思维导图常见考法7.5正态分布（精讲）连续型随机变虽正态密度函数特点随机娈虽:的取值往往充满某个区问甚至整个实、轴丄但取匚点的概率为D对于任意的辺眄f（x）＞0,它的图像在葢轴的上方，且x轴和曲线之间的区域面积为1则f5）为正态密度函数，称它的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线①曲线位于紅轴上方，与％轴不相交②曲线是单峰的’它关于直线用=卫对称③曲纯在尸工处达到蚯倉一严叫2区、④曲线与涕之间的面积为1⑤当□一定时，曲线的位置由口确定，曲线随着口的变化而沿孟轴平（移⑥当M—定时，业线的宠状由"确定，"越小，曲线越"瘦高”，
表
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示恿体的分布越集中："越大，曲线越“廡胖”*表示瞇体的分布越分散①尸V」一”C忑*+/＞述方航6常用数摇③時—3cr<^+3^0.9974考点一正态分布的特征【例1】(1)(2021•黑龙江鹤岗市鹤岗一中高二期末(理))若随机变量X〜NGq2),且P(X>5)=0.2,则P(1
a+1),则实数a等于()A．7B．6C．5D．4【答案】(1)A(2)B【解析】(1)由于随机变量X〜NGq2),则P(X<1)=P(X>5)因此，P(15)=1-2P(X>5)=1-2x0.2=0・6.故选：a.(2)V随机变量E服从正态分布N(4,3),TP(EVa-5)=P(g〉a+1),・・・x二a-5与x=a+1关于x=4对称，・・.a-5+a+1=8,・・・2a=12,・・・a=6,故选：B・【一隅三反】(2021•湖北宜昌市)某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩g占近似服从正态分布N(95,02),且P(91
题
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意，成绩X近似服从正态分布N(95,02)则正态分布曲线的对称轴为X=95又由P(9199)=2x[1-2xP(91
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如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为(随机变量E服从正态分布N(卩Q2),则P(p—o<^0.96)=1「1—P(p—o90)=(1—0.954)x2=0.023，所以比赛成绩不小于90分的学生人数约为100000x0.023=2300故选：A考点二正态分布的实际应用【例2】(2021•安徽池州市)2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验
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，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z服从正态分布N（卩Q2）•假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立•记X表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于卩-3。的数量.（1）求P（Xn1）的概率；（2）求X的数学期望E（x）；（3）—天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z小于卩-3a的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？附:若随机变量Z~NZWp+o)=0.6826，P(卩一2a卩一3a)=1—0.0013=0.9987故P(X>1)=1—P(X=0)=1—0.998710=1—0.9871=0.0129(2)由题意可知X〜B(10,0.0013),所以E(X)=10x0.0013=0.013（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于卩-3a的概率1一0.9974P（Z＜卩一3a）=2=0.0013，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于卩—3a的概率P（x＞1）=0.0129，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理.【一隅三反】（2020•全国高二课时练习）为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度（单位：cm），其频率分布直方图如图所示.S1距t).0200.035HUMamo00051求该植物样本高度的平均数X和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；假设该植物的高度Z服从正态分布N(|!Q2),其中卩近似为样本平均数Xq2近似为样本方差s2,利用该正态分布求P(64.5§Z冬96).附：<110沁10.5.若Z〜N()1Q2),则P(1+G沁68.3%,P(1—2yzw1+2q)沁95.4%.【答案】(1)X二75，s2=110；(2)81.85%【解析】(1)由题意可得平均数X=55x0.1+65x0.2+75x0.35+85x0.3+95x0.05=75s2=(55—75)2x0.1+(65—75)2x0.2+(75—75)2x0.35+(85—75)2x0.3+(95—75)2x0.05=110(2)由(1)知,z〜N(75,110)，从而P(64.5WZW75)=-xP(75—10.5WZ£75+10.5)沁-x68.3%=34.15%22P(75WZW96)=1xP(75—2x10.5WZW75+2x10.5)沁1x95.4%=47.7%22所以P(64.5£Z£96)=P(64.5£ZW75)+P(750.9544，P(卩―3a0.9974，则称变量x“近似满足正态分布N（p,a2）的概率分布”（2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对90分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于394分的同学只有一次抽奖机会，不低于94分的同学有两次抽奖机会.每次抽奖获得50元奖金的概率是丁，4获得100元的概率是4•现在从这10个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为Y，求Y的分布列和数学期望．【答案】（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5.【解析】（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下：・.・J210沁14.5，P—2a=65—2x14.5=36，p+2a=65+2x14.5=94，p—3q=65—3x14.5=21.5,p+3q=65+3x14.5=108.5得分小于36分的学生有3个，得分大于94分的有4个，P(p—2c0.9544200--学生的得分都在130,100〕间，P(p—3c0.9974.学生得分近似满足正态分布N(65,210)的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的;(2)设这名同学获得的奖金为Y，则Y的可能值为50、100、150、200qnP(Y二50)=10x厂20，P(y=100)=10x4+10xAQ1P(y二150)=10xC2x4x厂20，P(Y=200)=—x[1丫1014丿40故Y的分布列为:Y50100150200P93312082040naa1•••E(Y)=50x20+100x8+150x刃+200x40二87・5【一隅三反】(2021•云南昆明市•昆明一中高三月考(理))某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位:千步，且均在［4,20］内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数).由直方图可以认为该校教职工的日行步数E服从正态分布N(卩Q2)，其中，卩为(1)中求得的平均数标准差◎的近似值为2,求该校被抽取的300名教职工中日行步数2e(14,18)的人数(结果四舍五入保留整数).用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.附：若随机变量2服从正态分布N(卩Q2),则P(p—q<+Q)沁0.6827，P(p-2q<2WP+2q)沁0.9545，P(p-3q<2§p+3q)沁0.9973.【答案】(1)12；(2)47；(3)分布列答案见解析，数学期望：216.【解析】(1)依题意得x=0.01x5+0.01x7+0.08x9+0.58x11+0.22x13+0.06x15+0.03x17+0.01x19=11.68沁12(2)因为2〜N62,22)所以P(14<2<18)=P(12+2<2<12+3x2)=打P(6<2<18)—P(10<2<14)］沁0.15732所以走路步数2e(14,18)的总人数为300x0.1573沁47(3)由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1.由题意知X的可能取值为0,100,200,300,400.P(X二0)二0.022二0.0004；P(X=100)=Cix0.02x0.88=0.03522P(X=200)=Cix0.02x0.1+0.882=0.7784；P(X=300)=Cx0.1x0.88=0.17622P（X二400）二0.12二0.01所以X的分布列为X0100200300400P0.00040.03520.77840.1760.01E(X)二0x0.0004+100x0.0352+200x0.7784+300x0.176+400x0.01二216（2021•长沙市•湖南师大附中高二期末）国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类
制度
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实施方案》,规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类,并且垃圾回收、利用率要达标.某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的A类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查,统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）,得到如下频数分布表,并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区.垃圾量112.5,15.5)115.5,18.5)118.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5)[27.5,30.5)[30.5,33.5〕频数56912864（1）估计该市A类社区这一天垃圾量的平均值x；（2）若该市A类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布NC,27.04），其中卩近似为50个样本社区的平均值X（精确到0.1吨），估计该市A类社区中“超标”社区的个数；（3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源.设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为X，求X的分布列和数学期望.附：若X服从正态分布N（|!Q2）,则P（p-b28)=P(X>p+a)=1—0f826=0.1587因为320x0.1587=50.784沁51，估计该市A类社区中“超标”社区约51个.由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在[27.5,30.5)内的“超标”社区也有4个，则X的可能取值为1,2,3,4.p(x=°=晋=14，p(x=2)=晋=7，p(x=3)=吾=7，p(x=4)=肖=148888则X的分布列为：X1234Y13311477141331所以E(X)=1x忆+2x7+337+4x14=
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