第31讲___容斥原理

第31讲容斥原理例题与方法例1在1～100的自然数中，不能被3也不能被5整除的数有多少个？例2某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人？例3100名学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂两种外语的有多少人？例4在1～143这143个自然数中，与143互质的自然数共有多少个？例5某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语都得满分的分别有21人、19人、20人。语文、数学都得满分的有9人；数学、英语都得满分的有7人；语文、英语都得满分的有8人；另有5人三科都未得满分。这个班最多能有多少人？思考与练习某班有学生46名，其中爱好音乐的有17人，爱好美术的有14人，既爱好音乐又爱好美术的有5人。问：两样都不爱好的有多少人？分母是105的最简真分数共有多少个？一个家电维修站有80%工人精通修彩电，有70%的人精通修空调，10%的人两项不熟悉。问：两项都精通的人占白分之几？在1～100的自然数中，既不能被5整除也不能被9整除的数的和是多少？在1～200的自然数中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个？在100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好体育的有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人，最多有多少人？64人订A、B、C三种杂志，订A杂志的有28人，订B杂志的有41人，订C杂志的有20人，订A、B两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人。三种杂志都订的有多少人？有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语，那么这100位旅客中既懂英语懂俄语的有多少人？9．70名学生参加体育比赛，短跑得奖的31人，投掷得奖的36人，跳远得奖的29人，短跑与投掷两项都得奖的12人，跑、跳、投三项都得奖的有5人，只得跳远奖的7人，只得投掷奖的15人，求：（1）只得短跑奖的人数；（2）得两项奖的人数；（3）一项奖都未得的人数。10．如下图所示，甲、乙、丙三个正方形的面积分别为25平方厘米、16平方厘米和9平方厘米，它们叠在一起，盖住的面积为32平方厘米，且甲、乙公共部分为10平方厘米，乙、丙公共部分为6平方厘米，甲、丙公共部分为7平方厘米，求阴影部分的面积。第30讲列 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 法和图解法例题与方法例1甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局谁赢，如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，共有多少种可能呢？例2从甲地到乙地，可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船。某人从甲地经乙地到丙地，共有几种走法？例3甲、乙、丙、丁、戊5人参加晚会后将帽子拿混了，没有人拿到自己的帽子。现在知道甲拿的不是乙的，也不是丁的；乙拿的不是丙的，也不是丁的；丙拿的不是乙的，也不是戊的；丁拿的不是丙的，也不是戊的；戊拿的不是丁的，也不是甲的。而且，没有两人互相拿错。问：丙拿了谁得帽子，谁拿了丙的帽子？例4将一个正整数分成若干个小于它的正整数之和，这叫分拆，例如：4=1+1+2，4=1+3。如果加数只有顺序不同，不算一种分拆。请问：6一共有多少种不同的拆法？例5一根绳子对折三次，然后每隔一定的长度剪一刀，共剪了6刀，这样，原来的绳子被剪成了多少段？思考与练习有144颗糖块，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不得多于40颗，共有几种分法？新学期开学了，10名同学见面，如果每2名同学都握一次手，那么共握手几次？从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村经过乙村再到丙村，有几条不同的路可走？甲、乙、丙三人照相，如果乙一定要站在中间，可以照多少种不同的照片？如果没有规定，可照几种不同的照片？有一张表，写有从1～500的所有自然数。在这张表里数字“5”共出现多少次？小军买了6张电影票（见下图），他想撕下相连的4张，共有几种不同的方法？123456一根绳子对折三次，然后每隔一定的长度剪一刀，共剪了5刀，这样，原来的绳子被剪成了多少段？如右图，等腰梯形的下底是上底的2倍，两个底角都是60度，如何将这个梯形分成大小、形状完全相同的4块？把边长是10厘米的正方形卡片按下图重叠起来（下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形的中心），10张这样的卡片重叠之后，所组成的图形周长是多少厘米？10．一块长方形布，长27分米，宽10分米，把它裁成直角边分别是5分米、2分米的三角巾，最多能裁多少块？怎样裁？第29讲数值代入法和玫举法例题与方法例1有黄、红、绿、蓝、黑五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以配成不重复的几组？例2有5张卡片，分别写有数字1、2、3、4、6。现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，如123。可以组成多少个不同的偶数？例3从3名男生、2名女生中选出3名值日生，其中至少要有1名女生，一共有多少种不同的选法？例4对于任意自然数ｎ，当ｎ为奇数时加上121，当ｎ为偶数时除以2，这算一次操作。现在对231连续进行操作，在操作的过程中是否可能出现100？为什么？例5同一平面内的1988条直线，最多有多少个不同的交点？思考与练习从1～100的自然数中，每次取出2个不同的自然数想加，使其和大于100，共有几种不同的取法？把六个字母A、A、E、E、F、F排成一行，使同一字母不相邻，并且自左至右前三个字母各不相同，这样的排法有几种？由数字1、2、3、4、6、7，共可组成多少个没有重复数字的四位数？从3、5、7、13、17、19这六个数中，每次取两个数组成真分数，这样的真分数有多少个？黑板上有5和7两个数，现在规定：将黑板上任意两个数相加的和写在黑板上。问：经过若干次操作后，黑板上能否出现23？广州至上海的某次列车，除起点和终点外，还要停靠4个站，应准备多少种不同的车票？若再考虑上海至广州的列车，总共应准备多少种不同的车票？书架上有6本不同的画报和10种不同的故事书，请你每次从书架上取出一本画报和一本故事书，共有多少种不同的取法？如图，从上往下，沿线读出“我们爱好学数学”，一共有多少种不同的路线？我们们爱爱爱好好好好学学学数数学4枚硬币都是国徽一面朝上放着，每次同时将其中3枚硬币翻面，至少要翻几次才能把所有的硬币都翻成另一面？10．平面上有8个圆，最多能把平面分成多少个部分？第28讲对策问题例题与方法例1有一筐苹果共53个，甲、乙两人轮流从中拿走1个或2个苹果。规定谁拿走最后一个苹果，谁获胜。如果甲先拿，那么他有没有必胜的策略？例2有一个3ｘ3的棋盘以及9张卡片，卡片上分别写有1，3，4，5，6，7，8，9，10这9个数。甲、乙两人做游戏，轮流取一张卡片放到9格中的一格，由甲方计算上、下两行6个数的和；乙方计算左、右两列6个数的和，和数大的一方为胜。试问：甲方如先取一定能胜吗？例3有9张卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，7，8，9。甲、乙两人轮流取一张，谁手上的3张卡片数字加起来等于15，谁就取胜。问：保证不败的对策是什么？例4黑板上写有1993个数：2，3，4，….1994。甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦）。如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。问：谁必获胜？必获胜的对策是什么？例5甲、乙两人进行游戏比赛，轮流在黑板上写上不超过10的自然数，并且规定：不允许写黑板上已写过的数的约数，轮到游戏人无法再写数时，就是输者。现甲先写，乙后写，问：谁必获胜？必获胜的对策是什么？思考与练习1．两人轮流报数，规定每次报数都是不超过8的自然数，把两人报的数累加起来，谁先到88，谁就获胜。问：先报数者有无必胜的策略？2．两人轮流数数，每人每次只能连续数1个或2个，不能不数，如果甲先数1，乙接着可数2或2、3，如此继续，谁先到30谁就获胜，问：如何取胜？3．小红、小民两人进行如下的游戏：取一块大的巧克力，上面有5条横线，9条竖线，这些线将巧克力分成60个小格。小红先沿着一条线将巧克力掰成两块（两块不一定相等），吃掉其中一块，小民再沿着另一条线将剩下的巧克力掰成两块，吃掉其中一块…….这样继续下去，两人轮流掰吃这块巧克力，谁吃到最后一块算输掉。问：小红、小民谁有必胜的策略？4．