2021-2022学年重庆外国语学校高一（上）月考数学试卷（9月份）一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.下列各组集合表示同一集合的是（）A.M={4,5}，N={5,4}B.M={(,xy)x+=y1}，N={yx+=y1}C.M={(3,2)}，N={(2,3)}D.M={1,2}，N={(1,2)}2.集合A={1,2,4}，B={xx2∈A}，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（）A.B.C.D.1413.已知集合A=xx|=(21n+∈),nZ，B=xx|=±∈n,nZ，则集合A，B999之间的关系是（）AAB⊆B.BA⊆C.=D.AB.AB4.设集合Ax={1<+
2C.a≤2D.a<245.已知x>3，则x+的最小值为（）x−3A2B.4C.5D.7.02≤≤x−≤11xy+≤6.“”是“”是成立的（）−≤20y≤13≤−≤xyA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则1197×××22．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到x=15此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）A里B.里C.里D..210410610810里xy+28.已知实数xy>>0，则xy+的最小值是（）yx2()−y1111A.6B.C.+22D.242+23二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将
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填写在答题卡相应位置.9.已知集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤3}，则集合{x|x≤-3或x≥1}=（）A.MN∩B.MN∪C.M(MN∩)D.M(MN∪)10.已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不正确的是（）A.若ab>，cd<，则acbd+<+B.若ab>，cd>，则ac>bdcdC.若bc−>ad0，−>0，则ab<0ababD.若ab>>0，cd>>0，则>dc11.下列命题中是真命题的是（）A.“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件30成立的一个必要不充分条件是x≤−或x≥2211D.“xy<<0”是“>”的充分条件xy12.对任意AB,⊆R，定义AB⊕={xxABxAB∈∪,∉∩}.例如，若AB={1,2,3},={2,3,4}，则AB⊕={1,4}，下列命题中为真命题的是（）A.若AB,⊆R且ABB⊕=，则A=∅B.若AB,⊆R且AB⊕=∅，则AB=C.若AB,⊆R且AB⊕⊆A，则AB⊆D.若AB,⊆R，则(RRA)⊕=B()AB⊕三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.13.已知全集U=R，集合A=∈{xN(x+1)(x−≤3)0},B={yy=x2+1}，则下列Venn图中阴影部分表示的集合为___________.14.已知集合A={xm(−1)x2+3x−=20}恰有两个非空真子集，则实数m的取值范围是___________.115.已知不等式ax2+bx+>c0的解集为{xx<或x>2}，则关于x的不等式2ax2−bx+≤c0的解集为___________.x316.已知xy>>0,0且xy+=2，则+的最小值是___________.yx+1四､解答题：本大题共6小题，共70分.其中，17题10分，18，19，20，21，22各12分.解答应写出文字说明､证明过程成演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.x+>4017.设集合U={xy=x+5}，Ax=，B={xx2−2x−≤30}.x−<20（1）求集合ABAB∪∩,；（2）求集合(UUAB)().18.已知集合Ax={2<b0.（1）若不等式的解集为{xx|<2或xb>}，求实数a的值；（2）若b=−1，解该不等式.21.求证：方程x2+kx+=20与x2+20xk+=有一个公共实数根的充要条件是k=−3.22.已知二次函数y=ax2++bxc(a>0)，对任意实数x，不等式1221x≤ax2+bx+≤c(x+)恒成立.2（1）求abc++的值；（2）若该二次函数有两个不同零点x1、x2.①求a的取值范围；②证明：xx12为定值2021-2022学年重庆外国语学校高一（上）月考数学试卷（9月份）一､单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.下列各组集合表示同一集合的是（）A.M={4,5}，N={5,4}B.M={(,xy)x+=y1}，N={yx+=y1}C.M={(3,2)}，N={(2,3)}D.M={1,2}，N={(1,2)}【答案】A【解析】【分析】根据集合相等的定义判断．【详解】A中两个集合中元素都是4和5，A是同一集合；B中集合M是点集，N是数集，不是同一集合；C中，由于(2,3)≠(3,2)，因此不是同一个集合；D中，M是数集，N是点集，不是同一集合．故选：A．2.集合A={1,2,4}，B={xx2∈A}，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】记U=AB∪，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可.【详解】因为A={1,2,4}，B={xx2∈A}，所以B=−−{2,2,−1,1,2,2}，记U=AB=−−{2,2,−1,1,2,2,4}，对于A选项，其表示AB(U)={4}，不满足；对于选项，其表示，不满足；BU(AB)=−−{2,2,−1,2,4}对于选项，其表示，满足；C(UAB)=−−{2,2,−1,2}对于D选项，其表示AB={1,2}，不满足；故选：C.1413.已知集合A=xx|=(21n+∈),nZ，B=xx|=±∈n,nZ，则集合A，B999之间的关系是（）A.AB⊆B.BA⊆C.AB=D.AB【答案】C【解析】【分析】先将给定的集合化简，然后作出判断.【详解】解：由集合A得：1A=xx|=(21n+∈),nZ，9由集合B得：41n±B=xx|=，n∈Z，9∵{xx|=+∈==±∈21n，nZ}{xx|41n，nZ}，∴AB=，故选：C.4.设集合Ax={1<+2C.a≤2D.a<2【答案】D【解析】【分析】首先化简集合A，然后根据集合的交运算以及已知条件即可求解.【详解】由题意易得，Ax={−<12x<}，∵B={xx≥a}，AB∩≠∅，由集合的交运算可知，∴a<2.故选：D.45.已知x>3，则x+的最小值为（）x−3A.2B.4C.5D.7【答案】D【解析】【分析】4先将原式变形为(x−+33)+，然后利用基本不等式求解出最小值即可.x−3444【详解】因为xx+=(−3)++≥32(x−3)⋅+=37，xx−−33x−32取等号时(x−=34)且x>3，此时x=5，所以最小值为7，故选：D.【点睛】本题考查利用配凑法并结合基本不等式求解最小值，难度较易.利用基本不等式求解最小值时，一定要注意“一正、二定、三相等”是否满足.02≤≤x−≤11xy+≤6.“”是“”是成立的（）−≤20y≤13≤−≤xyA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．02≤≤x【详解】时02≤−y≤，−≤22xy+≤，04≤−≤xy，不能得出−≤20y≤−≤11xy+≤，13≤−≤xy02≤≤x−≤11xy+≤实际上可举例：xy=0,=−2满足，但xy+=−2，不满足，−≤20y≤13≤−≤xy充分性不满足，−≤11xy+≤时，02≤≤x4，即02≤≤x，−31≤yx−≤−，因此−≤42y≤0，即13≤−≤xy−≤11xy+≤−≤20y≤，即一定成立，必要性满足．因此是必要不充分条件．13≤−≤xy故选：A．7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则1197×××22．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到x=15此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）A.210里B.410里C.610里D.810里【答案】D【解析】EF⋅GF【分析】根据题意得GA=，进而得EF⋅GF=⋅=×=EBGA42.510，再结合基EB本不等式求4(EF+GF)的最小值即可.【详解】因为1里=300步，则由图知EB=1200步=4里，GA=750步=2.5里．EF⋅GF由题意，得GA=，EB则EF⋅GF=⋅=×=EBGA42.510，所以该小城的周长为4(EF+GF)≥8EF⋅=GF810，当且仅当EF=GF=10时等号成立.故选:D．【点睛】本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边EF⋅GF长关系，即：GA=，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等EB式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.xy+28.已知实数xy>>0，则xy+的最小值是（）yx2()−y1111A.6B.C.+22D.242+23【答案】D【解析】【分析】用换元法，设x=+>ytt(0)，化简后用基本不等式得最小值．【详解】因为xy>>0，设x=yt+，则t>0，x++2y3yt31xy+=y()y++t=y2+yt++y2()x−yy22tyty1313=(y22+)++(yt)≥2y×+2yt×=+223．y22ytyyt132==当且仅当y2且yt即y=1，t=3，x=13+时等号成立，yyt故选：D．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应位置.9.已知集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤3}，则集合{x|x≤-3或x≥1}=（）A.MN∩B.MN∪C.M(MN∩)D.M(MN∪)【答案】C【解析】【分析】由题，先求出M∩N和M∪N，再求得∁M（M∩N)和∁M（M∪N)可得答案.【详解】因为集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤3}，所以M∩N={x|-3＜x＜1}，M∪N={x|x≤3}，则∁M（M∩N）={x|x≤-3或x≥1}，∁M（M∪N）={x|x＞3}，故选C．【点睛】本题考查了集合的交并补混合运算，属于基础题.10.已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不正确的是（）A.若ab>，cd<，则acbd+<+B.若ab>，cd>，则ac>bdcdC.若bc−>ad0，−>0，则ab<0ababD.若ab>>0，cd>>0，则>dc【答案】ABC【解析】【分析】利用举实例判断选项A和B，利用不等式的性质判断选项C和D即可.【详解】解：对于A，当ad==1，bc==0时，则acbd+=+，故A错误，对于B，当ac==1，bd==−2时，则ac0，bc−>ad0，则ab>0，故C错误，abab11abab对于D，若ab>>0，cd>>0，则>>0，∴>>0，∴>，故D正dcdcdc确.故选：ABC.11.下列命题中是真命题的是（）A.“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件30成立的一个必要不充分条件是x≤−或x≥2211D.“xy<<0”是“>”的充分条件xy【答案】ACD【解析】【分析】对于A、C、D,利用定义法即可判断；对于B：直接写出命题的否定即可判断.【详解】对于A：因为xx2>⇔11>或x<−1，所以由“x>1”可以推出“x2>1”，但是由“x2>1”不能推出“x>1”，所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件.故A正确；<对于B：由全称命题的否定可得：命题“∀⇔30x>3或x<−，所以由x≤−或x≥不能推出x>3或2221113x<−，但是由x>3或x<−，可以推出x≤−或x≥，故不等式2xx2−5−>30222213成立的一个必要不充分条件是x≤−或x≥.故C正确；221xy11对于D：因为xy<<0，所以xy>0，所以>0，所以<<0，即>.xyxyxyxy1111但是当>时，不妨取xy=1,=2，不满足xy<<0，即由>不能推出xy<<0，xyxy11所以“xy<<0”是“>”的充分条件，故D正确.xy故选：ACD.12.对任意AB,⊆R，定义AB⊕={xxABxAB∈∪,∉∩}.例如，若AB={1,2,3},={2,3,4}，则AB⊕={1,4}，下列命题中为真命题的是（）A.若AB,⊆R且ABB⊕=，则A=∅B.若AB,⊆R且AB⊕=∅，则AB=C.若AB,⊆R且AB⊕⊆A，则AB⊆D.若AB,⊆R，则(RRA)⊕=B()AB⊕【答案】ABD【解析】【分析】根据定义AB⊕={xxABxAB∈∪,∉∩}，得到AB⊕=(RRA)∩BA∩(B)，对四个选项一一验证.【详解】根据定义AB⊕=(RRA)∩BA∩(B).对于A：若ABB⊕=,则(RA)BB=,AB∩=∅(R),(RRA)∩=⇒⊆BBB(A),A∩(RBA)=∅⇒⊆B,∴A=∅,故A正确;对于B：若AB⊕=∅,则(RAB)=∅,AB∩=∅(R),ABA∩=⇒⊆AB,ABB∩=⇒⊆BA,∴AB=,故B正确;对于C：若AB⊕⊆A,则AB⊕⊆A,A∩(RBA)⊆,则BA⊆.故C错;对于D：左边(RA)⊕=B(AB)(RRAB),右边R()AB⊕=RR{(A)∩BA∩(RB)}=(AB)(RRAB)所以左=右.故D正确.故选：ABD.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.13.已知全集U=R，集合A=∈{xN(x+1)(x−≤3)0},B={yy=x2+1}，则下列Venn图中阴影部分表示的集合为___________.【答案】{0}【解析】【分析】先求出集合A、B，再求(UBA)∩即可.【详解】集合A=∈{xN(x+−≤=1)(x3)0}{0，1，2，3},B={yy=+=x21}{yy≥1}.Venn图中阴影部分表示的集合为(UBA)∩，所以(UB)A=<={yy|1}{0,1,2,3}{0}.故答案为：{0}14.已知集合A={xm(−1)x2+3x−=20}恰有两个非空真子集，则实数m的取值范围是___________.1【答案】{|mm>−且m≠1}8【解析】【分析】根据真子集个数确定集合中元素个数，再由方程的解的个数得参数范围．【详解】集合A恰有两个非空真子集，则其有两个元素，m−≠101所以，所以m>−且m≠1．9+8(m−>1)081故答案为：{|mm>−且m≠1}．8115.已知不等式ax2+bx+>c0的解集为{xx<或x>2}，则关于x的不等式2ax2−bx+≤c0的解集为___________.1【答案】−−2，2【解析】【分析】根据不等式的解集求得参数的关系，再代入后解不等式．