Fibonacci数列与行列式

Fibonacci数列与行列式 陈 霞 312000) (绍兴文理学院 数学系， 浙江 绍兴 摘要: 研究了元素为广义Fibonacci数的行列式的性质以及广义Fibonacci数在初等数学上的应用，给出了 一些有用的结果. 关键词: Fibonacci数列; 行列式;递归序列. 1 引言 “有人养了一对兔子，一个月后长大并开始每月生下一对小兔子。新的每对小兔子也是按此规律繁衍. 若兔子都不死亡，问一年后总共有多少对兔子,” 这是一道很有意思的算术问题，结果也不难逐月算出来，但对由此问题产生出来的Fibonacci数列的研究至今仍有相当价值，它最早出自1202年，意大利比萨市的数学家费波那契写的一本书《算经》中. 由于Fibonacci数列在理论上的严谨性及应用上的广泛性，近年来越来越引起人们的研究兴趣. 1963年开始出版的专门性杂志《Fibonacci Quarterly》标志着对其性质及应用研究进入了一个崭新的历史阶段. 在我国自八十年代以来也加大了对它的研究力度，主要标志是一批中青年数学工作者加入研究行列，陆续发表了一些研究文章.出版两部专著:吴振奎教授的《斐波那契数列》，周持中教授的《Fibonacci数，Lucas数及其应用》. Fibonacci数的应用是研究工作中的一个重要方面，早在1854年，法国数学家拉姆就利用Fibonacci数列证明了“应用辗转相除(欧几里得除法)法的步骤(既辗转相除的次数)不大于较小的那个数的位数的五倍”.这是Fibonacci数列第一次有价值的应用. 后来，鲁卡 127斯利用Fibonacci数列的性质证明2-1是一个质数.这在当时是人们所知的最大素数. (5,1)/2它的完美的前后项之比的极限使其在历史上赢得黄金分割的美誉.古埃及的金字古希腊雅典的他农神庙、巴黎的圣母院、印度的泰姬陵以至近世纪的埃菲尔铁塔等建筑中都有不少与黄金分割率相关的尺寸数据;桌面的长宽比、围巾的折叠围起位置、报幕员在前台上午站立点，以至弦乐器琴弦下声码的放置点也都以黄金分割点最佳. 运筹学方面单因数优选法中的“分数法”则是一种直接应用费波那契数列作为试验区间长度序列的方法，它可以做到在尽量少的试验次数内寻求出最佳的投产 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 . 费波那契数列还在估计辗转相除法的步骤，表示真分数为单位分数之和以及发现梅森素数等方面显示了威力. 它甚至还被应用到平面正方形铺砌、火柴游戏、象棋马步以及一些几何图形的研究方面. 更有趣的是:植物的生长也与费波那契数列有关. 文献[3]探讨了Fibonacci数列在研究一些特殊行列式值方面的应用，为了后文讨论的需要本文将其叙述如下: [1]F,F，FFF定义1 满足递推关系，及初始条件=1，=1的关系式称为 nn,1n,201 ,FFF,？F,？Fibonacci关系式，，，称为Fibonacci数，,,称为Fibonacci数列，F0n21n0 第 1 页 共 16 页 即 1，1，2，3，5，8，13，21， 34？ ,,,,,该数列的通项为，那么=1，,=1，且=+，，(n,0,1,2,？)(i,2)n0i,2ii,11 并且我们知道该数列的通项公式为 11515，,n，1n，1, =. (a)[()()],n225 ,还有一些其他的表达式 n nr,,1,,, = ， ， (b),,(n,1)n,,,rr,0,, ,,nFF11n，1n,,,,,,, ==， ， (c) (n,2)n,,,,11,,,,FFnn，1,, 11 ,111 , = ， . (d)(n,2),11？n ？？