) c) 图4-5四棱柱被正垂面截切 （1）空间及投影分析： 四棱柱被一个正垂面截切，截交线为五边形，如图4-5b所示。由于截交线所在的平面P是正垂面，故它的正面投影有积聚性，水平投影和侧面投影是类似五边形。截交线正面投影和水平投影已知，求截交线的侧面投影。 （2）作图： 在正面投影上依次标出五边形顶点的投影a′、b′(e′)、c′(d′)；在水平投影上标出a、b、c、d、e，作四棱柱的侧面投影，求出截交线的侧面投影a"、b"、c"、d"、e"。然后依次连线。 判别可见性，整理轮廓线：从点A、B、E向上的棱线均被切，四棱柱右边的棱线在左视图上不可见，因此从a"向上的棱线投影画细虚线。最后检查加深左视图，如图4-5c所示。 例4-3 已知四棱柱被多个平面所截切，求截切后四棱柱的俯视图，如图4-6所示。 a) b) c) d) 图4-6 四棱柱被多个平面所截切截交线的画法 （1）空间及投影分析： 四棱柱被两个正平面、两个水平面和一个正垂面所切。两个水平面切得的交线是矩形。它们的水平投影反映实形，另两个面投影有积聚性。两个正平面切得的交线是直角梯形。它们的正面投影反映实形，另两个面投影有积聚性。正垂面切得的交线是八边形。正面投影有积聚性，另两个面投影为类似形，如图4-6b所示。 （2）作图： 首先，由“三等”关系作出四棱柱水平投影矩形，再画出两个水平面切得的矩形的水平投影，如图4-6c所示。最后，作正垂面的水平投影类似八边形，检查、加深，如图4-6d所示。 三、平面与回转体相交 平面与回转体相交时，交线一般情况下为平面曲线，特殊情况为直线。求取的方法与步骤同平面立体截切。当截交线为非圆曲线时，作图时先找特殊点，即回转体的转向轮廓线上的点，如最高、最低、最前、最后、最左、最右点等；再定中间点。然后，用光滑的曲线将各点连接起来，判断可见性、整理轮廓线。 1．平面与圆柱相交 截平面与圆柱面交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。位置不同截交线分别得到三种不同情况：矩形、圆和椭圆，如表4-1所示。 表4-1 平面与圆柱相交截交线的不同形状 截平面位置 与轴线垂直 与轴线倾斜 与轴线平行 截交线形状 圆 椭圆 矩形 立体图 投影图 [例4-4] 已知圆柱被截切后的主、左视图，求截切后圆柱的俯视图，如图4-7a所示。 a) b) c) d) 图4-7 圆柱被正垂面截切截交线的画法 （1）空间及投影分析： 平面倾斜于圆柱轴线，截交线的空间形状为椭圆，如图4-7a所示。截交线的正面投影积聚为直线，其侧面投影积聚在圆周上，交线的水平投影为椭圆。 （2）作图： 作特殊点：首先找出椭圆长、短轴的点A（最上或最右点）、B（最左或最下点）、C（最前点）、D（最后点）。这四个点在圆柱的转向轮廓线上，利用“三等”关系求出点A、B、C、D的三面投影。 作一般点：找出一般点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，利用“三等”关系求出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的三面投影，如图4-7b所示。 连线、判别可见性、整理轮廓线：把上面所求点的水平投影a、1、c、3、b、4、d、2依次用光滑曲线连接，得交线的水平投影椭圆。从点C、D向左，圆柱的水平投影转向轮廓线被切，轮廓线应擦去，如图4-7c所示。 思考：本例中若截平面与轴线夹角为45°时，截交线仍为椭圆，俯视图中交线的投影为圆,如图4-7d所示。 [例4-5] 已知圆柱被截切后的主、左视图，求截切后圆柱的俯视图，如图4-8a所示。 a) b) 图4-8 圆柱被正垂面和水平面截切截交线的画法 （1）空间及投影分析： 圆柱被正垂面和水平面所截切，水平面切得的截交线形状为矩形；正垂面切得的截交线为部分椭圆面。两段截交线在正面和侧面投影均有积聚性，投影已知，求水平投影即可。 （2）作图： 画出圆柱被截切之前的水平投影。分别通过特殊点求出椭圆弧和矩形的投影，俯视图中两段交线均可见，圆柱水平投影转向轮廓线从点Ⅱ、Ⅲ向左的部分被切除，其投影应擦去，如图4-8b所示。 思考：上例圆柱改为圆筒被水平面和正垂面截切，圆筒截切后的三视图如何画？ [例4-6] 已知圆柱被切槽和切角后的主、俯视图，补画左视图，如图4-9a、b所示。 （1）空间及投影分析： 圆柱上部被两个侧平面和两个水平面所截切，侧平面切得的截交线形状为矩形，水平面切得的截交线为圆弧和两截面交线组成的封闭平面图形。两截交线在水平投影分别有积聚性和实形性，投影已知；圆柱下部被两个侧平面和一个水平面所截切，侧平面切得的截交线形状为矩形；水平面切得的截交线为圆弧和两截面交线组成的封闭平面图形。两截交线在水平投影分别有积聚性和实形性，投影已知，且与圆柱上部截交线的投影重合；求侧面投影即可。 （2）作图： 先画圆柱上部截交线的侧面投影。侧平面切得的截交线矩形反映实形；水平面切得的截交线积聚为直线段，交线投影均可见，圆柱的侧面投影转向轮廓线未切到，其投影应保留，如图4-9c所示。 再画圆柱下部截交线的侧面投影。侧平面切得的截交线矩形反映实形；水平面切得的截交线积聚为直线段，交线Ⅱ和圆弧段的侧面投影均可见，侧平面和水平面交线的侧面投影不可见，画细虚线，圆柱下部的侧面投影视转向轮廓线被切除，其投影应擦去，如图4-9d所示。 a) b) c) d) 图4-9 圆柱切槽和切角后截交线的画法 思考：若上例圆柱改为如图4-10a所示的圆筒被截切，截切后圆筒的三视图如何画？ a) b) c) d) e) 图4-10 圆筒切槽和切角后截交线的画法 请读者参照上例自己分析。 2．平面与圆锥相交 因平面与圆锥轴线的相对位置不同，平面截切圆锥的截交线有五种形状，如表4-2所示。 表4—2 平面与圆锥相交截交线的不同形状 截平面 位置 过锥顶 与轴线垂直 θ=90° 与轴线倾斜 θ>α 平行于一条素线 θ=α 与轴线平行或倾斜 0≤θ<α 截交线 形状 等腰三角形 圆 椭圆 抛物线+直线段 双曲线+直线段 立 体 图 投 影 图 [例4-7] 已知圆锥被正垂面截切后的主视图，补全截切后圆锥的俯、左视图，如图4-11a所示。 a) b) c) d) 图4-11 圆锥被正垂面截切截交线的画法 （1）空间及投影分析： 圆锥被正垂面截切，截交线的空间形状为椭圆。截交线在主视图投影积聚为一直线段，在另两视图均为椭圆的类似形，如图4-11a所示。 （2）作图： 求特殊点。截交线椭圆长轴AB与短轴EF互相垂直平分，它们各处于正平线和正垂线的位置，在正面投影上为a'、b'、e'（f'）。e'（f'）是a'b'的中点，这些点分别为截交线的最高、最低、最前、最后点，点C、D也是特殊点，是圆锥侧面投影转向轮廓线上的点；由于a'、b'、c'、d'是圆锥转向轮廓线上点的投影，利用“三等”关系，作a、b、c、d和a″、b″、c″、d″。利用纬圆法作e、f和e″、f″，如图4-11b所示。 求一般点。点G、H为截交线上的一般位置点，通过纬圆法求得g、h和g″、h″，如图4-11c所示。将所求点顺次光滑连接，圆锥从点C、D向上的侧面投影转向轮廓线被切，其投影擦除。两俯、左视图中的椭圆投影均可见，如图4-11d所示。 [例4-8] 已知圆锥被正平面截切，补全截切后圆锥的主视图，如图4-12a所示。 a) b) c) 图4-12 圆锥被正平面截切截交线的画法 （1）空间及投影分析： 圆锥被正平面所切，截交线的空间形状为双曲线和直线段。截交线在俯视图积聚为一直线段，主视图反映双曲线实形，如图4-12a、b所示。 （2）作图： 求特殊点。截交线的最高点C、最低点A、E的水平投影已知，最高点C是圆锥侧面投影转向轮廓线上的点，最低点A、E是圆锥底面上的点。用纬圆法求出c′，用“三等”关系求出a′、e′。 求一般点。点B、D为截交线上的一般位置点，用素线法求其正面投影b′、d′。将所求点顺次光滑连接，整理轮廓线，如图4-12c所示。 思考：一般位置点B、D的水平投影b、d和正面投影b′、d′用纬圆法如何求，此题若给出第三投影，是否简单一些。 3．平面与圆球相交 平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，根据截面与投影面的相对位置不同，平面截切圆球的交线投影可分为四种情况，如表4-3所示。 表4—3 平面与圆球相交截交线的不同形状 截面位置 与V面平行 与H面平行 与W面平行 与V面垂直 立 体 图 投 影 图 [例4-9] 半球被三个平面截切，补全截切后半球的俯、左视图，如图4-13a所示。 a) b) 图4-13 圆球被三个面截切截交线的画法 （1）空间及投影分析： 半球被侧平面截切，与球面交线为圆弧，它的水平投影积聚为两线段，侧面投影反映实形。半球被水平面截切，与球面交线为两段圆弧，它的正面投影积聚为两线段，它的水平投影反映实形，侧面投影积聚为线段，如图4-13a所示。 （2）作图： 作半径为R1的水平纬圆，利用“三等”关系，求出交线的水平投影，作半径为R2的侧面纬圆，利用“三等”关系，求出交线的侧面投影。圆球侧面投影转向轮廓线从水平面向上被切去，其投影应擦除。侧平面与水平面交线的侧面投影不可见，画细虚线，其余线段可见，画粗实线，如图4-13b所示。 思考：如图4-14a所示，半圆球改成被三个平面从下方切，截切后半球的俯、左视图如何画？ a) b) 图4-14 圆球被三个面截切截交线的画法 请读者参照上例自己分析。。 4．复合回转体截交线 首先分析复合回转体是由哪些基本回转体组成的以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接，然后判别可见性、整理轮廓线。 [例4-10] 求同轴叠加圆锥、圆柱、圆球被水平面截切后的俯视图，如图4-15a所示。 （1）空间及投影分析： 该复合形体由基本体圆锥、圆柱、圆球同轴叠加而成，被一个水平面截切。水平面与圆锥面的交线是双曲线，与圆柱面交线是两条素线，与圆球面的交线是圆弧，如图4-15b所示。 （2）作图： 求圆锥段截交线双曲线上点的水平投影1、2、3、4、5，求圆柱段截交线两条素线上点的水平投影2、6，3、7。求圆球段的交线圆弧上点的水平投影6、7、8。如图4-15c所示。 将这些点的水平投影按顺序连成光滑曲线，截交线的水平投影可见，画粗实线。圆柱和圆锥相邻处的交线底下不可见，画细虚线，圆柱和圆球相邻表面相切光滑过渡无线，如图4-15d所示。 a) b) c) d) 图4-15 复合回转体截交线的画法 第二节 立体表面的相贯线 一、概述 1．相贯线的定义 在日常生活中,我们经常见到两立体相交,它们表面产生的交线，称为相贯线。如图4-1d、e、f所示。 2．相贯线的分类 相贯线可分为：平面立体与平面立体相贯（建筑制图重点研究）、平面立体与曲面立体相贯（简称平曲相贯）、两曲面立体相贯（简称曲曲相贯）三类。