非线性双容水箱建模与预测控制

第 18卷第 8期 系 统 仿 真 学 报© Vol. 18 No. 8 2006年 8月 Journal of System Simulation Aug., 2006 ·2078· 非线性双容水箱建模与预测控制 陈 薇，吴 刚 （中国科学技术大学自动化系, 安徽 合肥 230027） 摘 要：应用流体力学理论对双容水箱液位系统进行力学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，采用机理建模方法，建立非线性数 学模型。应用实测数据拟合模型参数，采用三组仿真/实测阶跃响应曲线，验证了机理模型。采用 有约束一步非线性预测控制算法，并考虑了控制工程中多种实际约束问题，对双容水箱液位系统进 行了实际控制。实验结果初步验证了控制算法，并进一步验证了模型的有效性。 关键词：机理模型；非线性预测控制；约束控制；双容水箱 中图分类号：TP273 文献标识码：A 文章编号：1004-731X (2006) 08-2078-04 Modeling of Nonlinear Two-tank System and Model Predictive Control CHEN Wei, WU Gang (Department of Automation, University of Science and Technology of China, Hefei 230027, China) Abstract: By using hydrodynamics theory, the mechanics principle of two-tank system was analyzed and the system nonlinear mathematics model was established. The parameters of the system model were gained from the metrical data, three curves of simulation and real-time proved the validity of system state equation and reasonableness of control method in special control area. Constrained one-step nonlinear model predictive control algorithm was proposed. And input constraints, input rate constraints and output constraints were considered. Experiments in the real tank system proved the correctness of the method and effectiveness of the proposed controller. Key words: mechanism model; nonlinear model predictive control; constraint control; two-tank system 引 言1 基于线性模型的预测控制作为一类先进的控制算法，能 处理大时滞控制问题、抗干扰能力强、能有效处理约束，并 适用于多输入多输出系统。当系统非线性较强时，基于线性 模型的预测控制不能满足控制要求，必须采用非线性预测控 制。但一般非线性预测控制算法无法得到解析形式的控制 律，需要在每个采样周期内在线求解非线性规划，得到数值 解。本文采用有约束一步非线性预测控制算法，可以得到解 析形式的控制律，便于实际应用。 建立准确有效的模型是提高控制品质的有效途径之一。 机理模型[1]是利用能量守恒和物质守恒等物理化学定律、定 理推导出的数学模型。系统辨识模型是根据试验数据建立的 等效数学模型。机理模型不仅能描述系统输入输出关系，而 且能够描述系统内在联系和运动规律。但若系统工艺复杂， 关联因素多，则建立机理模型往往难度较大。因此，综合机 理建模和系统辨识方法建立的数学模型是比较理想的。 对液位控制系统，一般是在工作点附近线性化或反馈线 性化后，加以控制的。