甲、乙两人在长方形桌上放一些大小相同的圆形硬币（不能重叠），甲先放，乙后放。如果一方没有位置可放时，另一方就获胜。问：谁能胜，需什么对策？5．两人轮流数数，每人每次可以数1个、2个或3个，但是不能不数，例如，第一个人数1、2，第二个人接着往下数3，也可以数3、4，也可以数3、4、5，如此继续。谁数到100，谁就算胜。请试一试，怎样才能获胜？6．甲、乙两人轮流从1993颗棋子中取走1颗、2颗、3颗，甲先取，乙后取，谁取到最后一颗棋子的就是胜利者。问：甲、乙两人谁必胜？为了取胜，应采取怎样的策略？7．在黑板上写有2n+1个数：2，3，4，…….,2n+1,2n+2,甲、乙两人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。问：谁必胜？必胜的策略是什么？8．甲、乙两人轮流在黑板上写上不超过14的自然数，书写规则是：不允许写黑板上已写过的数的约数，轮到书写人无法再写时就是输者。现甲先写，乙后写。问：谁能获胜？应采取什么对策？9．甲、乙两人轮流在1994颗棋子中取走1颗或奇数颗，甲先取，乙后取，取到最后一颗棋子者为胜者。问：甲、乙两人谁能获胜？要获胜的话，应采取什么对策？10．甲、乙两人轮流在如下图所示的空格内画符号，甲画“√”或“Ｘ”，规定每人至少画1格，至多画3格；空格画满后计数，哪一方的总数为偶数，哪一方就获胜。如何确保获胜？第27讲近似值与估算例题与方法例1已知两式：45678÷12345，56789÷23456。只用心算，你能比较出这两个式子的值的大小吗？如果能，请说明理由。例2老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算它们的平均数（得数保留两位小数）。小明算出的答案是12．43。老师说：“最后一位数字错了，其他数字都对。”正确的答案是什么？例3已知S=，求S的整数部分。例4设135791113151719212325÷523212917151311197531=a，则a的小数点后的前5位数字是多少？例5的整数部分是多少？思考与练习1．A=33331÷33334，B=22221÷22223。试比较A、B的大小2．987654321÷123456，所得的商小数点前有几位数？3．找两个连续自然数，使比其中一个数大，比另一个数小。这两个连续的自然数分别是几？4．有30个数，1．64，1．64+，1．64+，…1．64+，1．64+。如果取每个数的整数部分，（例如，1．64的整数部分是1，1．64+的整数部分是2），并将这些整数相加，那么和是多少？5．设A=（）Χ385，求A的整数部分。6．已知A=，求A的整数部分。7．在1−中，从左到右算到第几个数，它的值最接近0．6？8．1．26，则a，b各是多少？9．设a=，求a的近似值（保留三位小数）。10．已知a=X100，求a的整数部分。第26讲时间问题例题与方法例1有一个时钟，每小时快30秒，它在2006年1月1日中午12点时是准确的，下一次准确的时间是什么时候？例2有一只钟，每小时比标准时间慢1分，中午12点校准时间，晚上该钟指向9点的时候，标准时间是晚上几点几分？例3小王的闹钟一昼夜快3分，他想让这只钟在第二天早上北京8点准时闹响，今天下午4点种时没，这个闹钟应该往慢拨多少分？例4某科学家设计了一只怪钟，这只钟每昼夜只有10小时，每小时100分钟。当这只钟显示5点时，实际上是中午12点。当这只怪钟显示7点75分时，实际上是什么时间？例5一只快钟每小时比标准时间快10秒，一只慢钟每小时比标准时间慢20秒，若将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示7点整时，慢钟恰好显示6点50分，此时的标准时间是多少？思考与练习现在时钟显示的时间是10点整，如果分针旋转2006圈，那么时钟显示的时间是几点整？有一只时钟每小时慢1分，它在3月1日上午8点对准，下一次准确的时间是什么时候？有一只钟，每小时比标准时间快2分，中午12点调准，下午快钟指向6点的时候，标准时间是下午几点？小张家的挂钟每小时慢2分，早上8点，小张把挂钟对准了标准时间，那么这只挂钟走到中午12点时，标准时间是几点几分？王子寒家有一只闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。有一天晚上9点整，王子寒对准了闹钟，他想第二天早晨6点55分起床，于是他将闹钟定在了6点55分，请问：这个闹钟将在标准时间何时响起？小红家有一只闹钟，每小时比标准时间快1分钟。星期天上午9点，小红对准了闹钟，并且设了闹铃，想让闹钟在标准时间11点的时候闹铃，提醒她帮妈妈做饭。小红应该把闹钟设定在几点几分上？