第02讲复数一、单选
题
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1．（2021·全国高一课时
练习
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）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix=cosxx+isin，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，2019有下列四个结论：①iπ；②13；③iixx−；④iixx−其中e+=10+=−i12cosx=e+e2sinx=e−e.22所有正确结论的编号是（）A．①②③B．②④C．①②D．①③【
答案
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】A【分析】根据题设中的公式和复数运算法则逐项计算后可得正确的选项.【详解】因为eiπ=+=−cosππisin1，故eiπ+=10，故①正确.eeixx=cosxix+sin,-i=cos(−+xi)sin(−=x)cosxix−sin，所以eiixx+=e−2cosx，eiixx−=e−2ixsin，故③正确，④错误.20192019π201913ππi而3673πi+=+icosisin===+=−eecos673ππisin6731.2233故②正确，故选：A．【点睛】本题考查新定义下复数的计算，考查了复数的三角形式及其运算，本题的关键是理解定义中给出的计算方法．2．（2021·江苏高一单元测试）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】由已知可得e2i=cos2+isin2，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，e2i=cos2+isin2，π<<2π，∴
0，2则e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（2020·全国高三专题练习（理））欧拉公式eix=cosxi+sinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占πiz有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，设复数4，根据欧拉公式可知，=（）z=e1−i2A．−iB．2i22C．iD．i2【答案】C【分析】πiππz由欧拉公式知e4=cos+isin，化简，代入计算即可.441−i【详解】πiππ22因为z==+=+e4cosisini，4422z21i+2则=×=i，1i−−21i2故选：C．【点睛】本题主要考查了复数的运算，属于中档题.4．（2019·凌源市第二高级中学高二期末）欧拉公式eix=cosxi+sinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论π里占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，根据欧拉公式可知，i表示的复数的虚部为“”e31133A．B．iC．D．i2222【答案】C【分析】πiππ先由题意得到ei3=cos+sin，进而可求出结果.33【详解】πiππ133由题意可得：ei3=+=+cossini，所以虚部为.33222故选C【点睛】本题主要考查复数的应用，熟记复数的概念即可，属于常考题型.5．（2019·河南高三月考（理））欧拉公式eix=cosxi+sinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重ππ要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，设复数zi=cos+sin，则z3等于（）33131313A．−iB．−1C．−−iD．−+i222222【答案】B【分析】π根据欧拉公式得到i，再计算3即可ze=3z.【详解】πππi由题意得z=+=cosiesin3，33πize33=(3)=eπi=cosππ＋isin=−1.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，同时复数的概念，属于简单题.6．（2017·重庆一中（文））欧拉（LeonhardEuler，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式eix=cosxi+sinx（i为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，2π表示的复数i在复平面内位于e3A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【详解】2πi2π2π1313e3=cos+isin=−+i,表示点(,)−,位于第二象限,选B.3322227．（2020·浙江绍兴市·高三三模）欧拉公式eix=cosxi+sinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， ei表示的复数在复平面中位于第________象限（）A．一B．二C．三D．四【答案】A【分析】首先根据题意得到ei=cos1+isin1，从而得到对应的点为(cos1,sin1)，再判断象限即可.【详解】由题知：ei=cos1+isin1，在复平面对应的点为(cos1,sin1)，因为cos1>0，sin1>0，所以ei表示的复数在复平面中位于第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的几何意义，同时考查任意角的三角函数，属于简单题.8．（2021·安徽黄山市·高三一模（理））欧拉公式eix=cosxi+sinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】利用欧拉公式eix=cosxi+sinx，化简e3i的表达式，通过三角函数的符号，判断复数的对应点所在象限即可．