上海中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)，C(0,3).（1）若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为yx22x3，直线的解析式为yx3.（2）317317M(1,2)；（3）P的坐标为(1,2)或(1,4)或(1,)或(1,).22【解析】分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．b12aa1详解：（1）依题意得：abc0，解得：b2，c3c3∴抛物线的解析式为yx22x3.∵对称轴为x1，且抛物线经过A1,0，∴把B3,0、C0,3分别代入直线ymxn，3mn0m1得，解之得：，n3n3∴直线ymxn的解析式为yx3.（2）直线BC与对称轴x1的交点为M，则此时MAMC的值最小，把x1代入直线yx3得y2，∴M1,2.即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为1,2.（注：本题只求M坐标没说要求 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 为何此时MAMC的值最小，所以答案未证明MAMC的值最小的原因）.（3）设P1,t，又B3,0，C0,3，∴BC218，PB2132t24t2，PC212t32t26t10，①若点B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即：184t2t26t10解得：t2，②若点C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即：18t26t104t2解得：t4，③若点P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即：4t2t26t1018解得：317317t，t.12223173171,21,41,1,综上所述P的坐标为或或或.22点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生2343三角形”．已知抛物线yx2x23与其“衍生直线”交于A、B两点（点A33在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为，点A的坐标为，点B的坐标为；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．2323【答案】（1）y=x+；（-2，23）；（1,0）；33（2）N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；432343103（3）E（-1，-）、F（0，）或E（-1，-），F（-4，）3333【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可【详解】234323（1）∵yx2x23，a=，则抛物线的“衍生直线”的解析式为3332323y=x+；332343yx2x2333x=-2x=1联立两解析式求交点，解得或，2323y=23y=0y=x+33∴A（-2，23），B（1,0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，2343在yx2x23中，令y=0可求得x=-3或x=1，33∴C（-3,0），且A（-2，23），∴AC=（-2+3）2+（23）2=13由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，∴N在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=AN2-AD2=13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中ACK=EFHAKC=EHFAC=EF∴△ACK≌△EFH，∴FH=CK=1，HE=AK=23，∵抛物线的对称轴为x=-1，∴F点的横坐标为0或-2，∵点F在直线AB上，23∴当F点的横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，3234343∴E到y轴的距离为EH-OF=23-=，即E的纵坐标为-，33343∴E（-1，-）；3当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x=-4，y=23-t，23234323-t=-×（-4）+，解得t=-，33343103∴E（-1，-），F（-4，）；334323综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-）、（0，）或E（-1，3343103-），F（-4，）33【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题3．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△OA′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令，﹣2﹣，解得：﹣，，y=0x2x+3=0x1=3x2=1即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），111∴S=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．△OA′B′222【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；7201013（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），3939【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为1负倒数设直线PC的解析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为3y＝x22x31y=-x+3，再解方程组1得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物3y＝x33线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，pq0p3把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，q3q3∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，1∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，3把C（0，3）代入得b=3，1∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，37y＝x22x3xx03720解方程组1，解得或，则此时P点坐标为（，）；y＝x3y320393y9过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，11把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，3311∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，3310y＝x22x3xx1310解方程组11，解得或，则此时P点坐标为（，﹣y＝xy013333y913）.97201013综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）.3939点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），与x轴交于点A、与y轴交于点B，直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D．若直线CD的解析式为y＝﹣1（x+b），则称直线CD为直线AB的”姊线”，经过点A、B、C的抛物线称为直线AB的k“母线”．（1）若直线AB的解析式为：y＝﹣3x+6，求AB的”姊线”CD的解析式为：（直接填空）；1（2）若直线AB的”母线”解析式为：yx2x4，求AB的”姊线”CD的解析式；2（3）如图2，在（2）的条件下，点P为第二象限”母线”上的动点，连接OP，交”姊线”CD于点Q，设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求y的最大值；（4）如图3，若AB的解析式为：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊线”为CD，点G为AB的中点，点H为CD的中点，连接OH，若GH＝5，请直接写出AB的”母线”的函数解析式．1【答案】（1）y(x6)；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m＝﹣3333，y最大值为；（4）y＝x2﹣2x﹣3．28【解析】【分析】（1）由k，b的值以及”姊线”的定义即可求解；（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得点A、B、C的坐标，从而求得直线CD的表达式；1（3）设点P的横坐标为m，则点P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，2从而求得直线OP的表达式，将直线OP和CD表达式联立并解得点Q坐标，y13333由此求得P，从而求得y＝﹣m2﹣m+3，故当m＝﹣，y最大值为；y2228Q1（4）由直线AB的解析式可得AB的“姊线”CD的表达式y＝﹣（x+3），令x＝0，得ym值，令y＝0，得x值，可得点C、D的坐标，由此可得点H坐标，同理可得点G坐标，由勾股定理得：m值，即可求得点A、B、C的坐标，从而得到“母线”函数的表达式．