高等数学作业_高升专_答案

http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 1 高等数学作业答案 （高起专） 第一章函数作业（练习一）参考答案 一、填空题 1．函数 x x xf -+ - = 5 )2ln( 1)( 的定义域是 。 解：对函数的第一项，要求 02 >-x 且 0)2ln( ¹-x ，即 2>x 且 3¹x ；对函数的第 二项，要求 05 ³- x ，即 5£x 。取公共部分，得函数定义域为 ]5,3()3,2( U 。 2.函数 3 92 - - = x xy 的定义域为 。 解：要使 3 92 - - = x xy 有意义，必须满足 092 ³-x 且 03 >-x ，即 î í ì > ³ 3 3 x x 成立，解 不等式方程组，得出 î í ì > -£³ 3 33 x xx 或 ，故得出函数的定义域为 ),3(]3,( +¥È--¥ 。 3．已知 1)1( 2 +=- xef x ，则 )(xf 的定义域为 解 . 令 ue x =- 1 , 则 ( )ux += 1ln , ( ) ,11ln)( 2 ++=\ uuf 即 ( ) ,11ln)( 2 ++=\ xxf . 故 )(xf 的定义域为 ( )+¥- ,1 4．函数 1 142 - +-= x xy 的定义域是 . 解. ),2[]2,( ¥+--¥ U 。 5．若函数 52)1( 2 -+=+ xxxf ，则 =)(xf ． 解. 62 -x 二、单项选择题 1. 若函数 )(xfy = 的定义域是[0，1]，则 )(ln xf 的定义域是( ) . http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 2 A. ),0( ¥+ B. ),1[ ¥+ C. ]e,1[ D. ]1,0[ 解： C 2. 函数 xy psinln= 的值域是 )( . A. ]1,1[- B. ]1,0[ C. )0,(-¥ D. ]0,(-¥ 解： D 3．设函数 f x( )的定义域是全体实数，则函数 )()( xfxf -× 是（ ）． A.单调减函数； B.有界函数； C.偶函数； D.周期函数 解：A, B, D三个选项都不一定满足。 设 )()()( xfxfxF -×= ，则对任意 x有 )()()()()())(()()( xFxfxfxfxfxfxfxF =-×=×-=--×-=- 即 )(xF 是偶函数，故选项 C正确。 4．函数 )1,0( 1 1)( ¹> + - = aa a axxf x x （ ） A.是奇函数； B. 是偶函数； C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数。 解：利用奇偶函数的定义进行验证。 )( 1 1 )1( )1( 1 1)()( xf a ax aa aax a axxf x x xx xx x x = + - = + - -= + - -=- - - - - 所以 B正确。 5．若函数 2 2 1)1( x x x xf +=+ ，则 =)(xf （ ） A. 2x ； B. 22 -x ； C. 2)1( -x ； D. 12 -x 。 解：因为 2)1(2121 22 2 2 2 -+=-++=+ x x x x x x ，所以 2)1()1( 2 -+=+ x x x xf 则 2)( 2 -= xxf ，故选项 B正确。 6．设 1)( += xxf ，则 )1)(( +xff =（ ）． A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3 解 由于 1)( += xxf ，得 )1)(( +xff 1)1)(( ++= xf ＝ 2)( +xf 将 1)( += xxf 代入，得 )1)(( +xff = 32)1( +=++ xx http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 3 正确答案：D 7． 下列函数中，（ ）不是基本初等函数． A． xy ) e 1(= B． 2ln xy = C． x xy cos sin = D． 3 5xy = 解 因为 2ln xy = 是由 uy ln= ， 2xu = 复合组成的，所以它不是基本初等函数． 正确答案：B 8．设函数 î í ì > £ = 0,0 0,cos )( x xx xf ，则 ) 4 ( p-f =（ ）． A． ) 4 ( p-f = ) 4 (pf B． )2()0( pff = C． )2()0( p-= ff D． ) 4 (pf = 2 2 解 因为 02 <- p ，故 1)2cos()2( =-=- ppf 且 1)0( =f ， 所以 )2()0( p-= ff 正确答案：C 9. 