【详解】因为欧拉公式eix=cosx+isinxi(为虚数单位），π所以ei3i=cos3+sin3，因为3(∈，π)，cos3<0，sin3>0，2所以e3i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查欧拉公式的应用，三角函数的符号的判断，考查是基本知识，属于基础题．9．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高二期末）任何一个复数z=ab+i（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成zr=(cosθθ+isin)（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数nn学家棣莫弗发现：r(cosθθ+=isin)rn(cosθ+∈isinnθ)(nZ)，我们称这个结论为棣莫弗定理.由nππ棣莫弗定理可知，“n为偶数”是“复数cos+∈isin(nZ)为实数”的（）22A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】nπ根据题意得到sin=0，故nk=2，kZ∈，即可判断.2【详解】nππnnππ由cos++iisin=cossin为实数，2222nπ得sin=0，2nπ故=kπ，kZ∈，2即nk=2，kZ∈，nππ故n为偶数是“复数cos+∈isin(nZ)为实数”的充要条件.22故选：C.10．（2020·山东高三专题练习）任何一个复数z=a+bi（其中ab,∈R，i为虚数单位）都可以表示成zr=(cosθθ+isin)（其中r≥0，θ∈R）的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发nn现：[r(cosθθ+=isin]rcosnθ+isinnθ,(nN∈+)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可mππ知，“n为偶数”是“复数cos+isin为纯虚数的是（）44A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】mπmπ根据题意得到cos=0且sin≠0，故mk=24+，kZ∈，得到答案.44【详解】mππmmππmπmπcos++iisin=cossin为纯虚数，故cos=0且sin≠0，444444故mk=24+，kZ∈，故n为偶数是mk=24+，kZ∈的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了复数的计算，充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.11．（2020·陕西省洛南中学高三其他模拟（理））欧拉，瑞士数学家，18世纪数学界最杰出的人物之一，是有史以来最多遗产的数学家，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出了欧拉公式：2πeiθ=cosθθ+isin．被后人称为“最引人注目的数学公式”．若θ=，则复数z=eiθ对应复平面内的点3所在的象限为A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【详解】2πi22ππ22ππ解：由题意可知：ei3=cos+sin，其中cos0,sin0，33332π即若θ=，则复数ze=iθ对应复平面内的点所在的象限为第二象限.3本题选择B选项.12．（2020·长沙市·湖南师大附中高三月考）据记载，欧拉公式eix=+∈cosxisinxx(R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x=π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+=10，将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0）π联系到了一起，有些数学家评价它是最完美的数学公式根据欧拉公式，若复数i的共轭复数为，“”z=e4z则z=（）22222222A．−−iB．−+iC．+iD．−i22222222【答案】D【分析】πiππ复数zi=e4=cos+sin，进而得出共轭复数为z.44【详解】πiππ22因为复数z==+=+e4cosisini，442222所以zi=−，22故选：D【点睛】本题主要考查了欧拉公式，共轭复数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.13．（2020·云南昆明一中高三月考（理））欧拉公式eix=cosxx+isin(其中i为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，当x=π时，eπi+=10，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公πiz式”.根据欧拉公式，若将3所表示的复数记为z，则=ei13133131A．+iB．−iC．−iD．+i22222222【答案】C【分析】πiππz根据欧拉公式可得z=e3=cos+isin，进而可求出.33i【详解】πiππ13z3131依题意，z==+=+e3cosisini，则=+=−i.3322i22i22故选：C.【点睛】本题考查新定义，考查复数的除法运算，属于基础题.14．（2020·上海闵行区·闵行中学高二期中）据记载，欧拉公式eiiθ=cosθθ+⋅sin（θ∈R）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”，特别是当θπ=时，得到一令人着迷的优美恒等式eiπ=−1，将数学中五个重要的数（自然数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0）联π系到一起，很多数学家评价它是最完美的数学公式，根据欧拉公式，在复平面内，若复数i对应的“”ze=2π点为z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（）OZ613311331A．−+iB．−+iC．−−iD．−−i22222222【答案】A【分析】根据题意：zi，根据图像得到旋转得到答案.【详解】πiππ根据题意：ze=2=cos+sin⋅=ii，22π13向量OZ绕原点O按逆时针方向旋转得到的复数zi=−+.6122故选：A.