控制方法有 PID控制、基于线性模型 的预测控制[2]、模糊控制[3]、人工神经网络[4]等等。本文应 收稿日期：2005-06-13 修回日期：2005-12-26 基金项目：新世纪优秀人才支持计划资助(NCET-04-0564); 安徽省优秀 青年科技基金资助(04042046). 作者简介：陈 薇(1981-), 女, 上海松江人, 博士生, 研究方向为非线性 预测控制；吴刚(1964-), 男, 江苏南通人, 教授, 博导, 研究方向为先进 控制与优化。 用流体力学理论对双容水箱液位系统进行力学分析，建立系 统非线性机理模型,采用有约束一步非线性预测控制算法实 现了闭环控制。 1 单容水箱机理建模 单容水箱液位系统示意图如图 1： 图 1 单容水箱示意图 将出水口的水平面 00 ′− 为基准面，对 11 ′− 断面和 22 ′− 断面列伯努里方程[5]： 2 2 0 0 00 2 2 w p v p vH k g g g g α α ρ ρ+ + = + + + (1) 其中：H为 11 ′− 断面距 00 ′− 基准面的高度；p为大气压强； ρ 为水的密度；v 为 22 ′− 断面上的流速。假设 11 ′− 断面上 流速很小，v0≈0； 22 ′− 断面上为缓变流，α0=1；kw为从 11 ′− 断面和 22 ′− 断面流动过程中的损失，kw=k1+k2 2 2 2 2 L v v d g g λ ξ= + 。 则有： 第 18卷第 8期 Vol. 18 No. 8 2006年 8月 陈 薇, 等：非线性双容水箱建模与预测控制 Aug., 2006 ·2079· 2 2 0 (1 )2 2wg g v L vH k d α λ ζ= + = + + (2) 故出口管道的流量为： 2 2 1 output g g SQ Sv H S H L d µ λ ζ = = = + + (3) 其中：管道流量系数 1 1 L d µ λ ζ = + + ；S为管道横截面积。 故得到单容水箱数学模型： input outputAH Q Q= −& (4) 其中：Qinput为输入流量，A为水箱横截面积。 2 双容水箱机理建模 2.1 双容水箱结构 双容水箱液位系统结构如图 2所示。 图 2 双容水箱液位系统示意图 实验装置的主体是由两个圆柱形有机玻璃容器 T1 和 T2、蓄水池、连接阀 V1、泄漏阀 V2组成，并配有执行机构 和传感器。蓄水池中的水由泵 P1抽出，经过采用脉宽调制 控制的电磁阀 V3注入水箱 T1，经连接阀 V1流到水箱 T2，再 经泄漏阀 V2流向蓄水池。被控量是水箱 T2液位。 液位 1 2,h h 由压力传感器测量，转换成 1－5V的标准直 流电信号，通过 PC6313接口卡转换成数字信号送入 PC机。 根据 PC 机中的控制器，计算出相应的控制量，再通过 PC6313 接口卡转换成 4－20mA 的控制信号，利用电磁阀 V3控制输入流量 Qinput。 2.2 采用脉宽调制的电磁阀 采用脉宽调制的电磁阀 V3输入量为 4－20mA 电流， Tc时间内的输出流量 Qu为： 2 u d s pQ C A D ρ ∆= (5) 其中：Tc = ton + toff为脉冲周期；ton为阀开启时间；toff为阀 关闭的时间；D = ton / Tc为占空比；Cd为阀的流量系数；As 为阀口面积；∆p为电磁阀前后的压差；ρ为液体密度。 通过实验测定电磁阀 V3的实际流量特性。测量经过电 磁阀向水箱 T1提供相同高度的水所用的时间来估计流量。 输入量 : 4 20u mA− 归一化为 0% 100%− 。图 3 为电磁阀 V3 实际的流量特性。 图 3 电磁阀 V3实际流量特性 从图 3 可以看出，电磁阀的实际流量特性呈现很大的 饱和区。实际控制时，当电磁阀工作在[0,50%]范围内时， 输入量与输出流量基本呈线性关系。 2.3 双容水箱机理建模 根据流量平衡原理，模型描述如下： 1 12 2 12 20 input dhA Q Q dt dhA Q Q dt = − = − (6) 其中： 1/ 212 1 1 2 1 2sgn( )(2 )Q S h h g h hµ= − − ， 1/ 220 2 2(2 )Q S ghµ= , 1, 0 sgn( ) 1, 0 z z z ≥⎧= ⎨− <⎩ 是参数 z的符号函数。 