圆锥曲线与方程讲义

圆锥曲线与方程讲义（整好） 2.1 椭 圆 一．椭圆及其 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程 1．椭圆的定义（第一定义）：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（ 时为线段 ， 无轨迹）。这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 2．标准方程：①焦点在x轴上： （a＞b＞0）； 焦点F（±C，0） ②焦点在y轴上： （a＞b＞0）； 焦点F（0, ±C） 这里椭圆 c ²=a²-b² 注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0， 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆 （a＞b＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b （2）椭圆 （a＞b＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a 2.对称性 椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b） （2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用e表示，即e= （0＜e＜1） 因为a＞c＞0，所以0＜e＜1。e越接近于1（e越大），则c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0 （e越小），c越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。 是圆。 （2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。 ①焦点在x轴上： （a＞b＞0）准线方程： ②焦点在y轴上： （a＞b＞0）准线方程： *补充：（1）焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|= =a+ex0，|PF2|= =a-ex0；|PF1|= =a+ey0，|PF2|= =a-ey0; （2）焦准距 ；准线间距 （3）两个最大角 焦点在y轴上，中心在原点： （a＞b＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。 ●重难点：椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单的几何性质。 ●思维方式：待定系数法与轨迹方程法。 ●特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 　　　　　　　标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程. 2.2 双曲线 一．双曲线的概念 1.双曲线的定义（第一定义）：平面内与两个定点 距离的差的绝对值等于常数 的点的轨迹叫做双曲线，即点集 。（ 为两射线；2 无轨迹。）这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2c. 2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点(焦点)和一条定直线（准线）的距离的比是常数e 的动点的轨迹叫做双曲线。 二.双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 图形 性 质 焦点 F1（- ，F2（ F1（ ，F2（ 焦距 | F1F2|=2c 范围 X≤-a与x≥a y≤-a与y≥a 对称性 关于x轴，y轴和原点对称 顶点 （-a，0）。（a，0） （0，-a）（0，a） 轴 实轴A1A2长2a，虚轴B1B2长2b 准线 渐近线 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 *共渐近线的双曲线系方程 或 *焦半径 P在右支上， P在左支上， P在上支上， P在下支上， 平面几何性质 双曲线焦距与实轴长的比 ， 大开口大 离心率 * 焦准距 准线间距= 焦渐距= 。 三．共轴双曲线和共轭双曲线 （1）共轴双曲线 在方程 中，如果a=b,那么双曲线的方程为x²-y²=a²,它的实轴和虚轴的长都等于2a。这时，四条直线x=±a,y=±a围成正方形，渐近线方程为y=±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 （2）共轭双曲线 实轴与虚轴互换的双曲线，如 与 互为共轭双曲线（只是 两轴的数字互换，但实轴仍是b²，虚轴仍是a²）其性质如下： ①共轭双曲线的渐近线相同都是 ②焦距相同，焦点不同 ③共轭双曲线的四个焦点在同一圆上 ④两个离心率的倒数的平方和为1，即 *四．点P 和双曲线的关系 1.P在双曲线内 __________________ 2.P在双曲线上 __________________ 3.P在双曲线外 __________________ 说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。 (2)双曲线方程中的 与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。 求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。 (3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。 利用共渐近线的双曲线系 或 方程解题，常使解法简捷。 (4)双曲线的焦半径，当点P在右支（或上支）上时，为 当点P在左支（或下支）上时，为 利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用， 2.3　抛　物　线 1.抛物线的定义（圆锥曲线第二定义）：到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 2. .抛物线的离心率： 抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离之比叫做抛物线的离心率，用e表示。有定义可知，e=1 3.抛物线的标准方程及几何性质 图形 标准方程 （ ） （ ） （ ） （ ） 焦点坐标 准线方程 范围 X≥0 X≤0 y≥0 y≤0 对称轴 Ｘ轴 Ｙ轴 顶点 坐标原点Ｏ（０，０） 离心率 *焦半经 *焦准距＝ ；　顶准距＝焦顶距＝ ；　曲线上的点到焦点的最近距＝ 4.焦点弦和通径的概念 （1）焦点弦：在抛物线中，通过其焦点的直线与抛物线的交点连线叫焦点弦。 (2) 若在抛物线中通过焦点而垂直坐标轴的直线与抛物线的交点的连线叫做抛物线的通径，它的长为2p. 5.直线与抛物线相交形成的弦长计算公式：_____________________________________ *6.焦点弦：ＡＢ为 EMBED Equation.3 的焦点弦，Ａ（ ， ）Ｂ（ ， ），弦中点M . （1） （2） ; （3）弦长 （α为AB的倾斜角） X1+X2≥2 =p,即当X1=X2时，通径最短为2p *7.点P 和抛物线的关系 （1）P在抛物线内（含焦点） ________________ （2）P在抛物线上 ________________ （3）P在抛物线外 ________________ 标点 抛物线 上的点可标为 或 或 EMBED Equation.3 圆锥曲线定义的应用 知识精讲： 涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形，常用第一定义结合正余弦定理； 涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点，常用统一的定义。 椭圆的定义：点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}； 双曲线的定义：点集M={P|︱|PF1|-|PF2|︱=2a， }的点的轨迹。 抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条得直线Ｌ的距离相等的点的轨迹． 统一定义：M={P| ，}0＜e＜1为椭圆，e>1为双曲线，e＝1为抛物线 重点、难点：培养运用定义解题的意识 思维方式：等价转换思想，数形结合 特别注意：圆锥曲线各自定义的区别与联系 � EMBED PBrush \* MERGEFORMAT ��� � EMBED PBrush \* MERGEFORMAT ��� O y O y x O y x O x y O y x O y x _1234567921.unknown _1234567953.unknown _1234567969.unknown _1234567985.unknown _1234567993.unknown _1234567997.unknown _1234567999.unknown _1234568001.unknown _1234568003.unknown _1234568004.unknown _1234568002.unknown _1234568000.unknown _1234567998.unknown _1234567995.unknown _1234567996.unknown _1234567994.unknown _1234567989.unknown _1234567991.unknown _1234567992.unknown _1234567990.unknown _1234567987.unknown _1234567988.unknown _1234567986.unknown _1234567977.unknown _1234567981.unknown _1234567983.unknown _1234567984.unknown _1234567982.unknown _1234567979.unknown _1234567980.unknown _1234567978.unknown _1234567973.unknown _1234567975.unknown _1234567976.unknown _1234567974.unknown _1234567971.unknown _1234567972.unknown _1234567970.unknown _1234567961.unknown _1234567965.unknown _1234567967.unknown _1234567968.unknown _1234567966.unknown _1234567963.unknown _1234567964.unknown _1234567962.unknown _1234567957.unknown _1234567959.unknown _1234567960.unknown _1234567958.unknown _1234567955.unknown _1234567956.unknown _1234567954.unknown _1234567937.unknown _1234567945.unknown _1234567949.unknown _1234567951.unknown _1234567952.unknown _1234567950.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567946.unknown _1234567941.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567942.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567938.unknown _1234567929.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567930.unknown _1234567925.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567926.unknown _1234567922.unknown _1234567905.unknown _1234567913.unknown _1234567917.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567918.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567909.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567897.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown