初中数学二次函数知识点
总结
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二次函数的图象与性质
二次函数 开口方向 对称轴 顶点 增减性 最大(小)值
y = ax2 a>0时，开口向上;a<0抛时，开口向下。
x=0 (0，0) 当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大;
当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小。 当a>0时，当x=0时，=0;
当a<0时，当x=0时，=0;
y = ax2+c x=0 (0，c) 当a>0时，当x=0时，=c;
=c; 当a<0时，当x=0时，
y = a(x-h)2 x=h (h，0) 当a>0时，当x=h时，y最小=0; 当a<0时，当x=h时，y最大=0;
y = a(x-h)2 +k x=h (h，k) 当a>0时，当x=h时，y最小=k; 当a<0时，当x=h时，y最大=k;
y = ax2+bx+c x= (，) 当a>0时，当x=h时，y最小=k;
当a<0时，当x=h时，y最大=k;
其中h=，k=
?二次函数y = ax2 、y = ax2+c、y = a(x-h)2 以及y = a(x-h)2 +k的形状相同，只是位置不同，相互之间可以通过平移得到，一般式y = ax2+bx+c可以通过配方化成y = a(x-h)2 +k的形式。
3.二次函数的解析式
二次函数解析式常见有三种形式:
?一般式:y = ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a?0)
?顶点式:y = a(x-h)2 +k(a、h、k是常数，且a?0)
?交点式:y=a(x-x1)( x-x2)(a、x1、x2是常数，且a?0，x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)。
?抛物线y = ax2 的开口大小由?a?决定:?a?越大，开口越小;?a?越小，开口越大。
一般式
y=ax+bx+c(a?0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b?/4a) ; 顶点式
y=a(x-h)?;+k(a?0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax?;的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;
交点式
y=a(x-x1)(x-x2) (a?0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线,即b2-4ac?0] ; 由一般式变为交点式的步骤: ?X1+x2=-b/a x1?x2=c/a ?y=ax?;+bx+c=a(x?;+b/ax+c/a)
=a[,x?;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)
重要概念:a，b，c为常数，a?0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上;a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0) a,b同号，对称轴在y轴左侧 b=0,对称轴是y轴 a,b异号，对称轴在y轴右侧
顶点
2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。 h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a 开口
3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号 当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为同左异右，即当a与b同
(即ab< 0 )，对号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时
称轴在y轴右。 事实上，b有其自身的几何意义:二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的 斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定二次函数图像与y轴交点的因素
5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。 二次函数图像与y轴交于(0,C) 注意:顶点坐标为(h,k) 与y轴交于(0,C)
二次函数图像与x轴交点个数
6.二次函数图像与x轴交点个数 a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。 k=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。 a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点 _______ 当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在x
h范围内是增函数(即y随x的变大而变小)，二次函数图像的开口向 上，函数的值域是y>k 当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x>h范围内事增函数，在 x0，则抛物线开口朝上;a<0，则抛物线开口朝下; ?极值点:(-b/2a，(4ac-b?;)/4a); ?Δ=b2-4ac, Δ>0，图象与x轴交于两点: ([-b-?Δ]/2a，0)和([-b+?Δ]/2a，0); Δ=0，图象与x轴交于一点: (-b/2a，0); Δ<0，图象与x轴无交点; ?y=a(x-h)2+k[顶点式] 此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b?)/4a; ?y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a?0) 对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X?(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0
且X?(X1+X2)/2时Y随X 的增大而减小 此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连 用)。 交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
两图像对称
?y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称; ?y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称; ?y=ax2+bx+c与y=-a(x-h,2+k关于顶点对称; ?y=ax2+bx+c与y=-a(x+h,2-k关于原点对称。
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