等差数列、等比数列的题型分析

Fourshortwordssumupwhathasliftedmostsuccessfulindividualsabovethecrowd:alittlebitmore.------------------------------------------author------------------------------------------date等差数列、等比数列的题型分析等差数列、等比数列的题型分析等差数列、等比数列的题型分析----------------------------------------------------------------------------------------------------等差数列、等比数列的题型分析--------------------------------------------------等差等比数列的常见题型分析考点透视：高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题．题型一：等差、等比数列的基本概念与运算等差、等比数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的．解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a1和d的方程(组)；②巧妙运用等差、等比数列的性质．例1：(2011·江西)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝(　　)．A．18B．20C．22D．24解析　由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.故选B.题后反思：本小题主要考查等差数列的通项、性质、前n项和以及数列的通项和前n项和的关系，解题的突破口是由S10＝S11得出a11＝0.变式练习：1.(2011·天津)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为(　　)．A．－110B．－90C．90D．110解析　因为a7是a3与a9的等比中项，所以aeq\o\al(2,7)＝a3a9，又因为公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，通项公式为an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n.所以S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝5×(20＋2)＝110，故选D.2.设数列{an}满足：2an＝an＋1(an≠0)(n∈N*)，且前n项和为Sn，则eq\f(S4,a2)的值为(　　)A.eq\f(15,2)B.eq\f(15,4)C．4D．2解析：由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故eq\f(S4,a2)＝eq\f(\f(a11－24,1－2),a1×2)＝eq\f(15,2). 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：A3.已知两个等比数列，，满足，，，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.思路点拨：(1)根据条件表示出，结合是等比数列，求出其公比，进而得通项公式.（2）根据数列的唯一性，知q的一个值为0，得a的值.[审题视点](1)利用b1、b2、b3等比求解；(2)利用(1)问的解题思路，结合方程的相关知识可求解．解　(1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋eq\r(2)，q2＝2－eq\r(2)，所以{an}的通项公式为an＝(2＋eq\r(2))n－1或an＝(2－eq\r(2))n－1.(2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0.(*)由a>0得，Δ＝4a2＋4a>0，故方程(*)有两个不同的实根，由{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝eq\f(1,3).方法锦囊：关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识．4.设是公比为的等比数列，令，，若数列的连续四项在集合中，则等于()A．B．C．或D．或【知识点】递推公式的应用；等比数列的性质．解：{bn}有连续四项在{-53，-23，19，37，82}中且bn=an+1an=bn-1则{an}有连续四项在{-54，-24，18，36，81}中∵{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项∴等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，-24，36，-54，81相邻两项相除则可得，-24，36，-54，81是{an}中连续的四项，此时q=,同理可求q=∴q=或q=.故选B【思路点拨】根据bn=an+1可知an=bn-1，依据{bn}有连续四项在{-53，-23，19，37，82}中，则可推知则{an}有连续四项在{-54，-24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，可求{an}中连续的四项，求得q.5.在数1和2之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记为,令,N(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和，证明：【知识点】等比数列，裂项求和，放缩法解：设该递增的等比数列公比为，由题意而所以7分（2）14分【思路点拨】本题是一个求的典型例子，后面求的时候符合裂项求和的架构，最后放缩，很自然。题型二：等差、等比数列的基本性质的考查考点总结：从近几年的 考题 安全员b证考试题库金融学机考题库消防安全技术实务思考题答案朝花夕拾考题答案excel基本考题 看，数列性质必考，以选择填空为主，中低档，难度较大时一般出现在解答题中，但是注意做题时要活。例：[2014·石家庄质检一]已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2eq\r(2)，则2a7＋a11的最小值为(　　)A．16B．8C．2eq\r(2)D．4解析：由题意知a4＞0，a14＞0，a4·a14＝8，a7＞0，a11＞0，则2a7＋a11≥2eq\r(2a7·a11)＝2eq\r(2a4·a14)＝2eq\r(16)＝8，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a7·a11＝8，,2a7＝a11，))即a7＝2，a11＝4时取等号，故2a7＋a11的最小值为8，故选B.变式练习：1、等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　)A．10B．20C．40D．