基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V中，如果有n个向量1,,n知足:(1)1,2,n线性无关。(2)V中任一向量总能够由1,2,,n线性表示。那么称V为n维（有限维）线性空间，n为V的维数，记为dimvn，并称1,2,,n为线性空间V的一组基。如果在V中能够找到随意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的。例1设VXAX0，A为数域P上mn矩阵，X为数域P上n维向量，求V的维数和一组基。解设矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组AX0的任一基础解系都是V的基，且V的维数为nr。例2数域P上全体形如0a的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所ab组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。解易证01,00为线性空间V0a｜a,bp的一组线性无关的向量1001ab组，且对V中任一元素0a有0aa01+b00abab1001按定义01,00为V的一组基，V的维数为2。1001方法二在已知线性空间的维数为n时，随意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。例3假设Rxn是一切次数小于n的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：1,x1,x12,L,x1n1组成Rxn的基。证明考察k11k2x1Lknx1n10由xn1的系数为0得kn0，并代入上式可得xn2的系数kn10依此类推便有knkn1Lk10，故1,x1,L,x1n1线性无关又Rxn的维数为n,于是1,x1,L,x1n1为Rxn的基。方法三利用定理：数域p上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。例4设A01，证明：由实数域上的矩阵A的全体实系数多项式fA组成10的空间Vf｜01与复数域C作为实数域R上的线性空间AA01V'abi｜a,bR同构，并非求它们的维数。证明V中任一多项式可记为fA=aEbA,a,bR，成立V'到V的如下映射:1a1bi1f1Aa1Eb1Aa1,b1R易证是V'到V上的单射，满射即一一映射。再设2a2b2i,a2,b2R,KR，则有故是V'到V的同构映射，所以V到V'同构此外，易证V'的一个基为1，i，故dimV'2方法四利用以下结论确定空间的基：设1,2,L,n与1,2,L,n是n维线性空间V中两组向量，已知1,2,L,n可由1,2,L,n线性表出：a11a12La1n令Aa21a22La2nan1an2Lann如果1,2,L,n为V的一组基，那么当且仅当A可逆时，1,2,L,n也是V的一组基。例5已知1,x,x2,x3是px4的一组基，证明1,1x,1x2,1x3也是px4的一组基。证明因为1111且A0123000120001所以1,1x,1x2,1x3也为px4的一组基。方法五如果空间V中一向量组与V中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。例6设Rx2表示次数不超过2的一确实系数一元多项式添上零多项式所组成的线性空间的一组基，证明x2x,x2x,x1为这空间的一组基。证明k1x2xk2x2xk3x10则k1k20k1k2k30k30解得k3k2k10于是x2x,x2x,x1线性无关，它们皆可由x2,x,1线性表示，因此x2x,x2x,x1与x2,x,1等价，进而Rx2中随意多项式皆可由x2x,x2x,x1线性表示，故x2x,x2x,x1为Rx2的基。方法六利用下面两个定理：定理一：矩实行行初等和列，不改矩列向量的性关系。定理二：任何一个mn矩A，能够通行初等和列它准梯矩：IrB，其中Ir表示r位矩。00依据两个定理，我能够很方便地求出V1IV2的一个基，进而确定了数。例7VL1,2,VL1,2是数域F上四性空的子空，且1211,2,1,0,21,1,1,1;12,1,0,1,21,1,3,7.求V1IV2的一个基与数。解若rV1IV2，存在x1,x2,y1,y2F，使rx11x22y11y22⋯⋯（1）即有x11x22y11y220⋯⋯（2）若1,2,1,2性无关，（2）当xx2y1y20成立那么V1IV2是零子空，因而没有基，此数0，V1V2是直和若存在不全零的数x1,x2,y1,y2使（2）成立，V1IV2有可能是非零子空若非零子空，由（1）便可获得基向量r。以1,2,1,2列向量作矩A，行初等将A化准梯形矩A。r1423125,2,3,4是V1IV2的一个基同知，1,2是V1的一个基，dimV121,2是V2的一个基，dimV221,2,1,2是V1V2的一个基，dimV1V2秩A=3方法七在性空V中任取一向量，将其表成性空V一性无关向量的性合的形式，必要的需明向量是性无关的。一性无关向量就是我要找的基。例8求V1L(1，2)与V2L(1，2)的交的基和数。设12(1,2,1,0)，(11,1,1)，12(2，1,0,1)(1，1,3,7)解任取V1IV2，则V1，x11x22，且V2，y11y22，x11x22y11y2（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它只是是在V1、V2中的表示，并非此题所求，即要在空间V1αV2中将线性表出）x11x22y11y20，求x1,x2,y1,y2解得(x1,x2,y1,y2)(k,4k,3k,k)故V1IV2是一维的，基是(5,2,3,4)易知(5,2,3,4)是非零向量，是线性无关的。方法八按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果V1,V2是有限维线性空间V的两个子空间，那么dimV1dimV2dimV1V2dimV1IV2例9已知13,1,2,1,20,1,0,211,0,1,3,22,3,1,6求由向量1,2生成的p4的子空间V1L1,2与向量1,2生成的子空间V2L1,2的交与和空间的维数的一组基。解因为V1V2L1,2,1,2，对以1,2,1,2为列的矩阵实行行初等变换：3012000011031103A011001B2112360003秩A秩B3，所以V1V2的维数是3且1,2,1,2为极大线性无关组，故它们是V1V2的一组基。又由1,2线性无关知V1的维数为2，同理V2的维数也为2，由维数公式知V1IV2的维数为2231。从矩阵B易知12122,故123,3,2,3是V1,V2公有的非零向量，所以它是交空间V1IV2的一组基。方法九由替换定理确定交空间的维数。替换定理：设向量组1,2,L,r线性无关，并且1,2,L,r可由向量组1,2,L,s线性表出，那么2必要时可适合对1,2,L,s中的向量从头编号，使得用1,2,L,r替换1,2,L,r后所获得的向量组1,2,L,r,r1,L,s与向量组1,2,L,s等价。特别，当rs时，向量组1,2,L,s与向量组1,2,L,s等价。例10已知向量组12,0,1,3,20,3,1,0,31,2,0,2,42,6,3,3,设它们是向量组1,2,3的线性组合，又设向量组r1,r2,L,rm与向量组1,2,3等价，试求r1,r2,L,rm生成的空间的交空间的基和维数。201304110701解031003100310120212021202263306200000显然1,2,3,4线性有关，1,2,3线性无关由替换定理知1,2,3与1,2,3等价，进而知r1,r2,L,rm与1,2,3等价于是Lr1,r2,L,rm维数为3，基为1,2,3;L1,2,4维数为2，基为1,2,因此，L1,2,4Lr1,r2,L,rm故L1,2,4与Lr1,r2,L,rm的交空间的基为1,2,维数为2