小齐晚上9点将手表时间对准，但是第二天早晨他8点到校时却发现自己迟到了10分钟，那么小齐的手表每小时慢几分？有甲、乙两只表，甲表8点15分，乙表8点31分，甲表比标准时间每9小时快3分钟，乙表比标准时间每7小时快3分钟。至少再经过几小时，两只表的指针指在同一时刻？甲、乙两人都要在上午11点到火车站，甲的手表实慢3分钟，但是他认为自己的手表快3分钟；乙的手表实快3分钟，但是他认为自己的手表慢3分钟。甲、乙两人谁先到火车站？10．王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快60秒，而闹钟每小时比标准时间慢60秒。那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间相差多少秒？第25讲时钟问题例题与方法例1从7点整开始，再经过多少分钟，时针正好和分针重合？例26时整，分针和时针正好在一条直线上，至少经过多少分钟，两针正好垂直？例3在4点与5点之间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？例4在钟面上，1时50分的时刻，时针与分针的夹角是多少度（如图，指小于或等于180°的角）？现在的钟面时间如图甲所示，经过多长时间，时针与分针到“4”的距离第一次相等？甲乙思考与练习从5点整开始，再经过多少分钟，时针正好和分针重合？从7点整开始，至少经过多少分钟，两针正好垂直？吃过晚饭，方宇一家出去散步，他们出门前钟面显示7点多钟，他们回来后钟面显示也是7点多钟，且两次钟面上时针和分针恰好位于一条直线上，请问：他们散步用了多长时间？现在是8点整，再过多长时间，时针和分针将第一次在一条直线上？现在是12点整，时针和分针重合，至少再经过多少分钟，时针和分针将再次重合？4时整时，时针与分针的夹角是多少度（指小于180°的角）？在钟面上，8时25分的时刻，时针与分针的夹角是多少度（指小于180°的角）？6点过多少分时，时针与分针到“6”的距离第一次相等？8点到9点之间，在什么时刻时针与分针之间的夹角是60°？10．9点26分，时钟的分针与时针的夹角（指小于180°的角）是多少度？第24讲优化与统筹（二）例题与方法例1刘叔叔在星期一、三、五乘公共汽车上下班，星期二、四乘公共汽车上班，搭朋友的小轿车下班回家。如果刘叔叔乘公共汽车，单程票价是1元，周票是9元，你认为刘叔叔买周票合算还是不买周票合算？为什么？例2某车队的大卡车载重量8吨，耗油量是15升；小卡车的载重量2吨，耗油量是4升。现要装运100吨的货物，用几辆大卡车和几辆小卡车耗油量最少？例3甲、乙两厂生产某一规格的上衣和长裤，甲厂每月用16天生产上衣，14天生产长裤，正好配为448套；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产长裤，正好配成720套。现在两厂合并，每月最多可生产多少套？例4甲、乙两位探险者要到沙漠深处探险，他们每天可走30千米，已知每人最多可带一个人24天的食物和水，如果允许将部分食物存放在途中，那么其中一个人最多可走入沙漠多少千米？例5仓库内有一批14米长的钢材，把它们割成3米长和5米长的各50根。如果不计损耗，最少要从仓库内取出多少根钢材？思考与练习1．烧一道菜要七道工序，每道工序所需要的时间是：敲蛋1分钟，洗葱切葱2分钟，打蛋3分钟，洗锅2分钟，烧热锅2分钟，烧热油4分钟，炒蛋4分钟。你认为做好这道菜最短的时间是多少？2．有157吨货物要运到A地，大卡车每次载重5吨，耗油10升；小卡车每次载重2吨，耗油5升。用大、小卡车各多少辆运输耗油量最少？3．双休日48名学生去公园划船，每只小船坐3人，租金20元；每只大船坐5人，租金30元。最少要付租金多少元？4．时新服装厂的工人，每人每天可生产8件上衣或14条裤子，一件上衣和一条裤子为一套。现在有154名工人参加生产，每天最多能生产多少套服装？5．李厂长要把一个紧急通知传达给全厂的975名员工，如果用电话联系，每通知1人需1分钟，而见面一次可通知60人，但需要7分钟。李厂长要在最短的时间里通知完，最少需要多少分钟？6．一个棱长为3厘米的正方体，一只小虫从一个顶点出发沿棱爬行，如果要求不走重复路线，小虫回到起点的最长路线是多少？7．把一块面积为108平方厘米的正方形铁皮做成一个无盖的正方体盒子，这个盒子的表面积最大是多少？一个盒子里装有标号1~100的100张卡片，某人从盒子里随意抽卡片，如果要求取出的卡片中至少有两张卡片的标号之差为5，那么此人至少要抽出多少张卡片？9．一只猴子每天吃桃子，如果每天吃的桃子数量互不相同，那么100个桃子最多够几只猴子吃几天？10．