b1−=+2a2c15【详解】由题意=×2，所以c==−>ab,aa,0，a22a>0551不等式ax2−bx+≤c0为ax2+ax+≤a0，所以xx2++≤10，(xx+)(+≤2)0，2221−2≤x≤−，21故答案为：[−−2,]．2x316.已知xy>>0,0且xy+=2，则+的最小值是___________.yx+1【答案】3【解析】【分析】构造基本不等式求出最小值.xy+1【详解】因为xy>>0,0且xy+=2，所以>>0,0yx+1x3xxy++11xy+xy+1所以+=+=++=12×+=13，y++11xyxy+1xy+1xxy+131当且仅当=，即xy=,=时取等号.yx+122x3所以+的最小值是3.yx+1故答案为：3.四､解答题：本大题共6小题，共70分.其中，17题10分，18，19，20，21，22各12分.解答应写出文字说明､证明过程成演算步骤.请将答案填写在答题卡相应的位置上.x+>4017.设集合U={xy=x+5}，Ax=，B={xx2−2x−≤30}.x−<20（1）求集合ABAB∪∩,；（2）求集合(UUAB)().【答案】（1）AB={x|−<4x≤3}，AB={x|−≤1x<2}；（2）(UUA)(Bx)={|5−≤x<−1或x≥2}．【解析】【分析】求定义确定全集，解不等式（组）确定集合AB,．（1）由交集、并集定义计算；（2）由补集和并集定义计算．【详解】由题意U={xx|≥−5}，Ax={|−<4x<2}，Bx={|−≤1x≤3}，（1）AB={x|−<4x≤3}，AB={x|−≤1x<2}，（2）UAx={|5−≤x≤−4或x≥2}，UBx={|5−≤x<−1或x>3}，所以(UUA)(Bx)={|5−≤x<−1或x≥2}．18.已知集合Ax={2<b0.（1）若不等式的解集为{xx|<2或xb>}，求实数a的值；（2）若b=−1，解该不等式.1【答案】（1）a=；（2）答案见解析.2【解析】【分析】（1）由不等式的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a的值；（2）b=−1时不等式为ax2−(a−1)x−>10，讨论a的取值情况，即可求出不等式的解集.【详解】解：（1）关于x不等式ax2−(a+b)x+>b0的解集为{xx|<2或xb>}，2所以2和b是方程ax−(a+b)x+=b0的实数根，ab+2+=ba1由根与系数的关系知，解得a=；b22×=ba（2）若b=−1，则不等式为ax2−(a−1)x−>10，即(ax+1)(x−>10)，当a=0时，不等式为x−>10，解得x>1；111当a>0时，不等式化为xx+(−>10)，且−<1，解不等式得x<−或x>1；aaa1当a<0时，不等式化为xx+<(﹣10)，a12若a=−1，则−=1，不等式为(x−<10)，此时无解；a11若−<10a<，则−>1，解不等式得1}；1a>0时，不等式的解集为{|xx<−或x>1}；aa=−1时，不等式的解集为∅；1−<10a<时，不等式的解集为xx|1<<−；a1a<−1时，不等式的解集为xx|1−<<.a21.求证：方程x2+kx+=20与x2+20xk+=有一个公共实数根的充要条件是k=−3.【答案】证明见解析.【解析】【分析】分充分性和必要性证明，先由两方程有一个公共实数根求出参数的取值，证出必要性，再证明充分性即可．22【详解】必要性：若方程x+kx+=20与x+20xk+=有一个公共实数根，设为x0，x2+kx+=20则002x00+20xk+=两式相减得：(k−=−2)xk02∴=k2或x0=1若k=2，两个方程均为xx2+2+2=0,∆<0无解，故x0=1，代入可得k=−3.22，充分性：当k=−3时，x+kx+=2x−3x+=20，解得xx12=12=；22，xxkxx++=+−=2230，解得xx12=13=−；两个方程有公共根为1.综上所述，方程x2+kx+=20与x2+20xk+=有一个公共实数根的充要条件是k=−3.22.已知二次函数y=ax2++bxc(a>0)，对任意实数x，不等式1221x≤ax2+bx+≤c(x+)恒成立.2（1）求abc++的值；（2）若该二次函数有两个不同零点x1、x2.①求a的取值范围；②证明：xx12为定值.1【答案】（1）2；（2）①0<)，可知ax2+(b−2)x+≥c0(a>0)，由∆≤0可以判定a,c之间的关系，进而根据函数有两个零点，通过∆>0即可解出a的范围；②由根与系数的关系即可证明.11【详解】（1）因为∀∈xR，满足2x≤ax22+bx+≤c(x+1)，令2xx=(+1)2⇒=x1，22令x=1，得22≤++≤abc，故abc++=2；1（2）①因为2x≤ax22+bx+≤c(x+1)(a>0)，所以ax2+(b−2)x+≥c0(a>0)恒2222成立，由（1）b=−+2(ac)，所以∆=−−(b24)ac=+−(ac)4ac=−≤(ac)0，所以a=cb,=22−a.21因为函数有两个不同的零点，所以∆=b22−4ac=(22−a)−4a>0⇒a<，因为2a>0，1所以0<
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