若函数 1)e( += xf x ，则 )(xf = ( ) . A. 1e +x B. 1+x C. 1ln +x D. )1ln( +x 解： C 10. 下列函数中 =y （ ）是偶函数. A. )(xf B. )( xf C. )(2 xf D. )()( xfxf -- 解： B 三、解答题 1．设 î í ì << ££ = e1ln 10 )( xx xx xf ，求：(1) )(xf 的定义域； (2) )0(f ， )1(f ， )2(f 。 解 (1) 分段函数的定义域是各区间段之和，故 )(xf 的定义域为 )e,0[)e,1(]1,0[ =U (2) 10 ££ xQ 时， xxf =)( 0)0( =\ f ， 1)1( =f e1 << xQ 时， xxf ln)( = 2ln)2( =\ f http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 4 2. 设 î í ì > £-- = 0 0,1 )( xx xx xf , î í ì >- £ = 0, 0, )( 2 xx xx xg 求复合函数 ))(()),(( xfgxgf 。 解: ( )( ) î í ì >- £-- = 0,1 0,1 2 xx xx xgf , ( )( ) ( ) ï î ï í ì >- -<+- ££--- = 0, 1,1 01,1 2 2 xx xx xx xfg 3．（1） xx aaxf -+=)( ( 0>a )； 解: ( ) ( )xfaaxf xx =+=- -Q ( ) xx aaxf -+=\ 为偶函数. （2） x xxf + - = 1 1ln)( ； 解: ( ) ( )xf x x x xxf -= + - -= - + =- 1 1ln 1 1lnQ , ( ) x xxf + - =\ 1 1ln 为奇函数. （3） )1ln()( 2xxxf ++= 解: ( ) ( ) ( ) ( )xfxx xx xxxf -=++-= ++ =++-=- 2 2 2 1ln 1 1ln1lnQ , ( ) ( )21ln xxxf ++=\ 为奇函数. 4．已知 xxf sin)( = ， ( )( ) 21 xxf -=j ，求 )(xj 的定义域 解 . ( )( ) ( ) ( ) ( )22 1arcsin,1sin xxxxxf -=\-== jjjQ , 故 ( )xj 的 定 义 域 为 22 ££- x 第二章极限与连续作业（练习二）参考答案 一、填空题 1． ________________sinlim =- ¥® x xx x 答案：1 正确解法： 101sinlim1lim)sin1(limsinlim =-=-=-=- ¥®¥®¥®¥® x x x x x xx xxxx 2.已知 2 2 lim 2 2 2 = -- ++ ® xx baxx x ，则 =a _____, =b _____。 由 所 给 极 限 存 在 知 , 024 =++ ba , 得 42 --= ab , 又 由 http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 5 2 3 4 1 2lim 2 lim 22 2 2 = + = + ++ = -- ++ ®® a x ax xx baxx xx , 知 8,2 -== ba 3.已知 ¥= -- - ® )1)(( lim 0 xax bex x ，则 =a _____, =b _____。 ¥= -- - ® )1)(( lim 0 xax be x x Q , 即 0 1 )1)((lim 0 = - = - -- ® b a be xax xx , 1,0 ¹=\ ba 4．函数 ïî ï í ì ³+ <= 01 01sin)( xx x x xxf 的间断点是 x = 。 解：由 )(xf 是分段函数， 0=x 是 )(xf 的分段点，考虑函数在 0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim01sinlim 00 ==+= +- ®® fx x x xx 所以函数 )(xf 在 0=x 处是间断的， 又 )(xf 在 )0,(-¥ 和 ),0( +¥ 都是连续的，故函数 )(xf 的间断点是 0=x 。 5．极限 = ® x x x 1sinlim 0 ． 解 因为当 0®x 时， x是无穷小量， x 1sin 是有界变量． 故当 0®x 时， x x 1sin 仍然是无穷小量． 所以 = ® x x x 1sinlim 0 0． 6．当 k 时， î í ì <+ ³+ = 0 01 )( 2 xkx xx xf 在 0=x 处仅仅是左连续． 解 因为函数是左连续的，即 )0(1)1(lim)0( 0 fxf x ==+= -® - 若 1)(lim)0( 2 0 ==+= +® + kkxf x 即当 =k 1时， )(xf 在 0=x 不仅是左连续，而且是连续的． 所以，只有当 1¹k 时， )(xf 在 0=x 仅仅是左连续的． 7．要使 x xxf cos1)( -= 在 0=x 处连续，应该补充定义 =)(of 解：2． 0 1 sinlimcos1lim 00 == - ®® x x x xx ，补充定义 0)0( =f 二、单项选择题 http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 6 1．已知 0) 1 (lim 2 =-- +¥® bax x x x ，其中a , b是常数，则（ ） (A) 1,1 == ba , (B) 1,1 =-= ba (C) 1,1 -== ba (D) 1,1 -=-= ba 解. ( ) ( ) 0 1 1lim) 1 (lim 22 = + -+-- =-- + ¥®¥® x bxbaxabax x x xx Q , 1,1,0,01 -==\=+=-\ babaa 答案：C 2．下列函数在指定的变化过程中，（ ）是无穷小量。 A. e 1 x x, ( )® ¥ ； B. sin , ( )x x x ® ¥ ； C. ln( ), ( )1 1+ ®x x ； D. x x x+ - ®1 1 0, ( ) 解：无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以 0sinlim = ¥® x x x 而 A, C, D三个选项中的极限都不为 0，故选项 B正确。 3．下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ ） (A) )(1sin ¥®= x x xy ; (B) ( ) )(1 ¥®= - nny n ; (C) )0(ln +®= xxy ； (D) )0(1cos1 ®= x xx y 解 . 111sinlim1sinlim == ¥®¥® xxx x xx Q , 故 不 选 (A). 取 12 += km , 则 ( ) 0 12 1limlim 1 = + = ¥® - ¥® k n kn n , 故不选(B). 取 2 1 p p + = n xn , 则 0 1cos1lim = ¥® nn n xx , 故不选 (D). 答案：C 4. )(0,arctan 1 21)( 1 1 xfxx e exf x x 是则 = + - = 的（ ）. （A）可去间断点 （B）跳跃间断点 （C）无穷间断点 （D）振荡间断点 解： ,00 01 01arctan 1 21lim)00( 1 1 0 =× + - =× + - =- -® x e ef x x x http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 7 ,00 10 20arctan 1 2limarctan 1 21lim)00( 1 1 01 1 0 =× + - =× + - =× + - =+ - - ®® -- x e ex e ef x x x x x x ).(,0),00()00( Axff 应选为可去间断点故 =+=- 5.若 )1( )( - - = xx aexf x ， 0=x 为无穷间断点， 1=x 为可去间断点，则 =a （ ）. （A）1 （B）0 （C）e （D）e -1 解：由于 0=x 为无穷间断点, 所以 0)( 0 ¹- =x x ae , 故 1¹a . 若 0=a , 则 1=x 也是无穷 间断点. 由 1=x 为可去间断点得 ea = .故选(C). 三、计算应用题 ⒈计算下列极限： （1） 2) 3 1(lim + ¥® + - x x x x ； （2） 2 )1sin(lim 21 -+ - ® xx x x ； （3） x x x 33sin9lim 0 -+ ® ； （4） 12 45lim 2 2 4 -- +- ® xx xx x ； （5） ) 1 1 1 3(lim 21 - - - - ® xx x x ；（6） 5 2 6 (1 2 ) (3 2)lim ( 1)(2 3)x x x x x x®¥ - + + - - 解：（1） 1ln 3lim 1 2 21lim( ) 3 x x x x x x x e x ®¥ - + + + ®¥ - = + 2 2 3 41ln 1 ( 3)3lim lim 41 1 2 ( 2) x x xx x xx x x ®¥ ®¥ +- - ++ = = - - + + 2 41lim( ) 3 x x x e x + - ®¥ - = + （2） 2 )1sin(lim 21 -+ - ® xx x x = )2)(1( )1sin(lim 1 +- - ® xx x x = 2 1lim 1 )1sin(lim 11 +- - ®® xx x xx = 3 1 3 11 =´ （3）解 对分子进行有理化，即分子、分母同乘 33sin9 ++ x ，然后利用第一重要 http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 8 极限和四则运算法则进行计算．即 x x x 33sin9lim 0 -+ ® = )33sin9( )33sin9)(33sin9(lim 0 ++ ++-+ ® xx xx x = 33sin9 1lim3sinlim 00 ++ ´ ®® xx x xx = 2 1 6 13 =´ （4）解 将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再四则运算法则 和连续函数定义进行计算．即 12 45lim 2 2 4 -- +- ® xx xx x )3)(4( )1)(4(lim 4 -- -- = ® xx xx x 3 34 14 )3( )1(lim 4 = - - = - - = ® x x x （5）解 先通分，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算．即 ) 1 1 1 3(lim 21 - - - - ® xx x x = )1)(1( )1()3(lim 1 +- +-- ® xx xx x 1 1 2lim 1 -= + - = ® xx （6） ) )32)(1( )23()21(lim 6 25 -- ++- ¥® xx xxx x = ) )32)(11( )213()21( lim 6 2 5 xx xxx x -- ++- ¥® = 2 3 2 3)2( 6 5 -= ´- 2.设函数 ï ï î ï ï í ì > = <+ = 0sin 0 01sin )( x x x xa xb x x xf 问（1） ba, 为何值时， )(xf 在 0=x 处有极限存在？ （2） ba, 为何值时， )(xf 在 0=x 处连续？ 解：（1）要 )(xf 在 0=x 处有极限存在，即要 )(lim)(lim 00 xfxf xx +- ®® = 成立。 因为 bb x xxf xx =+= -- ®® )1sin(lim)(lim 00 所以，当 1=b 时，有 )(lim)(lim 00 xfxf xx +- ®® = 成立，即 1=b 时，函数在 0=x 处有极限 1sinlim)(lim 00 == ++ ®® x xxf xx http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 9 存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以取任意值。 （2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 )()(lim)(lim 0 00 xfxfxf xxxx == +- ®® 于是有 afb === )0(1 ，即 1== ba 时函数在 0=x 处连续。 3．已知 8 2 lim 23 2 = - ++ ® x baxx x ，试确定a和b的值 解. 8 2 lim 23 2 = - ++ ® x baxx x Q , ( ) 048lim 23 2 =++=++\ ® babaxx x ,即 ab 48 --= ( )[ ] 8124422lim 2 84lim 2 lim 2 2 23 2 23 2 =+=++++= - --+ = - ++ \ ®®® aaxax x aaxx x baxx xxx , ,1-=\a 故 4-=b 4．求 x e e x x x 1arctan 1 1lim 1 1 0 - + ® 解. +¥= +® x x e 1 0 limQ , 0lim 1 0 = -® x x e , , 2 1arctanlim 1 1lim1arctan 1 1lim 01 1 01 1 0 p = - + = - + +++ ®- - ®® x e e x e e x x x x x x x , 2 1arctanlim 1 1lim1arctan 1 1lim 01 1 01 1 0 p = - + = - + --- ®®® x e e x e e x x x x x x x 2 1arctan 1 1lim 1 1 0 p = - + \ ® x e e x x x 5．