【详解】（1）由题意得：k＝﹣3，b＝6，1则答案为：y＝（x+6）；3（2）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2或﹣4，点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），11则直线CD的表达式为：y＝（x+4）＝x+2；221（3）设点P的横坐标为m，则点P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，2n则直线OP的表达式为：y＝x，mnyxm将直线OP和CD表达式联立得，1yx224mm22m8解得：点Q（，）m23m8m23m8y13P则＝﹣m2﹣m+4，y22QPQyyy13PQy＝P1＝﹣m2﹣m+3，OQyy22QQ333当m＝﹣，y最大值为；281（4）直线CD的表达式为：y＝﹣（x+3），m3令x＝0，则y＝﹣，令y＝0，则x＝﹣3，m333故点C、D的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣），则点H（﹣，﹣），m22m33同理可得：点G（﹣，），2m23333则GH2＝（+）2+（﹣）2＝（5）2，22m22m解得：m＝﹣3（正值已舍去），则点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），则“母线”函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故：“母线”函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．【点睛】此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.6．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】ab＝3（1）由题意得，b，＝22aa＝1解得，b＝4∴抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x）,∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA∽△AEB,PFAFx24x4x∴，即，AEBE213解得，x=−1，x=4（舍去）∴x2-4x=-5∴点P的坐标为（-1，-5），又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+11所以BP与x轴交点为（，0）4115∴S△PAB=531524【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．7．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH周长的最大值为．考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想8．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．【解析】试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），＝，＝S－S＝＝EF=S△ACE△AFE△CFE，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D（4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，＝S－S＝S△ACE△AFE△CFE＝＝，∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，，∵∴，∴P（，）；11若是矩形的一条对角线，则线段的中点坐标为（，），（，），②ADADQ2m＝，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，∴，∴，即，，，（，－）．∵∴∴P214综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．考点：二次函数综合题．9．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值？请说明理由；（3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标．【答案】（1）点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）当m=01时，S取最小值，最小值为；当m=3时，S取最大值，最大值为5．（3）满足224124∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．749【解析】【分析】（1）代入y=c可求出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的值，进而可得出点P的坐标及抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F的坐标，过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度，再利用三角形1的面积公式可找出S=﹣（m﹣3）2+5，由m的取值范围结合二次函数的性质即可求出S2的最大值及最小值；（3）分两种情况考虑：①当点M在线段OP上方时，由CP∥x轴利用平行线的性质可得出：当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，由此可找出点M的坐标；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=n32042，由DO=DP可求出n的值，进而可得出点D的坐标，由点P、D的坐标利用待定系数法即可求出直线PD的解析式，再联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M的坐标．综上此题得解．【详解】（1）当y=c时，有c=﹣x2+bx+c，解得：，，x1=0x2=b∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c），∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b，∵△PCB≌△BOA，∴BC=OA，CP=OB，∴b=3，c=4，∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）当y=0时，有﹣x2+3x+4=0，解得：﹣，，x1=1x2=4∴点F的坐标为（4，0），过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示，∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，1111∴S=OA•ME=﹣m2+3m+=﹣（m﹣3）2+5，22221∵﹣＜0，0≤m≤4，21∴当m=0时，S取最小值，最小值为；当m=3时，S取最大值，最大值为5；2（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，∴当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，∴点M的坐标为（0，4）；②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，设点D的坐标为（n，0），则DO=n，DP=n32042，∴n2=（n﹣3）2+16，25解得：n=，625∴点D的坐标为（，0），6设直线PD的解析式为y=kx+a（k≠0），25将P（3，4）、D（，0）代入y=kx+a，6243ka4k725，解得：，ka01006a724100∴直线PD的解析式为y=﹣x+，7724100y﹣x联立直线PD及抛物线的解析式成方程组，得：77，yx23x424xx327解得：1，．y41241y24924124∴点M的坐标为（，）．74924124综上所述：满足∠MPO=∠POA的点M的坐标为（0，4）或（，）．749【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b、c的值；（2）利用三角形的面积公式找出S=﹣（m﹣3）2+5；（3）分点M在线段OP上方和点M在线段OP下方两种情况求出点M的坐标．10．如图，已知抛物线yax2bxc（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【答案】（1）yx22x3；（2）P（1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可；（2）由图知：A．B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点；（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）代入抛物线yax2bxcabc0a1中，得：{9a3bc0，解得：{b2，故抛物线的解析式：yx22x3．c3c3（2）当P点在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最b短，此时x=-=1，故P（1，0）；2ab（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=-=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C2a（0，﹣3），则：MA2=m24，MC2=(3m)21=m26m10，AC2=10；①若MA=MC，则MA2MC2，得：m24=m26m10，解得：m=﹣1；②若MA=AC，则MA2AC2，得：m24=10，得：m=6；③若MC=AC，则MC2AC2，得：m26m10=10，得：m0，m6；12当m=﹣6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M（1，6）（1，6）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．