2＋log25解析：依题意得，a1＋a2＋a3＋…＋a10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝5(a5＋a6)＝20，因此有log2(2a1·2a2·…·2a10)＝a1＋a2＋a3＋…＋a10＝20.2、已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以eq\f(1,2)为首项的等比数列，则eq\f(m,n)＝(　　)A.eq\f(3,2)B.eq\f(3,2)或eq\f(2,3)C.eq\f(2,3)D．以上都不对解析：设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a0，当Sn取得最大值时，求n的值；(2)若a1＝－46，记bn＝eq\f(Sn－an,n)，求bn的最小值．解　(1)设{an}的公差为d，则由3a5＝5a8，得3(a1＋4d)＝5(a1＋7d)，∴d＝－eq\f(2,23)a1.∴Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,23)a1))＝－eq\f(1,23)a1n2＋eq\f(24,23)a1n＝－eq\f(1,23)a1(n－12)2＋eq\f(144,23)a1.∵a1>0，∴当n＝12时，Sn取得最大值．(2)由(1)及a1＝－46，得d＝－eq\f(2,23)×(－46)＝4，∴an＝－46＋(n－1)×4＝4n－50，Sn＝－46n＋eq\f(nn－1,2)×4＝2n2－48n.∴bn＝eq\f(Sn－an,n)＝eq\f(2n2－52n＋50,n)＝2n＋eq\f(50,n)－52≥2eq\r(2n×\f(50,n))－52＝－32，当且仅当2n＝eq\f(50,n)，即n＝5时，等号成立．故bn的最小值为－32.点评：(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用．(2)等差数列的性质①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差数列；③am－an＝(m－n)d⇔d＝eq\f(am－an,m－n)(m，n∈N*)；④eq\f(an,bn)＝eq\f(A2n－1,B2n－1)(A2n－1，B2n－1分别为{an}，{bn}的前2n－1项的和)．(3)数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f(n)是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn(A2＋B2≠0)．7.若数列满足＝(n∈N*，为常数)，则称数列为“调和数列”．已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是(　　)A．10B．100C．200D．400【知识点】等差数列的概念、等差数列的性质与基本不等式求最值解：因为正项数列为“调和数列”，则，即数列为等差数列，由等差数列的性质，则，所以，当且仅当即该数列为常数列时等号成立，所以选B.【思路点拨】根据所给的新定义可得到数列为等差数列，从所给的项的项数特征可发现等差数列的性质特征，利用等差数列的性质即可得到则，再由和为定值求积的最大值利用基本不等式解答即可.题型三：数列与的关系的考查考点总结：已知与的关系，有目标把该关系统一到同想和和上，求或，这是常见的递推关系。例：已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝eq\f(1,2).(1)求证：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是等差数列；(2)求an的表达式．[审题视点](1)化简所给式子，然后利用定义证明．(2)根据Sn与an之间关系求an.(1)证明　∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn－1)＝2(n≥2)．由等差数列的定义知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是以eq\f(1,S1)＝eq\f(1,a1)＝2为首项，以2为公差的等差数列．(2)解　由(1)知eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,S1)＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝eq\f(1,2n).当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－eq\f(1,2nn－1)，又∵a1＝eq\f(1,2)，不适合上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，n＝1，,－\f(1,2nn－1)，n≥2.))方法总结：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断．变式练习：1.已知是一个公差大于0的等差数列，且满足.(1)求数列的通项公式;（2）若数列和数列满足等式：，求数列的前项和.点拨：（1）等差数列中，已知两条件可以算出两个基本量,再进一步求通项及前项和，当然若能利用等差数列的性质来计算，问题就简单多了.（2）分组求和、倒序相加、错位相减、裂项相消等是常用的求和方法，这里利用（1）的结论以及的关系求的通项公式，根据通项公式求前项和.解：（1）解法1：设等差数列的公差为d，则依题设d>0，由.得①由得②由①得将其代入②得.即，，代入①得解法2：等差数列中，，公差，，（2）设，则有两式相减得，由（1）得，，即当时，，又当时，，于是==易错点：（1）由的关系及（1）的结论找不到的通项公式，使解题受阻；（2）在求的通项公式时，由得,把这个条件遗漏；（3）忽略当时，，直接写；（4）计算数列的前项和时随意添加项.提炼方法：（1）等差数列与等比数列只有一字之差，部分同学经常出现审题不仔细的现象；（2）等差中项与等比中项的性质混淆，概念模糊不清；（3）对等差数列与等比数列的性质及公式的变式不熟悉，往往要先计算等量，一旦计算量大一点，解题受阻.2.已知数列满足递推关系式(n∈N*)，且为等差数列，则的值是______．【知识点】等差数列的应用;数列递推式．解：若为等差数列，则，为常数，即，则-1-2=0，解得=-1，【思路点拨】根据数列的递推关系式，结合等差数列的定义即可得到结论．题型四：等差等比的综合应用考点总结：数列时一种特殊的函数，把数列与函数、不等式、解析几何等知识有机结合，是数列的一个发展方向，考查转化与化归的数学思想。例：（2008山东卷)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1.Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足=1（n≥2）.(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.解析：（1）由已知得，当n≥2时=1又，所以，即所以，又，所以数列｛｝是以1为首项，为公差的等差数列。所以，即当时，又因此（2）设表中从第三行起，每一行的公比为q且因为，所以表中第1行至第12行共含函数列中的前78项，故表中第13第3列中的数为因此，又，所以记表中第k(k≥3)行所有项和的和为S，则拓展提高：此题主要考察递推公式，构造新数列，以及求行列式的通项。