1 ,11 [3] 费波那契数列还有很多有趣的性质: n2FF(,1)1. ; ,F,nn，1n,1 n F,1F,2. ; ,n，2kk,1 nn ,F,1F,FF3. ，; ,,2k,12k2n，12nk,1k,1 n2F,FF4.;; k,nn，1k,1 22,F5. ; F,Fn，1n,12n FF，FF,F6. ; mn，1m,1nm，n 第 2 页 共 16 页 nFF,FF,2(,1)7. ; n,1n，3nn，2 22F8. +=. FFnn，12n，1 费波那契数列还有一些更深刻的性质，比如它的数论性质、倒数性质、与连分数及循环小数的关联等等.也正因为它的这些性质，使得它在许多方面有着广泛的应用. 这里对这些性质暂时不加研究. 在高等代数中阶行列式 n ,,,,，0？00 ,,,,1，？00n，1n，1,,,,,,D, 01，？00(,,,)n,,,？？？？？？ 000？1,，, D将行列式按第一行展开可得: n D,DD， (,，,),,,nn,1n,2 ,1D,DDD若令=1，=，则上面的递推关系式变为:+，且易知=1，,，,,,nn,1n,21 ,,,,DD,,如果再令1，那么易见数列与完全相同. 从而有: n0n 1,10？00 11,1？00 ,= 011？00n ？？？？？？ 000？11 这就是说Fibonacci数列的通项可以用行列式来表示，同上(d)式. 这样就把行列式和Fibonacci数列两个似乎风马牛不相及的东西有机地联系在一起了. 11,,,,我们可以利用矩阵对Fibonacci数列的性质进行证明. 其中称为FibonacciA,,,10,,矩阵 [5]n2FF(,1)性质1 ; ,F,nn，1n,1 nn(,1)A,证明: 即得 n[5]F,1F,性质2 ,n，2kk,1 2nn(A，A，？，A),A(I,A)证明:？ (I,A) ,1,,A(I,A) 第 3 页 共 16 页 2nn，22 ？A，A，？，A,A,A n F,1F, ？,n，2kk,1 nn[5],F,1F,FF ， 性质3,,2k,12k2n，12nk,1k,1 2242n22n(A，A，？，A),A(I,A)(I,A)证明: 2,,A 又 ？I,A 242n2n，1 ？A，A，？，A,A,A n ,F,1F ？,2k2n，1k,1 n F,F ,2k,12nk,1 n2[5]F,FF 性质4k,nn，1k,1 n证明:由 (n,2)A,FA，FInn,1 2n FA,FA，F,FInnnn,1 2n,1同样 FA,FA，F,FI？n,1n,1n,1n,2 22 FA,FA，FFI2221 把这些式子相加 2222nn,1FA, (F，F)A，(F,F，？，FF)IF，？，FA，FA，？，n,12n2nn,121nn,1 n2F,FF ？ k,nn，1k,1 上面我们用行列式表示了Fibonacci数列的通项，下面考虑一个n阶行列式的元素都是 Fibonacci数列的项时，n阶行列式值的情形. 首先考察n阶行列式: ,,,？,012n,1 ,,,？,123n (1)？？？？？ ,,,？,n,1nn，12n,2 第 4 页 共 16 页 ,,,当时，由=+ ，将行列式(1)的第一列加到第二列上去，则行(i,2)n,3i,2ii,1 列式(1)变为: ,,,？,022n,1 ,,,？,133n,1 () ？？？？？ ,,,？,n,1n，1n，12n,2 ,,1行列式(的第二列与第三列完全相同，当时，行列式()为0，即行列式？？1)n,3(1)为0;当=2，=1时易见行列式(1)均为1. nn 从而得到下面的结论: ,,,？,,012n,11,(n,1),,,,,？,,123n命题1 n阶行列式 =1,(n,2),,？？？？？,0.(n,3).,,,,？,n,1nn，12n,2, 下面再考察阶行列式 n ,,,？,012n,1 ,,,？,234n，1 ,,,？, (2)456n，3 ？？？？？ ,,,？,2n,22n,12n3n,3 当时，将行列式(2)的第一列加到第二列上去可得到第二列与第三列完全相同，n,3 从而行列式为0;当n=2，n=1时易见行列式(2)均为1. 