设 ïî ï í ì £<-+ >= - 01),1ln( 0 ,)( 1 1 xx xexf x ，求 )(xf 的间断点，并说明间断点的所属类型 解 . )(xf 在 ( ) ( ) ( )+¥- ,1,1,0,0,1 内连续 , ¥=- ® + 1 1 1 lim x x e , 0lim 1 1 1 =- ® - x x e , ( ) 00 =f , 因此 , 1=x 是 )(xf 的第二类无穷间断点; ( ) ,limlim 11 1 00 -- ®® == ++ eexf x xx ( ) ( ) 01lnlimlim 00 =+= -- ®® xxf xx , 因此 0=x 是 )(xf 的第一类跳跃间断点. http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 10 6．讨论 nx nx n e exxxf + + = ¥® 1 lim)( 2 的连续性。 解 . ï î ï í ì < = > = + + = ¥® 0, 0,0 0, 1 lim)( 2 2 xx x xx e exxxf nx nx n , 因此 )(xf 在 ( ) ( )+¥¥- ,0,0, 内连续 , 又 ( ) ( ) 00lim 0 == ® fxf x , ( )xf\ 在 ( )+¥¥- , 上连续. 第三章 微分学基本理论作业（练习三）参 考答案 一、填空题 1.设 )3sin()cos1()( 21 xxxxf x -+= + ，则 =¢ )0(f . 解：因为 0)0( =f ， )0(3~)3sin( 22 ®-- xxxxx ，则 63lim2)3sin()cos1(lim 0 )0()(lim)0( 2 0 21 00 -= - = -+ = - - =¢ ® + ®® x xx x xxx x fxff x x xx . 2． 0 00 )()(lim 0 xx xxfxfx xx - - ® ＝ 。 解. 原式 ( )[ ] ( )( ) ( ) ( )000 0 0000 )(lim 0 xfxfx xx xxxfxfxfx xx -¢= - --- = ® 3.已知 3 1[ ( )]d f x dx x = ，则 ( )f x¢ = 。 解 ( )[ ] ( ) x xxfxf dx d 13 233 =×¢=Q ， ( ) 33 3 1 x xf =¢\ ，即 ( )f x¢ = 1 3x 。 4. 设 ( )( ) ( )nxxxxy -××--= L21 , 则 ( ) =+1ny ( 1)!n + 5． 2)( xxf = ，则 __________)1)(( =+¢ xff 。 答案： 2)12( +x 或 144 2 ++ xx 6．函数 )1ln( 4 22 2 yx yx z -- - = 的定义域为 。 http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 11 解：函数 z的定义域为满足下列不等式的点集。 ï ï î ïï í ì <+< £ Þ ï ï î ïï í ì ¹+ <+ £ Þ ï ï î ïï í ì ¹-- >-- ³- 10 4 0 1 4 11 01 04 22 2 22 22 2 22 22 2 yx xy yx yx xy yx yx yx zÞ 的定义域为：{ 10|),( 22 <+< yxyx 且 xy 42 £ } 7． 已知 22),( xyyxyxyxf +=-+ ,则 =),( yxf . 解 令 x y u+ = ， x y v- = ，则 , 2 2 u v u vx y+ -= = ， ( )( ) ( )f x y x y xy x y+ - = + )( 4222 ),( 22 vuuuvuvuvuf -=-+= ， 2 2( , ) ( ) 4 xf x y x y= - 8．设 22),( yx xxyyxf + += ,则 =¢ )1,0(xf 。 = ¢ )1,0(yf ∵ (0,1) 0 0 0f = + = 2 0 0 0( ,1) (0,1) 1(0,1) lim lim 2x x x xxf x f xf x xD ® D ® D D + -D - D +¢ = = = D D 0 0 (0, 1) (0,1) 0 0(0,1) lim lim 0y y y f y ff y yD ® D ® D + - -¢ = = = D D 。 9.由方程 2222 =+++ zyxxyz 确定的函数 z=z（x,y）,在点（1，0，-1）处的全微分 dz= 。 解 2 2 2( , , ) 2 0F x y z xyz x y z= + + + - = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1x z xyz x y z yz x y z xFz zx F xy x y z zxy x y z + ¢ + + + + +¶ = - = - = - = ¢¶ + + ++ + + 2 2 2 2 2 2 2y z F xz x y z yz y F xy x y z z ¢ + + +¶ = - = - = - ¢¶ + + + 2dz dx dy= - 10． 