如图4-16所示。 a) 两平面立体相贯 b)平面立体与曲面立体相贯 c)两曲面立体相贯 图4-16 相贯线的分类 3．相贯线的性质 （1）封闭性：一般情况下，为封闭的空间图形。 平面立体与回转体相贯：相贯线为多段直线或曲线组成的封闭空间图形。 两回转体相贯：相贯线为封闭的空间曲线（特殊情况为平面曲线）。 （2）共有性：相贯线是同属于两立体表面的共有线，是一系列共有点的集合。 （3）表面性：相贯线位于两立体的表面，它的形状取决于立体的形状、大小和两立体轴线的相对位置。 二、平面立体与回转体相贯 平面立体与回转体相贯，相贯线为多段直线或曲线组成的封闭空间图形。因此，求相贯线的实质就是求平面立体的棱面与回转体表面的交线。 [例4-11] 已知四棱柱与圆柱相交的俯、左视图，补画主视图。 a) b) 图4-17 四棱柱与圆柱正交的相贯线的画法 （1）空间及投影分析： 四棱柱前后两面与圆柱面的交线为素线；左右两面与圆柱面的交线为圆弧。相贯线为两段素线和两段圆弧组成的空间图形，且前后左右对称。左、俯视图有积聚性，投影已知，求相贯线的正面投影，如图4-17a所示。 （2）作图： 利用“三等”关系，作素线的正面投影1′（3′）、2′（4′），圆弧的正面投影1′（3′）5′、2′（4′）6′。依次连线，整理5′6′之间的轮廓线，如图4-17a、b所示。 思考：上例改为圆柱挖四棱柱孔，相贯线投影如何画？改为圆筒挖四棱柱孔相贯线投影如何画？ [例4-12] 已知半圆柱上挖三棱柱孔的俯、左视图，补画主视图。 a) b) c) d） 图4-18 半圆柱上挖三棱柱孔相贯线的画法 （1）空间及投影分析： 三棱柱正平面与圆柱面的交线为素线，侧平面与圆柱面的交线为圆弧，铅垂面与圆柱面的交线为一段椭圆弧，圆柱面的相贯线由素线、圆弧和椭圆弧组成的空间图形，前后左右均不对称，相贯线的侧面、水平投影均有积聚性，投影已知，求相贯线的正面投影。三棱柱孔与底面的交线为直角三角形，其水平投影与三棱柱孔的水平投影重合，另两面投影均有积聚性，如图4-18a所示。 （2）作图： 利用“三等”关系，作素线的正面投影2′3′，不可见，画细虚线。作圆弧的正面投影1′（2′）4′，1′4′可见画粗实线。三棱柱孔的三条棱线的正面投影均不可见，画细虚线，如图4-18b所示。作椭圆弧的投影，先作特殊点的正面投影1′、3′、5′，再作一般点的正面投影6′、7′，椭圆弧正面投影1′6′5′可见，画粗实线。5′7′3′不可见，画细虚线，如图4-18c所示。 整理轮廓线：正面投影转向轮廓线上点Ⅳ、Ⅴ之间的轮廓线被切，其投影应擦除，检查加深图形，如图4-18d所示。 三、回转体与回转体相贯 两回转体相贯的相贯线一般为闭合的空间曲线，特殊情况下为平面曲线或直线。 组成相贯线上的点是两回转体表面的共有点。 1.求相贯线的步骤： （1）空间及投影分析： 分析回转体表面的相对位置，看是否对称，从而确定相贯线的形状，分析投影情况，看是否有积聚性。 （2）作图： 求出共有点（特殊点和一般点），用光滑曲线依次连接各点；判别可见性并整理轮廓线。 2.求回转体相贯线的方法有：利用积聚性表面取点法，辅助平面法。 3.利用积聚性表面取点法 利用投影具有积聚性的特点，确定两回转体表面上若干个共有点的已知投影，用立体表面取点法求出未知投影。 [例4-13] 补全两轴线垂直相交（正交）圆柱的主视图。 a) b) c) d) 图4-19 两正交圆柱相贯线的画法 （1）空间及投影分析： 两圆柱正交，即轴线垂直相交，相贯线为封闭的空间曲线，且前后、左右对称。大圆柱轴线为侧垂线，其左视图投影积聚为大圆，相贯线的侧面投影为两圆柱共有部分的一段圆弧。小圆柱轴线为铅垂线，其俯视图投影积聚为小圆，相贯线的水平投影也积聚在该圆上，如图4-19a所示。 （2）作图： 求特殊点。相贯线的最左点Ⅰ、最右点Ⅱ分别为两圆柱正面投影转向轮廓线的交点，最前点Ⅲ和最后点Ⅳ是两圆柱侧面投影转向轮廓线的交点。利用“三等”关系求出1′、2′、3′（4′）。如图4-19b所示。 求一般点。为了精确求出相贯线的投影并用曲线光滑连接，应在适当位置求出相贯线上的一般位置点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ。利用“三等”关系求出5′（8′）、6′（7′），如图4-19c所示。 依次用曲线光滑连接1′-5′-3′-6′-2′，可得相贯线的正面投影，如图4-19d所示。由于相贯线前后对称，所以后半部分相贯线的正面投影与前半部分相贯线的正面投影重合。 思考：如图4-20a所示，上例改为挖正交通孔，主视图如何画？如图4-20b所示，大圆柱变圆筒挖通孔三视图如何画？ a) 圆柱挖通孔 b) 圆筒挖通孔 图4-20 圆柱、圆筒挖通孔相贯线的画法 4.讨论： （1）相贯线变化趋势： 当两圆柱直径不相等时，相贯线非积聚性投影（曲线）向大直径圆柱轴线弯曲。如图4-21a、b所示。 当两圆柱直径相等时（公切于一个球），相贯线变为两条平面曲线（椭圆），其投影为垂直相交的线段，如图4-21c所示。 a) b) c) 图4-21 相贯线变化趋势 （2）相贯线可见性判别：如图4-19a和图4-21所示，两外表面相贯、一个内表面与一个外表面相贯，相贯线均可见，相贯线的正面投影画粗实线。两内表面相贯，相贯线不可见，相贯线正面投影画虚线，如图4-22所示。 a) b) 图4-22 两内表面相贯相贯线可见性判别 [例4-14]已知物体的俯、左视图，求物体的主视图，如图4-23a所示。 a) b) c) d) 图4-23 求两立体相贯的主视图 （1）空间及投影分析： 垂直圆筒和水平半圆筒正交，两外表面的相贯线是两个相互垂直的半椭圆。两内表面的相贯线是光滑封闭的空间曲线。内、外表面的相贯线左右前后均对称，相贯线的水平、侧面投影有积聚性，两外表面的相贯线的正面投影为相交两线段，两内表面的相贯线正面投影弯向垂直于W面半圆柱孔的轴线，如图4-23a所示。 （2）作图： 先画外表面相贯线的投影，利用“三等”关系，找特殊点画出垂直相交两线段，如图4-23b所示。画内表面相贯线的投影，先找特殊点，画相贯线弯向半圆柱孔的轴线，相贯线不可见，画细虚线，如图4-23c所示。检查、加深线段，如图4-23d所示。 思考：该题垂直圆柱孔，改为四棱柱孔，三视图如何变化？ [例4-15] 已知圆柱与“U”形柱正交的俯、左视图，补画出主视图，如图4-24a所示 。 a) b) 图4-24 求两立体相贯的主视图 （1）空间及投影分析： 水平圆柱和垂直“U”型柱正交，其相贯线分为两部分。一部分是半圆柱与水平圆柱相贯的相贯线（两曲面立体相贯）。另一部分是四棱柱与水平圆柱相贯的相贯线（平面立体与曲面立体相贯），相贯线前后对称。相贯线的水平、侧面投影有积聚性，正面投影待求，如图4-24a所示。 （2）作图： 先画半圆柱与水平圆柱相贯线的投影，利用“三等”关系，找特殊点，相贯线向垂直于W面圆柱的轴线弯曲，再画四棱柱与水平圆柱相贯的相贯线的投影，向垂直于W面圆柱的轴线弯折，相贯线可见，如图4-24b所示。 思考：如图4-25所示，该题改为圆筒挖“U”形孔，挖切后圆筒的三视图如何画？ a) b) c) d) 图4-25 圆筒挖“U”形孔相贯线的画法 请读者自己分析。