变式练习：1、已知“三角数阵”每一列成等差数列，从第三行起每一行成等比数列，且公比为q,公比相等记第i行第j列个数为（1）求q，（2）求的表达式，（3）记第n行和为，…………………………求的前项和,解析:（1）设公比为,则又,,,,或(舍),则,（2）第一行的公差为,（3）设则则由以上两式得所以拓展提高:数阵题是一种新型题型,解题关键是抓住所给的各行格列所构成的数列的类型,再由特殊项推各行各列的前几项,进而求通项.2、等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,所以（2）当b=2时，,则相减,得=所以拓展提高:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.3、已知直线与圆交于不同点An、Bn,其中数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前n项和.解析：（1）圆心到直线的距离，（2）相减得4（2012·高考四川卷)设函数f(x)＝2x－cosx，{an}是公差为eq\f(π,8)的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a5)＝5π，则[f(a3)]2－a1a5＝(　　)A．0　　　　B.eq\f(1,16)π2C.eq\f(1,8)π2D.eq\f(13,16)π2(1)给出以等差数列前5项为自变量的函数值之和．(2)由等差数列性质和三角函数性质把f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)的结构用a3表达．(3)构造函数，通过函数的单调性确定a3的值．(4)将求解结果用a3表示、化简．eq\a\vs4\al(抓信息　寻思路)【解析】　f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)＝2(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)－(cosa1＋cosa2＋cosa3＋cosa4＋cosa5)＝10a3－[cos(a3－eq\f(π,4))＋cos(a3－eq\f(π,8))＋cosa3＋cos(a3＋eq\f(π,8))＋cos(a3＋eq\f(π,4))]＝10a3－(2coseq\f(π,4)＋2coseq\f(π,8)＋1)cosa3.构造函数g(x)＝10x－(2coseq\f(π,4)＋2coseq\f(π,8)＋1)cosx－5π，g′(x)＝10＋(2coseq\f(π,4)＋2coseq\f(π,8)＋1)sinx>0，函数g(x)在(－∞，＋∞)内单调递增，由g(eq\f(π,2))＝0，所以方程10x－(2coseq\f(π,4)＋2coseq\f(π,8)＋1)cosx－5π＝0有唯一解x＝eq\f(π,2)，所以a3＝eq\f(π,2).所以[f(a3)]2－a1a5＝[f(a3)]2－(a3－eq\f(π,4))(a3＋eq\f(π,4))＝[f(a3)]2－aeq\o\al(2,3)＋eq\f(π2,16)＝π2－(eq\f(π,2))2＋eq\f(π2,16)＝eq\f(13π2,16).5.已知正项等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得eq\r(aman)＝4a1，则eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值为(　　)A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,3)C.eq\f(9,4)D．不存在解：因a7＝a6＋2a5，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)．又eq\r(aman)＝eq\r(a\o\al(2,1)qm＋n－2)＝4a1，所以m＋n＝6.则eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))(m＋n)＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n,m)＋\f(4m,n)＋4))≥eq\f(3,2).当且仅当eq\f(n,m)＝eq\f(4m,n)，即n＝2m时，等号成立．此时m＝2，n＝4.题型五：与其它知识点交汇考点总结：创新题是以基本概念，基本性质为主，考查学生阅读 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 ，提取信息，建立数学模型，考查应用所学的知识分析解决问题的能力。例：根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为，．（1）求数列的通项公式；（2）写出，由此猜想出数列；的一个通项公式，并证明你的结论;（3）求．点拨：（1）程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视；（2）由循环体写出数列的递推公式，再由递推公式求出数列的通项公式是解决问题的关健；（3）掌握错位相减法求数列的前项和及数列求和的一般方法.解：（1）由框图，知数列中∴（2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80.由此，猜想证明：由框图，知数列{yn}中，，，∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列，（3）=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）]记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，①则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1②①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1=2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1=∴又1+3+…+（2n－1）=n2∴.易错点：（1）根据框图不能正确写出数列的递推公式，解题受阻，（2）对数列求和的方法及每种方法所适合的题型认识不清，盲目求和；（3）对指数运算不够熟悉，导致利用错位相减法计算出的结果不正确.变式练习：：1、为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图所示；由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项.(1)求数列和的通项公式；(2)求视力不小于5.0的学生人数；(3)设,求数列的通项公式.点拨（1）频率分布直方图是解决问题的关健；（2）已知前两项的频数，前4组的频数从左到右依次是等比数列的前四项，可求，后6组的频数从左到右依次是等差数列的前六项，，的前六项和可求，得，（3）求得、后，根据题设条件，按递推公式求通项公式方法求出.解：(1)由题意知因此数列是一个首项.公比为3的等比数列，所以，又=100—(1+3+9)，所以=87,解得因此数列是一个首项,公差为—5的等差数列,所以(2)求视力不小于5.0的学生人数为(3)由①可知，当时，②－②得，当时，,,又因此数列是一个从第2项开始的公比为3的等比数列,数列的通项公式为.