设 ,,cos,sin 32 tytxyxz ==+= 则 t z d d ＝ 。 解 22 sin 3 cosdz x t t y dt = - + 二、选择题 http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 12 1．下列命题正确的是（ D ） (A) 0 0( ) [ ( )]f x f x¢ ¢= ; (B) ( ) ( )xfxf xx ¢=¢ +® + 0 lim0 ; (C) 0 ( ) ( )lim ( ) x f x x f x f x xD ® - D - ¢= D (D) 0( ) 0f x¢ = 表示曲线 ( )y f x= 在点 0 0( , ( ))x f x 处的切线与 x轴平行 解 ( ) xxf = 时， ( ) ,11 =¢f ( )[ ] 01 =¢f ，故不选（A） ( ) ïî ï í ì = ¹= 0,0 0,1sin2 x x x xxf 时， ( ) ïî ï í ì = ¹-=¢ 0,0 0,1cos1sin2 x x xx xxf ， ( ) 00 =¢+f ，但 ( )xf x ¢ +®0 lim 不存在，故不选（B）；而 ( ) ( ) ( )xf x xfxxf x ¢-= D -D- ®D 0 lim ，故不选（C）。 2．设 ïî ï í ì £ > = 0, 0,1sin )( xx x x x xf ，则 )(xf 在 0=x 处（ ） A．连续且可导 B．连续但不可导 C．不连续但可导 D．既不连续又不可导 解：（B） 0lim)(lim 00 == -- ®® xxf xx ， 01sinlim)(lim 00 == ++ ®® x xxf xx ， 0)0( =f 因此 )(xf 在 0=x 处连续 xx x x x fxff xxx 1sinlim 0 01sin lim 0 )0()(lim)0( 000 +++ ®®® + =- - = - - =¢ ，此极限不存在 从而 )0(+¢f 不存在，故 )0(f ¢ 不存在 3．曲线 xxy -= 3 在点（1，0）处的切线是（ ）． A． 22 -= xy B． 22 +-= xy C． 22 += xy D． 22 --= xy 解 由导数的定义和它的几何意义可知， http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 13 1 3 )()1( = ¢-=¢ x xxy 2)13( 1 2 =-= =x x 是曲线 xxy -= 3 在点（1，0）处的切线斜率，故切线方程是 )1(20 -=- xy ，即 22 -= xy 正确答案：A 4．已知 4 4 1 xy = ，则 y ¢¢ =（ ）． A. 3x B. 23x C. x6 D. 6 解 直接利用导数的公式计算： 34 ) 4 1( xxy =¢=¢ , 23 3)( xxy =¢=¢¢ 正确答案：B 5．若 x x f =)1( ，则 =¢ )(xf （ ）。 A． x 1 B． 2 1 x C． x 1 - D． 2 1 x - 答案：D 先求出 )(xf ，再求其导数。 6． 22ln yxz -= 的定义域为（ ）． A． 122 ³- yx B． 0 22 ³- yx C． 1 22 >- yx D． 0 22 >- yx 解 z的定义域为{ 0),( 22 >- yxyx }个，选 D。 7.下列极限存在的是（ ） （A） yx x y x + ® ® 0 0 lim （B） yx y x + ® ® 1lim 0 0 （C） yx x y x + ® ® 2 0 0 lim （D） yx x y x + ® ® 1sinlim 0 0 解 A. 当 P沿 0=x 时， 0),0(lim 0 = ® yf y ，当 P沿直线 0=y 时， 1)0,(lim 0 = ® xf x ，故 0 0 lim ® ® y x yx x + 不存在； B. ¥= + ® ® yx y x 1 lim 0 0 ，不存在； C. 如判断题中 1 题可知 yx x y x + ® ® 2 0 0 lim 不存在； D. 因为 0lim1sin lim 0 0 0 0 =£ + ® ® ® ® x yx x y x y x ，所以 01sinlim 0 0 = + ® ® yx x y x ，选 D http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 14 8． ),( yxf 在(x0,y0)处 x f ¶ ¶ ， y f ¶ ¶ 均存在是 ),( yxf 在 ),( 00 yx 处连续的（ ）条件。 （A）充分 （B）必要 （C） 充分必要 （D）既不充分也不必要 解 因为 ,f f x y ¶ ¶ ¶ ¶ 存在， ( , )f x y 在（ 0 0,x y ）处不一定连续，所以非充分条件。 例如： 2 2 2 2 2 2 , 0 ( , ) 0, 0 xy x y x yf x y x y ì + ¹ï += í ï + =î ，由偏导数的定义知道。 0 0 ( ,0) (0,0) 0 0(0,0) lim lim 0 x x f x ffx x xD ® D ® D - - = = = D D ，同理可得 (0,0)fy =0，但 2 20 0 lim x y xy x y® ® + 不存在， 所以 2 2 xy x y+ 在（0，0）不连续，若 ( , )f x y 在（ 0 0,x y ）处连续， , f f x y ¶ ¶ ¶ ¶ 在（ 0 0,x y ）也不一定 存在，所以非必要。 例如 f(x,y)=|x|+|y|。它在点(0,0)点处连续，但 x f ¶ ¶ ， y f ¶ ¶ 不存在。选 D。 9.设 )(),( tf xy yxxyfu += 可微，且满足 ),(22 yxuG y uy x ux = ¶ ¶ - ¶ ¶ 则 G(x,y)=（ ）． (A) yx + (B) yx - (C) 22 yx - (D) 2)( yx + 解 y u u y x u u xyxG ¶ ¶ - ¶ ¶ = 22 ),( yxf u yxxy f y xxf u yf x yyf u x yx xyxxyxyfxf u y yx yyxxyxyfxf u x -= - = ---= +- ·+- +- -+= )( )()( )(())()( ' 2 ' 2 22 ' 2 22 ' 2 选 B 10.肯定不是某个二元函数的全微分的为（ ） （A） xdyydx + (B) xdyydx - （C） ydxxdx + （D） ydxxdx - 解 A（xy），C（ 2 22 yx + ），D（ 2 22 yx - ）都是某个二元函数的全微方，只有 B 不是，选 B。 http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 15 三、求解下列各题 1．求下列函数的导数： （1） xxf lg)( = 解： =¢ )(xf elg1 10ln 1 xx = （2） )1ln( 2xxy ++= 解： )1( )1( 1 2 2 ¢++ ++ =¢ xx xx y ))1( 12 11( )1( 1 2 22 ¢+ + + ++ = x xxx ) 12 21( )1( 1 22 x x xx + + ++ = 22 2 2 1 1 1 1 )1( 1 xx xx xx + = + ++ ++ = （3） zyxu = 解： 11 -= ¶ ¶ zyz xy x u xyzxzyxx y u zyzy zz lnln 11 -- =×= ¶ ¶ yyxyxx z u zyzy zz lnln =×= ¶ ¶ （4） dxedssfyxF x xy y òò += 1 0 2 )(),( 解 yxyf x F )(= ¶ ¶ )()( yfxyxf y F -= ¶ ¶ 2．求曲线 xy ln= 在 )0,1( 点处的切线方程。 解： x xf 1)( =¢ ， 11)1( 1 ==¢= =xx fk ，于是，曲线 xy ln= 在 )0,1( 点处的切线方程为： )1(0 -×=- xky ，即 1-= xy 。 http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 16 3．下列各方程中 y是 x的隐函数的导数 （1） 1ee =+- yxxy ，求 y¢ 解：方程两边对自变量 x求导，视 y为中间变量，即 1)e()e()( ¢=¢+¢-¢ yxxy 0ee =¢+-¢+ yyxy yx yyx xy -=¢+ e)e( 整理得 y x x yy e e + - =¢ （2）设 )sin( yxy += ，求 dx dy ， 2 2 dx yd ； 解： )1()cos( yyxy ¢+×+=¢ )cos(1 )cos( yx yxy +- + =¢ yyxyyxy ¢¢×++¢+×+-=¢¢ )cos()1()sin( 2 ， 33 )]cos(1[)]cos(1[ )sin( yx y yx yxy +- - = +- + -=¢¢ （3）设 ),( yxzz = 由方程 yzxz -=+ e 所确定, 求 xy z ¶¶ ¶ 2 . 