线性代数课后习题1答案(谭琼华版)

线性代数课后题详解第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：(1)；21-12解：；5)1(12221-12(2)；11122xxxx解：；1)1)(1(111232222xxxxxxxxxx(3);22baba解：;2222baabbaba(4);598413111解：;5941531811931841511598413111(5);00000dcba解：;0000000000000000dcbadbcadcba(6).132213321解：.183211322133332221111322133212.求下列排列的逆序数：（1）34215；解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5.（2）4312；解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5.（3）n(n-1)…21；解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2.(4）13…(2n-1)(2n)…42.解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n的前面有2n-2n个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1).3.写出四阶行列式中含有因子的项.2311aa解由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数．由于已固定，43214321)1(pppptaaaat4321pppp3,121pp只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为4321pppp13t或1010022000和为所求.44322311aaaa42342311aaaa4.计算下列各行列式：(1)；71100251020214214解：=7110025102021421434327cccc010014231020211021434)1(143102211014=--=0.143102211014321132cccc1417172001099(2);0111101111011110解：=01111011110111104342cccc011111011011100014)1(111101011=--=-=-3.11110101112cc1211110011211(3)；efcfbfdecdbdaeacab解：111111111abcdeffffdddaaabceefcfbfdecdbdaeacab3231cccc120122100abcdef=.412102)1(12abcdefabcdef(4);100110011001dcba解：=dcba10011001100121arrdcbaab100110011010)1()1(12dcaab101101=23dcc010111cdcadaab)1()1(23cdadab111=.1adcdababcd(5);222222bacccbcabbaacba解：bacccbcabbaacba2222223231ccccbaccbacbabcbaacba2020=13rrbaccbabcbaacba0202023rrbacbcbaacba002020.3)(cba(6);1502321353140422解:=1502321353140422134152cccc1000313195221604221319221642223212cccc151102417020==15102472.270]10)24(157[2(7);222232222222221n解：＝＝n222232222222221n,2,i1rri2001010100012221n201222)1(12n].)!2[(2n(8).001000000100aaaa解：阶阶11111000100)1()1(001000000100nnnaaaaaaaaaa=.)1()1(22)1(11nnnnnnaaaaa阶5.证明下列等式:(1)=;1112222bbaababa3)(ba证明：1112222bbaababa00122222221312ababaabaabaccccabababaab22)1(2221321)(2abaab.)(3ba(2);0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222ddddccccbbbbaaaa证明：2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(ddddccccbbbbaaaa9644129644129644129644122222141312ddddccccbbbbaaaacccccc964496449644964422222ddddccccbbbbaaaa分成二项按第二列964419644196441964412222dddcccbbbaaa949494949464222224232423ddccbbaacccccccc第二项第一项.06416416416412222dddcccbbbaaa(3).1221100000100001axaaaaxxxnnnnnnnaxaxax111证明：用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当axaxaxaxDn假设对于阶行列式命题成立，即)1(n,122111nnnnnaxaxaxD:1列展开按第则nD,1000010001)1(11xxaxDDnnnnnnaxD1nnnnaxaxax111所以，对于n阶行列式命题成立.6.计算下列各题：(1)设,,是方程的3个根，计算行列式1x2x3x03qpxx.132213321xxxxxxxxx解：因为,,是方程的3个根，即，那1x2x3x03qpxx0))()((321xxxxxx么，，.0321xxx313221xxxxxxp321xxxq==0.132213321xxxxxxxxx第一列都加到131322121332321xxxxxxxxxxxxxxx132132000xxxxxx(2)已知，用行列式的定义求的系数.xxxxxxf21123232101)(3x解：由行列式的定义，，其中为的逆xxxxx2112323210143214321)1(pppptaaaat4321pppp序数．注意到行列式中含x的有,,,,，要使出现，那么ija11a12a22a33a44a3x中,至少要出现一个，若只出现，那么必须出现，从43214321)1(pppptaaaa33a44a33a22a而也必须出现，这导致也必须出现，因此，不可能只出现.这样要使出11a44a33a现，只有一种情况：，那么的系数为.3x4,3,1,24321pppp3x1)1()2134(t(3)设四阶行列式，求，其中为元素cdbaacbdadbcdcbaD444342414AAAA4iA4ia的代数余子式.解：因为，所以cdbaacbdadbcdcba4444343424241414AaAaAaAa==0.44342414AAAA1111dbacbddbccba(4)设n阶行列式，求xaaaxaaaxD.21nnnnAAA解：==nnnnAAA21111axaaax1-n,2,,1inarri1110000axax.)(1nax7.计算下列各行列式（）：阶行列式为kDk(1)；mxxxxmxxxxmxDnnnn212121解：=nD第一列都加到mxxmxxmxmxxxmxnniinniinnii212121mxxxmxxxmxnnnnii2221111)(=n,2,i1rrimmxxmxnnii211)().()(11mxmniin(2);nnnDn112211321解：=nD到前一列后一列加nnnnn121321.2)!1()1(1nn(3)，其中未写出的元素为0;dcdcbabaDn2解：阶展开按第一行1220000nnddcdcbabaaD阶121200)1(nncdcdcbabab都按最后一行展开2222nnbcDadD由此得递推公式：，即)1(22)(nnDbcadD.)(2nnbcadD(4)；nnaaaD11111111121解：nD阶扩展为1n阶1211110111011101111nnaaanirri,,3,21阶1210010010011111nnaaa+列展开按最后一阶nnnaaaa1210010010011111阶nnnaaa0001001001001)1(1-21)1(1=+1nnDa11niia由此得递推公式：112121111)(niiniinnnniinnnaaDaaaDaD=niinnnniinnnnnaaaDaaaaaaDaa1212111211111=(,i=1,2,…,n).1111njjniiaa0ia若中为零的个数为1，则，ia111aaaaDiinn若中为零的个数大于1，则.ia0nD(5).提示：用范德蒙行列式计算.1111)()1()()1(1111naaanaaanaaaDnnnnnnn解：nnnnnnnnnnaaanaaanaaaD)()1()()1(1111)1(1112)1(1112)1()]1()1[()1(nijnnjaia.!!1!2)!1(!)]([)1(1112)1(ninijnninnji8.用克莱姆法则解下列方程组：;32,12,02)1(zyxzyxzyx解：，81315130150121211112121D,412121201111202131111201D,413111311120012311121012D,1233153311520013111120213D.23,21,21321DDzDDyDDx.337,13,3,4432)2(4324214324321xxxxxxxxxxxxx解：，1684702500113753511113705350111043211370103111104321D43216160202404324110831443230001411038314413731031111343241D，2811602042161620242,4840002400113034410400420011304341133053301130434113301011113043412D,9680000120013104421824000120013104421137053501310442113701131131044213D,0244001220031104321337033503110432133701031311043214D.0,6,3,844332211DDxDDxDDxDDx9.,取何值时，以下齐次方程组有非零解？.0200321321321xxxxxxxxx，，解，01100111101211111D齐次线性方程组有非零解，则0D即0得.10或