从而得到下面的结论: 命题2 n阶行列式 ,,,？,012n,1 ,1(当n,1时),,,,？,234n，1,,1(当n,2时),,,,？, = ,456n，3 ,？？？？？0(当n,3时).,,,,,？,2n,22n,12n3n,3 由上面两个命题我们得到启发:只要行列式每行n个元素是Fibonacci数列连续的n项， 那么这类行列式当时必为0. 即有下面的结论: n,3 a,a,？,an命题3 设是任意非负整数，当时，阶行列式:n,312n 第 5 页 共 16 页 ,,,？,aa，1a，2a，n,11111 ,,,？,aa，1a，2a，n,12222=0 (3)？？？？？ ,,,？,aa，1a，2a，n,1nnnn n,3证明:将第一列加到第二列上去，则第二列与第三列完全相同，所以当时，行列 式为0. 上面我们讨论的行列式的每一行的元素在Fibonacci数列中的位置是连续的，下面考虑 每行元素在数列中的位置是不连续的情形. 先考虑行列式: ,,,？,0242n,2 ,,,？,2462n ,,,？, 4682n，2 ？？？？？ ,,,？,2n,22n2n，24n,4(4) ,,,，,,,,,,因为，所以， 2n，22n，12n2n，22n2n，1先将行列式(4)的第二列乘(-2)加到第三列上再将第一列加到第二列上去可得: ,,,？,0222n,2 ,,,？,2442n ,,,？,， 4662n，2 ？？？？？ ,,,？,2n,22n2n4n,4 此行列式有两列相同，则行列式必为0. 所以有下面的结论: 命题4 当时，n阶行列式 n,3 ,,,？,0242n,2 ,,,？,2462n ,,,？,=0 4682n，2 ？？？？？ ,,,？,2n,22n2n，24n,4 一般地有先面的结论: a,a,？,a命题5设是任意非负整数，为不小于1的整数，当时，n阶行列rn,312n 式 第 6 页 共 16 页 ,,,？,aa，ra，2ra，(n,1)r1111 ,,,？,aa，ra，2ra，(n,1)r2222 ？？？？？ ,,,？,aa，ra，2ra，(n,1)rnnnn (5) 的值为零. 证明:因为 , ,,，,a，2r,1a，2ra，2r,2111 ,2,，,a，2r,2a，2r,311 ,3,，2,a，2r,3a，2r,411 ,4,，3,a，2r,4a，2r,511 ,？？ ,,, (i,1,2,？,n)，,,ra，rr,1a，r,111 所以 (i,1,2,？,n),,,,,,,a，2rra，rr,1a，r,1111 ,,因此将行列式(5)的第二列的()倍加到第三列上去，行列式(5)变为:r ,,,,？,aa，rr,1a，r,1a，(n,1)r1111 ,,,,？,aa，rr,1a，r,1a，(n,1)r2222 ？？？？？ ,,,,？,aa，rr,1a，r,1a，(n,1)rnnnn ,,,？,aa，ra，r,1a，(n,1)r1111 ,,,？,aa，ra，r,1a，(n,1)r2222,========== r,1？？？？？ ,,,？,aa，ra，r,1a，(n,1)rnnnn ,,,？,aa，r,2a，r,1a，(n,1)r1111 ,,,？,将第三列的(,1)倍aa，r,2a，r,1a，(n,1)r2222, r,1？？？？？加到第二列上去 ,,,？,aa，r,2a，r,1a，(n,1)rnnnn 第 7 页 共 16 页 ,,,？,aa，r,2a，r,3a，(n,1)r1111 ,,,？,aa，r,2a，r,3a，(n,1)r2222========== , r,1？？？？？ ,,,？,aa，r,2a，r,3a，(n,1)rnnnn ,？？这样一直下去，因为是自然数，所以经过有限次的变换之后，行列式的第二r 列或者第三列总会变得与第一列相同，因此，当时，行列式(5)为0.n,3 以上所讨论的行列式的每行元素的下标都是有规律变化的，对于元素的下标无规律的变化所得到的行列式也可以通过若干次的恒等变换将第二列或第三列变为与第一列相同，从而D=0. 