解: 设 xzzyxF yz --= -e),,( , 1-=xF , yz yF --= e , 1e -= - yzzF , 1e 1 - = ¶ ¶ - yzx z , zyyz yz y z -- - - = - = ¶ ¶ e1 1 1e e , 3 )(2 2 2 )e1( e )e1( e) e1 1( zy zy zy zy zy x z xxy z - - - - - - = ¶ ¶ × - - = -¶ ¶ = ¶¶ ¶ \ . 4．求下列极限 （1） 22 1 0 1lim yx xy y x + - ® ® 解 1 01 011lim 22 1 0 = + - = + - ® ® yx xy y x http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 17 （2） 22 22 0 0 cos1 lim yx yx y x + +- ® ® 解 2 1 ) 2 (4 ) 2 (sin2 lim ) 2 (sin2 lim cos1 lim 2 22 2 22 0 022 2 22 0 022 22 0 0 = + + = + + + +- ® ® ® ® ® ® yx yx yx yx yx yx y x y x y x （3） yx x y x + ® ® 0 0 lim 解 0 0 lim ® ® y x yx x + 不存在。 ∵当 P沿着直线 0=x 时， 0lim 0 = +® yx x y 当 P沿着直线 kxy = （k为任意数）， 0 0 lim ® ® y x yx x + = 0 0 lim ® ® y x 0 1 1 ¹ + = + kkxx x 所以 0 0 lim ® ® y x yx x + 不存在 5．设 ï î ï í ì =+ ¹+ += 0,0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf 讨论 f(x,y)在（0，0） （1）.偏导数是否存在。 （2）.是否可微。 （1）解： 000lim)0,0()0,(lim)0,0( 00 = D -= D -D= ®D®D xx fxffx xx 同理可得 0)0,0( =fy ，偏导数存在。 （2）若函数 f在原点可微，则 22 )0,0()0,0()0,0()0,0( yx yxyyfxxffyxfdzz D+D DD =D¢-D¢--D+D+=-D 应是较 r 高阶的无穷小量，为此，考察极限 22)0,0(),(0 limlim yx yxdzz yx D+D DD = -D ®DD® rr ，由前面 所知，此极限不存在，因而函数 f在原点不可微。 6．设 z= yxe 11 -- 。求证： z y zy x zx 222 = ¶ ¶ + ¶ ¶ 证： yxe x z 11 -- = ¶ ¶ 。 2 1 x ， yxe y z 11 -- = ¶ ¶ 。 2 1 y ，所以 ze y zy x zx yx 22 11 22 == ¶ ¶ + ¶ ¶ -- http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 18 第四章微分学应用作业（练习四）参考答案 一、填空题 1．函数 y x= -3 1 2( ) 的驻点是 ，单调增加区间是 ，单调减少区间 是 ，极值点是 ，它是极 值点. 解： x = 1, ( , )1 + ¥ , ( , )-¥ 1 , x = 1,小 2．函数 xy = 在 =x 处达到最小值， y的驻点 . 解： 0，不存在 3. 若 f x( )在 ( , )a b 内满足 ¢ fxf ,则 )(xf 在 ),0( +¥ 内（ ）. (A) 只有一点 1x ,使 0)( 1 =xf ； (B) 至少一点 1x ,使 0)( 1 =xf ； (C) 没有一点 1x ,使 0)( 1 =xf ； (D) 不能确定是否有 1x ,使 0)( 1 =xf . 解：选(D). http://www.szhust.org/ 深圳成人教育—华中科技大学 19 2．当 x > 0 时，曲线 x xy 1sin= （ ）. (A) 有且仅有水平渐近线； (B) 有且仅有铅直渐近线； (C) 既有水平渐近线也有铅直渐近线； (D) 既无水平渐近线也无铅直渐近线. 解：选(A). 3.设 0)( =xxf 在 的某个邻域内连续，且 0)0( =f ， 1 2 sin2 )(lim 20 = ® x xf x ，则在点 0=x 处 )(xf （ ）. （A）不可导 （B）可导，且 0)0( ¹¢f （C）取得极大值 （D）取得极小值 解：因为 1 2 sin2 )(lim 20 = ® x xf x , 则 )0(0)( fxf => 在 0=x 的邻域内成立, 所以 )0(f 为 )(xf 的极小值.故选(D). 4.若 ))(()( +¥<<-¥=- xxfxf ，