某种机床，重庆需要8台，武汉需要6台，正好北京有10台，上海有4台，每台机床的运费如下表：单位：元武汉重庆北京400800上海300500请问应该怎样调度，才能使总运费最节省？第23讲优化与统筹（一）例题与方法例1一只平底锅上只能煎两只饼。用它煎1只饼需要2分钟（正、反面各1分钟）。问：煎3只饼需几分钟？怎样剪？例26个人各拿一只水桶到水龙头接水。水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问：怎样安排这6个人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？例3小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭。她准备做大米饭和炒鸡蛋。小红家有两个炉灶。她估计一下，洗锅要1分钟，淘米要5分钟，做大米饭要用30分钟，打蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。你认为经过最合理的安排后，只要多少分钟就能做好饭菜？例4如下图，在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。1号仓库有10吨货物，2号仓库有20吨货物，5号仓库有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1千米要0.5元运输费，那么至少要花费多少元运费才行？例5工地上有手推车20辆，其中10辆从A1运垃圾到B1，要60车次运完，另外10辆从A2运砖头到B2，要40车次运完。工地上的可行道路及路程如图（单位：米）。有人说上面的安排不合理，因为跑空车的路程还可以更少些。那么，怎样安排才算合理呢？思考与练习有7个满杯水、7个半杯水、7个空杯，不许倒掉水，你能把这些东西平均分给3个人，使得每人有7只杯子和3杯半水吗？有8个人在交通事故中受伤，救援人员1人可以救护2人，而1辆救护车只可以坐4个人（包括司机）。至少应开出几辆救护车到事故现场？理发室有甲、乙两位理发师，同时来了5位顾客，根据顾客所要理的发型，分别需要10分钟、12分钟、15分钟、20分钟和24分钟。怎样安排他们理发顺序，才能使这5个人的理发及等候所用时间的和最少？最少要花多少时间？甲、乙两村相距10千米，要在两村之间建一所联合小学。甲村有60人上学，乙村有40人上学。那么学校应该建在什么地方，才能使这100名学生每天上学的总行程最短？妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗开水壶要1分钟，烧开水要15分钟，洗茶壶要1分钟，洗茶杯要1分钟，拿茶叶要2分钟。为了使客人能早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？在一条公路上有四家工厂，相邻的每两家工厂距离相等（如下图所示）。现在要在这条公路上设一车站，使得这四家工厂的所有工人步行到车站的总行程最少，这个车站应设在几号工厂门口？小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小明要把4头牛都赶到对岸，至少要用多少分钟？甲、乙两个仓库各有100吨化肥。春耕生产时，北乡要60吨化肥，南乡要80吨化肥。两个仓库到两乡的路程如下图所示（单位：千米）。如果每吨化肥每运1千米要1元的运费。问：（1）要使运费最省，必须从甲库运多少吨？（2）最省的总运费是多少？A、B两家钢铁公司分别存有钢材1100吨和2000吨。现要用火车从这两家公司把这批钢材分别运送到甲、乙、丙、丁四个城市，支援那里的重点工程建设。这四个城市的重点工程所需钢材数量依次是100吨、1500吨、400吨、1100吨。A、B两家公司与四个城市之间的铁路长（单位：千米））如下表：钢铁公司工程所在地甲乙丙丁A150370510510B14070210250问：怎样调运这两批钢材，运费最少？10．沿铁路有5家工厂A，B，C，D，E（如图），各厂每天都有10吨货物要外运。现在想建一座车站，统一运送货物，要使这5家工厂的货物运到车站的行程总和最小，车站应该建于何处？第22讲商业中的数学（二）例题与方法某旅游景点的门票价格及优惠办法如下表：人数1~49人50~99人100人以上每人票价12元10元8元现有两个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费1166元，如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费880元。这两个旅游团分别是多少人？例2