故当时，阶行列式D=0. nn,3 本文的目的是探讨与广义Fibonacci数列相类似的结果，为此首先叙述广义Fibonacci数列. 2 关于Fibonacci数列及其性质 上面我们通过对Fibonacci数列的研究，定义较Fibonacci数列更为一般的数列形式:广义Fibonacci数列. [11],F,aF，bF定义2 如果序列是满足方程，，且a,b,Rn,1,2,,,{F}n，1nn,1nn,0 22,p，q,0F,q;;，则称序列为广义Fibonacci数列.p,q,RF,p,{F}1nn,00 广义Fibonacci数列的任一项都是它的前两项之线性组合，初始两项是两个非零常数.如果广义Fibonacci数列中的四个常数都等于1，则变为Fibonacci数列. Fibonaccia,b,p,q 数列的数论性质一直引起人们的广泛关注，所以有必要探讨广义Fibonacci数列的数论性质. 为求得广义Fibonacci数列的通项，现引入特征方程，特征根等有关知识. k,1k,2[6]kU,，aU，？，aU,a,,a,,？定义3对于数列有:,aUn2n,2kn,k12n,11 a,,a{U}=0，0，称为数列的特征方程. 它在复数域上的个根称为该数列的特征根.kkkn [6]U,，aU，？，aUa,定理1 设数列，0，的特n,k,k，1,？aUn2n,2kn,kkn,11 ,l,l,？,l,,,？,征根为，，重数依次为，则数列通项为: t12t21 ,1,,lll11t12inininU,Cn,，Cn,，？，Cn,C，其中C,？,C,？,C,？,,,,niitit1122tl,1101l,1t0t1,,,0iii00 U,U,？,U共个数完全由初始值所确定. k01k，1 第 8 页 共 16 页 下面我们来求广义Fibonacci数列的通项. F,aF，bF因为广义Fibonacci数列为，且F,1，F,0,n，1nn,110 2所以其特征方程为 ,,a,,b,0 22a，a，ba,a，b44,,,,特征根为，于是有: 1222 21) 当时， ,,a，4b,0 nnC,C，其中满足 F,C,，C,121122n 0,C，C,12 ,1C,C,,，1122, 11C,C,,即，，从而 1222a，4ba，4b 22aa4ba,a，b，，41nn[(),()]F, n222a，4b 22) 当时， ,,a，4b,0 aanC,CCC() ，其中，满足=0，且1=，即=0，F,(C，Cn),,,C，C12111212n22 a2n,1C=，从而 ,()Fn2na2 ,,,F,n1，对于广义Fibonacci数列之增长率数列，因为,{U},,nn,1Fn,,n1, ，FaFbF11，1，1nnn,,U=，设，则有a，b，即，abU,LimUU,nn,,nFFUUnnn,1 22，是方程的根，此时负根没有意义，所以 U,aU,b,0x,ax,b,0U 2a，a，b4U,. 2 上面我们对广义Fibonacci数列的通项进行求解，下面我们对一般的递归数列求通项， 并讨论它与行列式的联系. ,,M已知数列满足递归关系: n M,3M，2M (n,3)nn,2n,3 第 9 页 共 16 页 M,4,及初值M,7,M,9,求此递归关系. 012 22x,3x,2,(x,2)(x，1),0q,2,q,,1解:特征方程:的根为.重数为01 r,1,r,2. 12 nnM,C,2，(C，Cn)(,1)故.代入初值. n231 C，C,4C,3,,121,,2C,C,C,7,C,1得方程组: ,,1232 ,,C,,24C，C，2C,93123,, nnM,3,2，(1,2n)(,1)得通项公式 . n 3 元素为广义Fibonacci数列的行列式的性质 n,,M类似Fibonacci数列的研究方法，我们考虑一个阶行列式的元素都是数列的项，n 阶行列式值的情形. n 首先考察阶行列式: n MMMM？