当 h1, h2达到稳态平衡时得： 1/ 2 1 1 2 1/ 2 2 1 1 2 2 /( (2 ( )) ) (( ) / ) inputQ S g h h h h h µ µ µ = − = − (7) 选取不同的稳态值 1 2,h h ，根据参数估计可得管道的流 量系数，可得：µ1 = 0.3565, µ2 = 0.3050。(6)式中各参数的物 理意义和数值见表 1，其中：A, S可直接测量；g是常数。 表 1 各参数物理意义及数值 符号 物理意义 数值 A 水箱横截面积 6.3585×10-3m2 S 管道横截面积 6.3585×10-5m2 g 重力加速度 9.806m/s2 µ1 流量系数 1 0.3565 µ2 流量系数 2 0.3050 3 双容水箱模型验证 机理模型是建立在若干假设条件基础上的，因此需要对 数学模型和估计参数值的正确性进行验证，以确认所得数学 模型的有效性。通过对比在阶跃信号作用下模型仿真输出与 实际输出曲线来验证模型的有效性。 采样周期为 1s，运行时间为 1000秒，给定三组控制量 进行实验。控制量 mAu 204: − 归一化为 %100%0 − ；系统 输出量(水箱液位高度值:[0,500mm])也归一化为 %100%0 − 。 图 4、5、6中，实线代表实际数据；虚线代表运用水箱机理 模型得到的 matlab仿真数据。图 4控制量为 18.75%；图 5 控制量为 25%，图 6控制量为 31.25%。 100% 80% 60% 40% 20% 0% 实 际 流 量 (立 方 厘 米 /秒 ) 0% 25% 50% 75% 100% 相对控制量 电磁阀实际流量特性 第 18卷第 8期 Vol. 18 No. 8 2006年 8月 系 统 仿 真 学 报 Aug., 2006 ·2080· 图 4 系统实际输出与机理模型的输出曲线 图 5 系统实际输出与机理模型的输出曲线 图 6 系统实际输出与机理模型的输出曲线 从上面 3幅图中可见两者是比较吻合的，说明应用流体 力学理论建立的数学模型是合适的，能够满足要求。其分析 结果如表 2所示。 表 2 不同控制量的试验分析结果 控制量mA 7 8 9 水箱 1液位 0.29％ 1.88％ 0.85％ 平均 误差 水箱 2液位 0.07％ 0.41％ 1.25％ 水箱 1液位 2.88％ 4.72％ 4.93％ 最大 动态误差 水箱 2液位 2.01％ 2.63％ 3.21％ 4 一步非线性预测控制算法 考虑如下仿射非线性系统： 1 ( ) ( )k k k k k k x f x g x u y Dx + = + = (8) 其中：状态向量 nkx X R∈ ⊆ ；控制向量 pku U R∈ ⊆ ；输出 向量 mky R∈ ； : n nf R R→ ， : n n pg R R ×→ 均为非线性函 数矩阵； m nD R ×∈ 。 4.1 预测模型 k时刻的一步预测模型： 1| | | | | | 1 | | | 1 | | ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( , ) ( ) k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k y Df x Dg x u Df x Dg x u Dg x u G x u Dg x u + − − = + = + + ∆ = + ∆ (9) 其中： 1|k ky + 为 k时刻对未来 1+k 时刻系统输出的预测值； | | 1k k k k ku u u −∆ = − ； | 1( , )k k kG x u − 是系统未来输出预测中由已 知信息构成的部分； | |( )k k k kDg x u∆ 是系统未来输出预测中由 未知而待求的控制量增量组成的部分。 