极小曲面

极小曲面 设 是有界开区域， 边界为 。 函数 在 上有定义。 设 ， 则曲面 的面积为 。 设 ， 考虑泛函 在 上的极小值是否存在的问题。    几何意义，以空间封闭曲线 为边界的曲面中，寻找其面积最小者。 这里 。 这样的问题称为极小曲面问题。 假若泛函 在 处达到最小值，我们考查其必要条件。 记 ， 显然，若 在 处达到最小值， 则对任意 ， 在 处达到最小值， 所以 ， 而 ， ， 于是有 ， ， 利用格林公式，得 ， 从而， 满足 ， 对任意 。 由 的任意性，可知 ， ， 这就是    在 处达到最小值的必要条件。 由于 ， 所以  ， 或 。 下面，我们试图寻找一特殊的极小曲面。 设在 平面上有一条显式曲线 。 如果固定 轴不动，让 平面绕着 轴旋转 ，那么这一条曲线就扫出一张旋转曲面，这个旋转曲面 的方程为 。 。 我们寻找旋转的极小曲面。 。 计算偏导数 ， ， ， ， 将以上偏导数，代入计算，得， ， 于是 ， 令 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故 ， 再由 ， ， 得 。 因此曲面是由悬链线 旋转而成，称为悬链面。 在形状上它很像压扁了的单叶双曲旋转面。 故 旋转的极小曲面是悬链面。 历史资料 极小曲面 面积在法向变分下达到临界值的曲面，也即平均曲率（见曲面）为零的曲面。 目录 简介 研究 同名图 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 1. 图书信息 2. 内容简介 3. 作者简介 4. 图书目录 简介 研究 同名图书 1. 图书信息 2. 内容简介 3. 作者简介 4. 图书目录 展开 简介 极小曲面 minimal surface 平均曲率为零的曲面。平均曲率定义为：其中k1，k2 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示两个主曲率。给定一条闭曲线，可以设想蒙在这条闭曲线上的所有曲面中，有一个面积最小者，这个具有最小面积的曲面正是极小曲面。平面是仅有的极小可展曲面。除平面外，旋转极小曲面都是悬链面，直纹极小曲面都是正螺面。 研究 著名的普拉托实验是把围成封闭曲线的金属丝放入肥皂溶液中，然后取出来，由于表面张力的作用，在它上面就蒙有表面积最小的薄膜。这种表面积最小的曲面就是所谓极小曲面，从 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 上求这膜曲面的问题称为普拉托问题。这个问题可以用变分法来解。 从变分学观点看，可以考虑以已知闭曲线Γ为固定边界的曲面的法向变分。由欧拉-拉格朗日方程(见变分法)，对于任何这样的变分,曲面面积达到临界值的充要条件是曲面的平均曲率h=0。因此，通常就用这个几何条件来定义极小曲面。 在三维欧氏空间E3中，若一张曲面可用方程z=z(x,y)来表示，则称它为图，或非 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 化曲面。由极小条件h=0,E3中极小图的z(x,y)满足下述二阶非线性椭圆型微分方程： 二阶非线性椭圆型微分方程 通常称它为极小曲面方程。 E3中极小曲面的重要例子有：①极小的可展曲面是平面；②非平面的极小直纹面是正螺面；③悬链面是仅有的极小旋转曲面；④曲率线为平面曲线的极小曲面是恩纳佩尔极小曲面；⑤舍克尔极小曲面是极小的螺旋面，它可以看作具有实母曲线的平移极小曲面。一般地，E3中极小曲面的坐标可表示为等温参数（使曲面第一基本形式中的E=G，F=0的参数）的调和函数。E3中不存在紧致无边界的极小曲面。 历史上极小曲面的发展是环绕普拉托问题而展开的，这实质上是一个非线性的椭圆型边值问题。早在1930～1931年，T.拉多和J.道格拉斯就各自独立地在广义解的范围内解决了这个问题,他们得到如下的存在性定理:给定任一可求长的空间若尔当闭曲线Γ，总存在一张以Γ为边界的广义极小曲面。这里可能有孤立的分支点，在分支点处曲面不是浸入。直到1970年，R.奥斯曼才证明了拉多和道格拉斯的解是处处内部正则的，即不会有分支点。后来丘成桐等又解决了何时浸入化为嵌入的问题。 除了这类存在性问题外，还有不少属于惟一性方面的问题，其中最著名的是伯恩斯坦定理：E3中完备的极小图必是平面。 正如用导数来确定函数的极值一样，面积泛函的第一变分为零只是面积最小的必要条件，要进一步确定最小面积的曲面，还必须考虑第二变分。在任何法向变分下，使面积泛函的第二变分恒非负的极小曲面称为稳定极小曲面。E3中极小图是稳定的。因此，从伯恩斯坦定理自然产生这样的猜想：E3中完备的稳定极小曲面是平面。这个命题已被D.菲舍尔-科尔布里和 R.舍恩所证明，稍后，M.杜卡莫和彭家贵一起也独立地予以证明。 极小曲面公式 对于伯恩斯坦定理在高维空间的推广，人们很早就提出这样的问题：设是En的完备极小超曲面,那么函数z(x1,x2,…,xn)是否必是线性的？1965年，E.迪乔吉证明n=3是对的；1966年,F.J.阿姆格伦证明n=4也是对的。1967年，J.西蒙斯证明当 n≤7时，都是对的。出乎意料的是，E.邦别里、E.迪乔吉和E.朱斯蒂在1968年联合证得,n=8时，就是不对的。因此，这是一个十分有趣的问题。 关于极小曲面及其在高维流形的推广，陈省身、项武义、丘成桐等都作出了重要贡献。 同名图书 图书信息 书 名：极小曲面 作　者：陈维桓 著 出 版 社：大连理工大学出版社 出版时间：2011-5-1 I S B N：9787561161463 页　数：175 开　本：32开 定　价：25.00元 内容简介 陈维桓所著的《极小曲面》的目的是介绍3维欧氏空间中极小曲面的概念、典型例子和性质，以及一些基本问题和进展。