M0123n,1 MMMM？M1234n D, MMMM？M (I)n2345n，1 ？？？？？？ MMMM？Mn,1nn，1n，22n,2 M,3M，2M当时，由 ，将行列式(I)的第二列乘以3，再(n,3)n,4nn,2n,3 将第一列的2倍加到第二列上，则行列式(I)变为: M3M，2MMM？M01023n,1 M3M，2MMM？M12134n ,M3M，2MMM？M (I)23245n，1 ？？？？？？ M3M，2MMM？Mn,1nn,1n，1n，22n,2 MMMM？M0323n,1 MMMM？M1434n MMMM？M ========== 2545n，1 ？？？？？？ MMMM？Mn,1n，2n，1n，22n,2 ,因为行列式第二列与第四列完全相同，所以当时，行列式为0，即行列式(I)(I)n,4 第 10 页 共 16 页 为0，从而有下面的结论: ,1命题 阶行列式，当时 nn,4 MMMM？M0123n,1 MMMM？M1234n =0， MMMM？M2345n，1 ？？？？？？ MMMM？Mn,1nn，1n，22n,2 下面再考察阶行列式: n MMMM？M0123n,1 MMMM？M2345n，1 MMMM？M4567n，3 ？？？？？？ MMMM？M2n,22n,12n2n，13n,3 (II) 当时，将行列式(II)的第二行乘以3，再将第一列的2倍加到第二列上，得到n,4 行列式第二列与第四列完全相同，所以当时，行列式为0，从而的大批下面的结论:n,4 ,2命题 阶行列式，当时 nn,4 MMMM？M0123n,1 MMMM？M2345n，1 MMMM？M=0 4567n，3 ？？？？？？ MMMM？M2n,22n,12n2n，13n,3 ,,M由此我们得到启发，只要行列式每行n个元素是数列连续的n项，那么这类行列n 式当时必为0.即有下面的结论: n,4 ,b,b,？,b命题 设是任意非负整数，当时，n阶行列式3n,412n MMMM？Mbb，1b，2b，3b，n,11111 MMMM？Mbb，1b，2b，3b，n,122222 MMMM？M =0 (III)bb，1b，2b，3b，n,133333 ？？？？？？ MMMM？Mbb，1b，2b，3b，n,1nnnnn 证明:将第二列乘以3，再将第一列的2倍加到第二列上，则第二列与第四列完全相同. 所以当时，行列式为0. n,4 ,,M上面我们讨论的是行列式的每一行元素在数列中的位置是连续的，下面考虑每行n 第 11 页 共 16 页 元素不连续的情形.考察行列式: MMMM？M02462n,2 MMMM？M24682n (IV)MMMM？M468102n，2 ？？？？？？ MMMM？M2n,22n2n，22n，44n,4 M,3M，2MM,3M,2M 因为，所以 nn,2n,3nn,2n,3将第三列的(-6)倍加到第四列上，再将第二列的9倍加到第四列上，得到: MMM2M？M02402n,2 MMM2M？M24622n MMM2M？M468142n，2 ？？？？？？ MMM2M？M2n,22n2n，22n,24n,4此行列式有两列相同，则行列式必为0.所以有下面的结论: ,4命题 当时，阶行列式: nn,4 MMMM？M02462n,2 MMMM？M24682n MMMM？M=0 468102n，2 ？？？？？？ MMMM？M2n,22n2n，22n，44n,4一般地有下面的结论: ,b,b,？,b命题设是任意非负整数，为不小于1的整数，当时，n阶行列式 r5n,412n MMMM？Mbb，rb，2rb，3rb，(n,1)r1111 MMMM？Mbb，rb，2rb，3rb，(n,1)r22222 MMMM？