【点睛】本题考查了求复数，意在考查学生的计算能力和理解能力，应用能力.15．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（文））欧拉是科学史上一位最多产的杰出数学家，为数学界作出了巨大贡献，其中就有欧拉公式：eix=cosxi+sinx（i为虚数单位）.它建立了三角函数和指数函数间接π3i关系，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，则复数ze=+24的模为（）iA．3B．5C．22D．2【答案】B【分析】ππi223i由题意可得ei4=+，代入ze=+24并对其化简，再代入模长计算公式即可.22i【详解】πi22因为ei4=+，22π3i所以z=+2e4=−++=−3ii112i，i从而z=5.故选：B【点睛】本题考查了复数的运算及复数的模的求法，属于容易题.16．（2020·四川省武胜烈面中学校高三月考（文））欧拉公式eix=cosx+isinxi(）为虚数单位是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.ππii根据欧拉公式可知，ee63+表示的复数的模为()+−+−A．31B．31C．62D．622222【答案】C【分析】ππii6331直接由题意可得ee+=+(1+i)，再由复数模的计算公式得答案．22【详解】ππiiππππ由题意，ee63=cos+isin,=cos+isin，6633ππii63311331∴ee+=+i++i=+(1+i)22222222ππ+∴ii表示的复数的模为313162．ee63++++=22222故选C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．17．（2021·江苏高二单元测试）欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数cosθ和sinθ联系在一起，得到公式eiiθ=cosθθ+sin，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该πi公式，可得e12+=（）A．1B．2C．2D．5【答案】B【分析】ππi根据公式iθ，可求出i，进而可知2+=+，求解即可ei=cosθθ+sinei2=e11i.【详解】ππiππie2=+=cosisini，所以e12+=+=1i2.22故选：B.【点睛】本题考查新定义，考查复数的模，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18．（2020·全国高三专题练习）欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式：eiiθ=cosθθ+sin，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函π12−ii数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，复数ze=+24在复平面内对1+i应的点位于（）A．第一象限B．第二条限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】首先将欧拉公式代入，直接根据复数的运算化简得到答案.【详解】π12−ii因为ze=+24，所以1+i12−iππ(12−−ii)(1)−−1311z=+2(cos+=isin)+(11+i)=+ii++=−i1+i44(1+−ii)(1)2222所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查的是复数的运算，属于比较常见的简单题型.19．（2019·内蒙古呼和浩特市·高考模拟（文））瑞士著名数学家欧拉发现公式eix=cosxi+sinx（i为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当x=π时，eiπ+=10被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，ei表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】【分析】令x=1，则eii=cos1+sin1，又由sin10,cos10>>，根据复数的表示，即可得到答案.【详解】由题意，根据公式eix=cosxi+sinx（i为虚数单位），令x=1，则eii=cos1+sin1，又由sin10,cos10>>，所以复数eii=cos1+sin1表示的点位于第一象限，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及三角函数的符号的应用，其中解答中合理赋值，根据复数的几何意义及复数的表示求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、多选题20．（2021·全国高一课时练习）任何一个复数z=a+bi（其中a、bR∈，i为虚数单位）都可以表示成：zr=(cosθθ+isin)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：nnn，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，z=ri(cosθθ+sin)=r(cosθθ+insinn)(nN∈+)下列说法正确的是（）2A．zz2=πB．当r=1，θ=时，z3=13π13C．当r=1，θ=时，zi=−322πD．当r=1，θ=时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数4【答案】AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数z，可判断C选项的正误；计算出z4，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，zr=(cosθθ+isin)，则zr22=(cos2θθ+isin2)，可得zr22=(cos2θθ+=isin2)r2，22zr=+=(cosθθisin)r2，A选项正确；π3对于B选项，当r=1，θ=时，zi3=+(cosθθsin)=+cos3θisin3θπ=+=−cosisinπ1，B选3项错误；πππ1313对于C选项，当r=1，θ=时，zi=+=+cossini，则zi=−，C选项正确；3332222nnnππ对于D选项，zn=+=+=+(cosθθisin)cosninθsinθcosisin，44取n=4，则n为偶数，则zi4=+=−cosππsin1不是纯虚数，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.三、双空题21．（2021·浙江高一单元测试）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix=cosxi+sinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，3则iπ；13e+=1________+=i________.22【答案】0−1【分析】π13i根据复指数函数和三角函数的关系可计算得出eiπ+1的值，由已知条件得出+=ie3，利用指数的运223算性质以及复指数函数和三角函数的关系可求得13的值+i.22【详解】π13ππieiiπ+=1cosππ+sin1+=−+=110，+=icos+iesin=3，22333π313i因此，3πi+ie===+=−ecosππisin1.22故答案为：0；−1.22．（2019·浙江高三月考）欧拉公式eix=cosxi+sinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被2019誉为数学中的天桥根据欧拉公式可知，若复数πi，则的实部为，2“”.ze=4z______z=______.2【答案】−−i2【分析】2019ππ2019根据欧拉公式可得zi=cos+sin，化简求值即可．44【详解】2019复数πi，ze=42019ππ2019∴由欧拉公式，有zi=cos+sin,443ππ322=cos+iisin=−+，∴=−zi2，44222故答案为：−；−i．2【点睛】本题考查欧拉公式和复数的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意诱导公式的运用.23．（2020·全国高三专题练习）欧拉公式eix=cosxi+sinx(i为虚数单位)是有瑞士著名数学家欧拉发现的,它将函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学2019πiz中的天桥”.根据欧拉公式可知,对4表示的复数z,则z等于_________;等于_________.e1+i2【答案】1i2【分析】2019πi2019201922由欧拉公式eix=cosxi+sinx,可得ei4=+−cosππsin=+i,结合三角函数的值4422和复数的除法运算可得答案．【详解】2019πi2019201922由欧拉公式eix=cosxi+sinx,可得ei4=+−cosππsin=+i,4422222222−+ii(1−)所以z=−+=1，z222，22==i1+i(11+−ii)()22故答案为：1；i.2【点睛】本题考查复数的模的计算和复数的除法运算，属于中档题．四、填空题24．（2019·全国（文））欧拉公式eix=cosxi+sinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地πiz位，被誉为“数学中的天桥”，设复数4，根据欧拉公式可知，=________________．z=e1i−2【答案】i2【解析】【分析】由eix=cosxi+sinx求出z，再由复数的除法运算，即可求出结果.【详解】πiππ2因为eix=cosxi+sinx，所以ze==+=+4cosisin(1i)，44222(1+ii)(1++)(1i)因此z2.=22==i1−i1−i(11−+ii)()22故答案为i2【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.25．（2020·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（文））欧拉公式eix=cosxi+sinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变2017函数论里非常重要，被誉为数学中的天桥，根据欧拉公式可知，对πi表示的复数z，则=“”e4z______.【答案】1.【分析】利用题中所给的欧拉公式，结合复数模的定义、特殊角的三角函数值直接求解即可.【详解】2017πi20172017ππ22e4=cosππ+isin=cos+isin=+iz⇒=1.444422故答案为：1【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了特殊角的三角函数值，考查了复数模的计算，考查了数学运算能力.26．（2019·江苏（文））欧拉公式exi=cosxi+sinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e−3i表示的复数在复平面中位于第_______象限.【答案】三【解析】【分析】e-3i＝cos3-isin3，由三角函数值的符号及其复数的几何意义即可得出．【详解】由题e-3i＝cos3-isin3，又cos3<0,sin3>0,故e−3i表示的复数在复平面中位于第三象限.故答案为三【点睛】本题考查了欧拉公式、三角函数求值及其复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．27．（2020·梅河口市第五中学高三其他模拟（文））欧拉公式eix=cosxi+sinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e4i表示的复数在复平面中位于第______象限.【答案】三【分析】由欧拉公式可得ei4i=cos4+sin4，则e4i表示的复数在复平面中对应的点为(cos4,sin4).判断点(cos4,sin4)所在的象限，即得答案.