4.2 性能指标 性能指标： 2 2 1| 1 | 1 1 2 2k k k k k kQ P J y w u+ += − + ∆ | | 1 | | 2 0 1 1 1 1 2 2 2 2 T T k k k k k k k ku H u F u u F J= ∆ ∆ + ∆ + ∆ + (10a) 其中： | | 1 | 1 1 | 2 | | 1 1 0 | 1 1 | 1 1 2 1 ( ( )) ( ( )) ( ( , ) ) ( ) ( ( )) ( ( , ) ) ( ( , ) ) ( ( , ) ) T k k k k T k k k k k k T k k k k k k T k k k k k k k k T H Dg x Q Dg x P F G x u w QDg x F Dg x Q G x u w J G x u w Q G x u w F F F − + − + − + − + = + = − = − = − − = = (10b) 1+kw 为 1+k 时刻设定值轨迹向量， m mQ × 为输出量权重矩 阵， n nP × 为控制增量权重矩阵， ,n n m mP Q× × 均为正定对角线 矩阵。 4.3 各种实际约束情况 在日趋复杂的工业控制工程中，需要考虑多种约束对 优化控制的影响。 · 控制量幅值约束 min | maxk ku u u≤ ≤ · 控制增量约束 min | maxk ku u u∆ ≤ ∆ ≤ ∆ · 输出量约束 min 1| maxk ky y y+≤ ≤ 将上面 3种约束综合简记为 |k kA u b∆ ≤ 。 4.4 有约束一步非线性预测控制 |min . .k k k u J s t A u b∆ ∆ ≤ (11) 在 k 时刻针对性能指标 kJ 和相应的约束条件进行优 化，便可求出优化控制律 |k ku∆ ，并在 k 时刻实施控制 1 |k k k ku u u−= + ∆ ，在 1+k 时刻重复进行上述优化控制过程。 第 18卷第 8期 Vol. 18 No. 8 2006年 8月 陈 薇, 等：非线性双容水箱建模与预测控制 Aug., 2006 ·2081· 记： 1 2 1 2[ ... ] , [ ... ]T T T T Tl lA a a a b b b b= = ，那么就可 以得到 l个如下形式的不等式 | , 1,...,Ti k k ia u b i l∆ ≤ = 。 取 Lagrange函数： | | | 1 | | 2 0 | 1 1( , ) 2 2 1 1 ( ) 2 2 T k k i k k k k k k T T T k k i i k k i L u u H u F u u F J a u b λ λ ∆ = ∆ ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ − 其中： iλ 为 Lagrange乘子。可得： | | | 0 0 k k i i k k T i k k i i L H u F a u L a u b λ λ ∂ = ∆ + + =∂∆ ∂ = ∆ − =∂ 解得： 1 | 1 1 ( ),k k i i T i i i T i i u H F a a H F b a H a λ λ − − − ∆ = − + += − (12) 若 0iλ < ，说明该不等式对 |k ku∆ 是不起作用的约束， 则可以取消这个子约束不等式 |Ti k k ia u b∆ ≤ ，令 0iλ = ；若 0iλ ≥ ，说明该不等式对 |k ku∆ 是起作用的约束，则保留 iλ 值。故最终的控制律为： 1( )Tku H F A λ− ∗∆ = − + (13) 其中： 1[ ... ... ]i lλ λ λ λ∗ = 。 由此可见，引入 ∗λ 即考虑到有效的约束条件。对起作 用的约束进行处理，对于不起作用的约束是不需要处理的， 从而实现对过程的优化控制。 5 实际控制结果 对于双容水箱液位系统的控制目标是水箱 2 液位高度 达到设定值。水箱 1、2 初始液位均为 0。水箱 2 液位高度 设定值为 m1.0 ，等待到达稳定状态时，改变原来的设定值 到 m15.0 。 5.1 PID控制实验结果 对双容水箱液位系统采用 PID 控制。PID 调节器参数 为 Kp = 2, Ki = 0.03, Kd = 0。采样时间为 TS = 1s。系统响应 曲线如图 7所示。具体分析结果如表 3所示。 图 7 控制响应曲线及控制量曲线（PID控制） 表 3 PID控制效果 时间段 0秒－210秒 211秒－530秒 531秒－850秒 设定值 0.1米 0.15米 0.1米 过渡过程时间 105秒 177秒 167秒 超调量 0％ 8.1％ 11.5％ 5.2 一步非线性预测控制 设定采样周期 TS = 1s, Q = 8, P = 1, 系统约束为： · 控制幅值约束 3.72×10-6m3/s ≤ u ≤ 3.521×10-5m3/s； · 输出约束 0 0.46y m≤ ≤ 。 