M (V)bb，rb，2rb，3rb，(n,1)r33333 ？？？？？？ MMMM？Mbb，rb，2rb，3rb，(n,1)rnnnnn 的值为零. 证明:因为 M, 3M，2Mb，2rb，2r,2b，2r,3111 =+ 2M9M，6Mb，2r,3b，2r,4b，2r,5111 = 9M，12M，4Mb，2r,4b，2r,5b，2r,6111 第 12 页 共 16 页 31M = 12M，，18Mb，2r,6b，2r,5b，2r,7111 = ？？ = BM，BM，2BMr,1b，rrb，r,1r,2b，r,2111 ,,BB,9,B,3B，2BB,3,B,2,这里引入数列，其中，n3nn,2n,312 从而 M,BM,BM，2BMb，2rr,1b，rrb，r,1r,2b，r,21111 M,3M，2Mb，3rb，3r,2b，3r,3111 = ？？ = BM，BM，2BMr,1b，rrb，r,1r,2b，r,2111 =？？ BM = ，BM，2BM2r,1b，r2rb，r,12r,2b，r,2111 M,BM从而. ,BM，2BMb，3r2r,1b，r2rb，r,12r,2b，r,21111 (,B)(,B)因此将行列式(V)的第二列的倍加到第三列，将第二列的倍加到第r,12r,1四列，行列式(V)变为: MMBM，2BMBM，2BM？Mbb，rrb，r,1r,2b，r,22rb，r,12r,2b，r,2b，(n,1)r111111MMBM，2BMBM，2BM？Mbb，rrb，r,1r,2b，r,22rb，r,12r,2b，r,2b，(n,1)r2222222MMBM，2BMBM，2BM？Mbb，rrb，r,1r,2b，r,22rb，r,12r,2b，r,2b，(n,1)r3333333？？？？？？MMBM，2BMBM，2BM？Mbb，rrb，r,1r,2b，r,22rb，r,12r,2b，r,2b，(n,1)rnnnnnnn ？MMBMBMMbb，rrb，r,12rb，r,1b，(n,1)r1111 ？MMBMBMMbb，rrb，r,12rb，r,1b，(n,1)r22222 ？MMBMBMM, bb，rrb，r,12rb，r,1b，(n,1)r33333 ？？？？？？ ？MMBMBMMbb，rrb，r,12rb，r,1b，(n,1)rnnnnn ？MMBM2BMMbb，rrb，r,12r,2b，r,2b，(n,1)r1111 ？MMBM2BMMbb，rrb，r,12r,2b，r,2b，(n,1)r22222 ？MMBM2BMM， bb，rrb，r,12r,2b，r,2b，(n,1)r33333 ？？？？？？ ？MMBM2BMMbb，rrb，r,12r,2b，r,2b，(n,1)rnnnnn 第 13 页 共 16 页 ？MM2BMBMMbb，rr,2b，r,22rb，r,1b，(n,1)r1111 ？MM2BMBMMbb，rr,2b，r,22rb，r,1b，(n,1)r22222 ？MM2BMBMM， bb，rr,2b，r,22rb，r,1b，(n,1)r33333？？？？？？ ？MM2BMBMMbb，rr,2b，r,22rb，r,1b，(n,1)rnnnnn ？MM2BM2BMMbb，rr,2b，r,22r,2b，r,2b，(n,1)r1111 ？MM2BM2BMMbb，rr,2b，r,22r,2b，r,2b，(n,1)r22222 ？MM2BM2BMM， bb，rr,2b，r,22r,2b，r,2b，(n,1)r33333？？？？？？ ？MM2BM2BMMbb，rr,2b，r,22r,2b，r,2b，(n,1)rnnnnnMMMM？Mbb，rb，r,1b，r,2b，(n,1)r1111 MMMM？Mbb，rb，r,1b，r,2b，(n,1)r22222 MMMM？M2=BB bb，rb，r,1b，r,2b，(n,1)rr2r,233333 ？？？？？？ MMMM？