我们假定具备初等微积分的知识的读者，能够读懂本书的大部分，因此我们对曲面的微分几何只是做了简要的介绍，对所引用的定理大多做了准确的叙述。为了便于读者能够进一步钻研感兴趣的课题，在书后列出了有关的参考文献。我们力求使本书的叙述明白易懂，生动流畅，并注意科学性。 作者简介 陈维桓，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。1964年毕业于北京大学数学力学系，后师从吴光磊教授读研究生。1980年起长期从事和主持北京大学微分几何方向的研究工作和教学工作，直到2003年在北京大学退休。在著名学术期刊上发表各种研究论文近50篇；出版著作有：《微分几何讲义》(与陈省身合著)，《黎曼几何选讲》(与伍鸿熙合著)，《微分几何初步》，《微分几何》，《黎曼几何引论》(上、 下册 数学七年级下册拔高题下载二年级下册除法运算下载七年级下册数学试卷免费下载二年级下册语文生字表部编三年级下册语文教材分析 ，与李兴校合著)(以上均为北京大学出版社出版)；《微分流形初步》，《微分几何例题详解和习题汇编》，以及《流形上的微积分》(以上均为高等教育出版社出版)。 图书目录 编写说明 作者前传 一 肥皂膜实验 二 极小曲面方程 三 曲面的面积 四 曲面的曲率 五 再论极小曲面方程 六 极小曲面的Weierstrass公式 七 经典极小曲面的Weierstrass表示 八 极小曲面的一般性质 九 Plateau问题 十 极小曲面的Bernstein定理 十一 完备嵌入极小曲面的新例子 结束语 参考文献 极小曲面 Verrill极小曲面 极小曲面 在数学中，极小曲面是指平均曲率为零的曲面。举例来说，满足某些约束条件的面积最小的曲面。 物理学中，由最小化面积而得到的极小曲面的实例可以是沾了肥皂液后吹出的肥皂泡。肥皂泡的极薄的表面薄膜称为皂液膜，这是满足周边空气条件和肥皂泡吹制器形状的表面积最小的表面。 目录 l 1 例子 l 2 定义 l 3 与布朗过程的联系 l 4 参见 l 5 参考来源 l 5.1 参考书籍与网络资源 l 6 外部链接   例子 极小曲面的经典例子包括： l 欧几里得平面，无特别约束条件下最平常的极小曲面； l 悬链曲面：由悬链线围绕其水平准线旋转而得到的曲面。这是最早发现的“不寻常”的极小曲面。悬链曲面状的皂液膜可以由将两个等大的圆环紧贴放入肥皂水中，拿出后再缓慢分开得到； l 螺旋曲面：一个线段沿着垂直于其中点的直线匀速螺旋上升时扫过的曲面。这是继悬链曲面后发现的第二种不寻常的极小曲面； l Enneper曲面。 定义 给定一个嵌入曲面，或更一般的，一个浸入曲面（其边界一般固定，但不一定有界），定义其平均曲率如下： 令 是曲面 上一点，考虑 上过 的所有曲线 。每条这样的 在 点有一个伴随的曲率 。在这些曲率 中，至少有一个极大值 与极小值 ，这两个曲率 称为 的主曲率。 的平均曲率是两个主曲率的平均值[1]，由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值[2]，故有此名。 而极小曲面是指每一点上的平均曲率都是0的曲面。这种曲面的研究始于有关满足一定的约束条件（比如边界固定或容纳体积满足一定条件）下表面积最小的曲面，因此被称为“极小曲面”。实际上极小曲面所囊括的内涵比此类最小面积曲面更广泛。极小曲面的定义还可以扩展到恒定平均曲率曲面，即曲面上由平均曲率等于某个常数的点组成的子曲面。当这个常数等于零的时候， 恒定平均曲率曲面就是极小曲面。 极小曲面是平均曲率流的临界点。 与布朗过程的联系 极小曲面上的布朗过程可以用于某些极小曲面相关定理的概率证明[3]。 参见 l 伯恩斯坦问题 l 肥皂泡 l 普拉托问题 l 伸展网格方法 l 曲率 l Weaire-Phelan结构 l 张力结构 l Enneper-Weierstrass参数化 l 双线性插值 参考来源 1. ^ 斯皮瓦克, 缺乏參考資料名稱, 第3卷，第2章. 1999  2. ^ 关于角度的平均值。 3. ^ R. Neel 2008 (arXiv, DOI resolver) 参考书籍与网络资源 l Robert Osserman. A Survey of Minimal Surfaces. New York: Dover Publications. 1986. ISBN 0-486-64998-9.  l Hermann Karcher and Konrad Polthier. Touching Soap Films - An introduction to minimal surfaces [December 27, 2006].  （图示介绍极小曲面与皂液膜） l Various. EG-Models [September 28, 2004].  （在线期刊，发表有若干极小曲率模型） l 斯皮瓦克, 迈克尔, A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4). 3rd, Publish or Perish Press. 1999, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4)  l Stewart Dickson. Scientific Concretization; Relevance to the Visually Impaired Student. VR in the School, Volume 1, Number 4 [April 15, 2006].