如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流【精品文档】第PAGE6页线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章行列式(一)要点1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n阶行列式的定义3、行列式的性质4、n阶行列式，元素的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理5、克莱姆法则（二）基本
要求
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1、理解n阶行列式的定义2、掌握n阶行列式的性质3、会用定义判定行列式中项的符号4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式，各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，利用展开式计算6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解个方程个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章矩阵（一）要点1、矩阵的概念矩阵是一个矩阵
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。当时，称为阶矩阵，此时由的元素按原来排列的形式构成的阶行列式，称为矩阵的行列式，记为.注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法（1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵与相乘，有,则称矩阵与可换。注：矩阵乘积不一定符合交换（2）方阵的幂：对于阶矩阵及自然数，
规定
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,其中为单位阵.(3)设多项式函数，为方阵，矩阵的多项式,其中为单位阵。（4）阶矩阵和，则.（5）阶矩阵，则4、分块矩阵及其运算5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵的伴随矩阵记为，矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的
标准
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形；矩阵可逆的又一充分必要条件：可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。7、矩阵的秩：矩阵的阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩8、矩阵的等价（二）要求1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵5、了解分块矩阵及其运算的方法（1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。（2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如，，将矩阵分块为，其中（）是矩阵的第列，则又如将阶矩阵分块为，其中（）是矩阵的第列.（3）设对角分块矩阵,均为方阵，可逆的充要条件是均可逆，，且6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵经过有限次初等变换得到矩阵,则称矩阵和矩阵等价，记为.矩阵和等价当且仅当,在等价意义下的标准型：若，则，，为阶单位矩阵。因此阶矩阵可逆的充要条件为。第三章线性方程组(一)要点1、n维向量；向量的线性运算及其有关运算律记所有维向量的集合为，中定义了维向量的线性运算，则称为维向量空间。2、向量间的线性关系（1）线性组合与线性表示；线性表示的判定（2）线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价，向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法（1）设有两个向量组向量组和可以相互表示，称向量组和等价。向量组的等价具有传递性。（2）一个向量组的极大无关组不是惟一的，但其所含向量的个数相同，那么这个相同的个数定义为向量组的秩。4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解（1）线性方程组的消元解法（2）线性方程组解的存在性和唯一性的判定（3）线性方程组解的结构（4）齐次线性方程的基础解系与全部解的求法（5）非齐次方程组解的求法（二）要求1、理解n维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法第四章矩阵的特征值与特征向量（一）要点1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件3、实对称矩阵的特征值和特征向量向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化（二）要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质2、掌握特征值与特征向量的求法3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。第五章二次型（一）要点1、二次型与对称矩阵：二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系2、二次型与对称矩阵的标准形配方法；初等变换法；正交变换法；
合同
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矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形3、二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定（二）要求1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法。2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义，会判定二次型的正定性。
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