Mbb，rb，r,1b，r,2b，(n,1)rnnnnn ？MMMMMbb，rb，r,2b，r,1b，(n,1)r1111 ？MMMMMbb，rb，r,2b，r,1b，(n,1)r22222 ？MMMMM，2BB bb，rb，r,2b，r,1b，(n,1)rr,22r33333 ？？？？？？ ？MMMMMbb，rb，r,2b，r,1b，(n,1)rnnnnn 2M利用公式 M,3M,b，r,3b，rb，r,2111 MMMM？Mbb，rb，r,1b，r,2b，(n,1)r1111 MMMM？Mbb，rb，r,1b，r,2b，(n,1)r22222 MMMM？M对于行列式 bb，rb，r,1b，r,2b，(n,1)r33333 ？？？？？？ MMMM？Mbb，rb，r,1b，r,2b，(n,1)rnnnnn 将第四列的(-3)倍加到第二列上，得到行列式(常数提出): MMMM？Mbb，r,3b，r,1b，r,2b，(n,1)r1111 MMMM？Mbb，r,3b，r,1b，r,2b，(n,1)r22222 MMMM？M= bb，r,3b，r,1b，r,2b，(n,1)r33333 ？？？？？？ MMMM？Mbb，r,3b，r,1b，r,2b，(n,1)rnnnnn 再将第二列的(-3)倍加到第三列上，得到行列式(常数提出): 第 14 页 共 16 页 MMMM？Mbb，r,3b，r,4b，r,2b，(n,1)r1111 MMMM？Mbb，r,3b，r,4b，r,2b，(n,1)r22222 MMMM？M = bb，r,3b，r,4b，r,2b，(n,1)r33333 ？？？？？？ MMMM？Mbb，r,3b，r,4b，r,2b，(n,1)rnnnnn ===这样一直进行下去，因为是自然数，所以 有限次的变换后，行列式的第二列r？？ 或第三列或第四列总会变得与第一列相同，因此，当时，行列式为0.n,4 以上所讨论的行列式的每行元素的下标是有规律变化的，对于元素的下标无规律的变 化所得到的行列式的情况在这里我们就不再进行讨论. 此外, 广义Fibonacci数列还有助于解决高中数学中的相关问题: 某君举步上高楼,每跨一次或上一个台阶或上二个台阶, 或上三个台阶,问有多少种不同 的方式上高楼? ,,14f解f,1:设登上个台阶的方式数为,则显然有(即登上一个台阶只有一种方式), nn1 f,4f,2(即登上两个台阶有两种方式), (即登上三个台阶有四种方式).32 f，fff，= (n,3,n,N), n,2n,3nn,1 分析如下:因为在登上个台阶的所有方式中,跨第一步只有三种可能性,(1)第一步跨一n f个台阶,后面登个台阶的方式有个, (2)第一步跨二个台阶,后面登个台阶的方n,1n,2n,1 ff式有个, (3)第一步跨三个台阶,后面登个台阶的方式有个. 由此得到以上的广n,3n,2n,3义Fibonacci数列. 对上式我们可以进行推广:即将横线处改为” 或上个台阶”,或在该横线后加n ？,或上上”个台阶”,都可以用广义Fibonacci数列来求解. n 例: 某一楼梯有12级台阶,若上楼梯时可以一步上1个台阶,也可以一步上2个台阶,则上 此楼梯的方法有多少种? f,1f,2解: 上一个台阶的方法数,上二个台阶的方法数,上12个台阶的方法数为12f.由 12 fff，= n,2nn,1 f得到 =233.所以,上此楼梯的方法有233种. 12 致谢:衷心感谢盛宝怀老师的精心指导. 第 15 页 共 16 页 参考文献: [1] 康庆德. 组合数学趣话.河北科学技术出版社[M],1999年12月. 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Key Words: Sequance of Fibonacci; Determinant; Recursive sequence. 第 16 页 共 16 页