【详解】由欧拉公式可得ei4i=cos4+sin4，则e4i表示的复数在复平面中对应的点为(cos4,sin4).3π∴<<π4,∴cos4<0,sin4<∴0,点(cos4,sin4)在第三象限，2即e4i表示的复数在复平面中位于第三象限.故答案为：三.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.28．（2021·全国高三专题练习（理）（文））在复变函数中，自变量z可以写成z=×+r(cosθθisin)=×reiθ，其中rz=||，θ是z的辐角．点(xy,)绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点A(2,3)绕原点逆3时针旋转arcsin得A′_______；复变函数ω=lnzz(∈≠Cz,0)，ωπ=i，z=_______．5118【答案】(−,)−155【分析】213313点A对应的复数zi=13(cosαα+sin)，其中cosαα=,sin=，则A′对应的复数131334zi′=13[cos(αβ++)sin(αβ+)]，其中sinββ=,cos=，利用两角和差公式求得A′的坐标；由55ω=lnzz(∈≠Cz,0)，ωπ=i，则ze=iπ=cosππ+isin，化简可得z.【详解】213313点A对应的复数zi=13(cosαα+sin)，其中cosαα=,sin=，131334则A′对应的复数zi′=13[cos(αβ++)sin(αβ+)]，其中sinββ=,cos=，5513则cos(αβ+=)cosαcosβ−sinαsinβ=−，651813sin(αβ+=)sinαcosβ+cosαsinβ=，65131813118118则z′=13(−+ii)=−+，故A′的坐标为(−,)；65655555由ω=lnzz(∈≠Cz,0)，ωπ=i，则ze=iπ=cosππ+isin，得z=−1.118故答案为：(−,)；−155【点睛】本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题.29．（2021·全国高一课时练习）一般的，复数都可以表示为zr=(cosθθ+isin)的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也zr11=(cosθθ1+isin1)zr22=(cosθθ2+isin2)z1212z=rrcos(θθ12++)isin(θθ12+)ππππ称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：10cos+×iisin2cos+=sin______.（结果表2244示为a+bi，ab,∈R的形式）【答案】−+1010i【分析】根据棣莫弗定理计算即可．【详解】ππππ10cos+×iisin2cos+=sin2244ππππ33ππ(10×2)cos++iisin+=20cos+sin24244422=20×−+ii=−10+10．22故答案为：−+1010i．【点睛】本题考查新定义，理解新定义是解题关键．30．（2020·陕西渭南市·高三月考（理））欧拉公式eix=cosxi+sinx（其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，当x=π时，eπi+=10，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造π的公式”，根据欧拉公式，若将i所表示的复数记为，那么||z=__.e3z【答案】1.【分析】πiππ13由已知可得ei3=+=+cossini，再由复数模的计算公式求解.3322【详解】πiππ13解：由题意，ei3=+=+cossini，332213∴=z()22+()=1.22故答案为：1.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.31．（2019·全国高三专题练习（文））国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含着许多数学元素．主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，n1+i则=____（其中i为虚数单位）．2【答案】−1【分析】由题意将八进制数3744换算成十进制的数是2020，再利用复数的运算法则及虚数单位i的周期性计算20201+i即可.2【详解】由题意将八进制数3744换算成十进制的数得：4×80123+×48+×78+×38=2020，2020211++ii101010102∴=[]=(ii)=()=−1，22故答案为-1.【点睛】本题考查了进位制的换算，考查了复数的运算法则，属于基础题.五、解答题32．（2020·南京市秦淮中学高二期末）莱昂哈德·欧拉(LeonhardEuler,1707.4.151783.9.18)，瑞士数学家、自然科学家.13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位，他是数学史上最多产的数学家.其中之一就是他发现并证明欧拉公式eiiθ=cosθθ+sin，从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+=10，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来：两个超越数：自然对数的底数e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”请你根据欧拉公式：eiiθ=cosθθ+sin，解决以下问题：π（）试将复数i写成（a、，是虚数单位）的形式；1e3a+bibR∈iπi1（2）试求复数e3+的模.2137【答案】（1）+i；（2）.222【分析】π（）根据欧拉公式可将复数i表示为一般形式；1e3πi1（2）根据欧拉公式将复数e3+表示为一般形式，利用复数的模长公式可求得该复数的模.2【详解】πiππ13（1）根据欧拉公式可得ei3=+=+cossini；33222ππi11313i137（2）由题意可知3，因此，32.e+=+ii+=+1e+=1+=22222222【点睛】本题考查复数的三角表示，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于基础题.
浙公网安备 33021202002483