采用一步预测控制算法得到系统响应曲线如图 8所示。 具体分析结果如表 4所示。 表 4 一步非线性预测控制的控制效果 时间段 0秒－190秒 191秒－490秒 491秒－700秒 设定值 0.1米 0.15米 0.1米 过渡过程时间 80秒 88秒 95秒 超调量 无 无 无 图 8 控制响应曲线及控制量曲线（一步非线性预测控制） 5.3 比较 从表 3 表 4 可以看出一步预测控制算法明显好于 PID 算法。过渡过程时间明显比 PID控制短，闭环系统响应快， 而且无超调，过渡过程平稳，控制效果好。 6 结论 本文采用机理分析的方法建立液位控制系统的非线性 数学模型，并提出有约束一步非线性预测控制算法，应用到 该系统中，得出如下主要结论： (1) 针对本文所建立的数学模型进行了大量的实验，证 明了该机理模型的合理性，为非线性预测控制提供了有效 的预测模型。 (2) 提出了基于状态空间模型的一步非线性预测控制 算法，并且考虑了实际控制过程中多种约束问题，表现出 良好的控制效果。 参考文献: [1] 孙德敏. 工程最优化方法及应用（修订版）[M]. 合肥: 中国科学 技术大学出版社, 1997, 11. (下转第 2085页) 第 18卷第 8期 Vol. 18 No. 8 2006年 8月 林靖宇, 等：常规飞机的神经网络逆模型 Aug., 2006 ·2085· 1 0.6 0.2 -0.2 -0.6 -1 0 2000 4000 6000 8000 10000 样本序号 归 一 化 的 纵 向 舵 面 偏 转 量 图 1 归一化的纵向舵面偏转量 1 0.6 0.2 -0.2 -0.6 -1 0 2000 4000 6000 8000 10000 样本序号 神 经 网 络 输 出 图 2 sigma-pi网络输出 3 结论 基于动态逆的非线性飞行控制方法对飞机逆模型的误 差非常敏感。引言中提到用神经网络实现飞机逆模型主要面 临 4个方面的困难，本文研究了这些问题的一些解决 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ： · 用 sigma-pi网络构造飞机逆模型时，需要确定的主 要参数是各变量的阶数。用式(10)~(12)将期望的角加速度 rqp &&& ,, 转换为期望的气动力矩系数 Cl、Cm、Cn，然后利用 Cl、Cm、Cn与状态变量的关系，可以得到低维数的飞机逆 模型的方程。这样降低了网络构造的难度。 · 仿真结果表明，sigma-pi 网络对目标函数快速变化 的部分不敏感，这能够在一定程度上克服气动力和气动力矩 的不确定性，但是也增大了模型误差。 · 由于 sigma-pi网络属于全局逼近网络，能够保证系 统有较好的泛化能力，样本稀疏的问题不是很严重。但是训 练全局逼近网络容易陷入局部极值，本文采用逐步增加变量 阶数的方法解决训练困难的问题。 · sigma-pi 网络的计算量主要由系统的维数和输入变 量的阶数决定。本文中，纵向通道的三维网络的基函数数量 为 168)446(26 =++×× 个。滚转和偏航通道中，如果α 、 Mn和 h的最高阶数分别为 5、1和 5，Cl、Cn、p、r和 β 的 最高阶数均为 3，则每个通道的 sigma-pi网络的基函数数量 为 1440)44444(626 =++++××× 个。我们发现直接训 练 4维的 sigma-pi网络非常困难。一个解决方法是先选择对 系统影响不大的状态变量，将其最高阶数设置为 0阶，然后 逐步增加阶数。 本文只研究了纵向通道的仿真，其训练方法和结论也适 用于滚转和偏航通道。但是因为这两个通道相互耦合，所以 难以获得比较完备的数据。从一个初始状态开始进行某个飞 行动作，然后用得到的数据训练出的模型，可以用于估计相 似初始状态下同样飞行动作的舵面偏转，但对于任意飞行动 作则估计误差很大。因此这个问题还需要进一步研究。 参考文献: [1] A J Calise, R T Rysdyk. 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