第16讲数论初步研究整数性质的数学分支叫数论。人们很早就开始了对数论的研究。有人说：“要发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。任何学生，如能把当今任何一本数论教材的习题做出，就应当受到鼓励，并可在将来从事数学方面的工作。”所以在国内外各类数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性，带余除法，奇数与偶数，质数与合数，约数与倍数，整数的分解与分拆，完全平方数等。本讲介绍几个稍难一些的数论问题。例1能否找到4个整数a,b,c,d,使得它们两两乘积与2002的和都是完全平方数？分析：完全平方数被4除余。或1,也就是说，若一个数被4除余2或3,则它一定不是完全平方数。再结合2002被4除余2,于是我们只要从这四个整除被4除的余数入手考虑即可。解：若a,b,c,d中存在一个4的倍数，则它与其他另一个数的乘积被4除余0,这样这个乘积与2002的和被4除余2,当然不是完全平方数。若a,b,c,d中没有4的倍数，它们被4除只能余1,2,3;根据抽屉原理知，a,b,c,d中必有两个被4除同余。而相同的余数为(1,1),(2,2)或(3,3);容易验证：1X1+2三3(mod4,2X2+2三2(mod4,3X3+2三3(mod4),所以无论哪一种情况，这两个数的乘积与2002的和被4除余2或3。它一定不是完全平方数，即不存在4个整数a,b,c,d使它们两两乘积与2002的和都是完全平方数。例2"尿人血丁一胃10三1,其中a,b,c,d,e,f,g是1位整数，aw0,dw0,gw0,a+b+c=10,d+e+f=8,求a,b,c,d,e,f,g的值。分析：本题若从数字谜或末位数字的角度考虑很难入手，注意到数字和是一个定值，应采用“弃九法”作为问题解决的突破口。解：考虑被9除的余数，因为a+b+c=10三1(mod9),所以白船三1(mod9)。又因为d+e+f=8三8(mod9,可见abcxdefo/」三8(mod9因此g+1+0+3+1=g+5三8(mod9于是g=3,即逅乂西=31031=3X001=(310和心13)=21733这表明a=2gc=7d=1,e=4,f=3。说明：利用“弃九法”解决的问题还有：能否用数字1至7组成两个没有重复数字的七位数a和b,使得a=kb(k>1)?请同学们自行解答。例3在1,2,3,•••,1995这1995个数中，找出所有满足下面条件的数a来：(1995+a)能整除1995Xa。19950分析：1995十也是一个整数，这个式子的分子，分母都有a,所以难以定出a可取哪些值，应当先进行变形，使得分子不含有a。199”解：1995十a1995cl995+㈤7995乂1995=，工L1995-1995=1995—二95l,19死卤1995-1995根据已知，1冤5+a是整数，所以199541是整数。因为1995X1995=32X52X72X192,所以它的因数1995+a可以通过检验的方法定出。注意1Waw1995,所以1995v1995+aw3990如果1995+a不被19整除，那么它的值只能是以下两种：3X52X72=367532x5X72=2205如果1995+a被19整除，而不被192整除，它的值只能是以下两种：3X72X19=279352X7X19=3325如果1995+a被192整除，它的值只能是以下两种：7X192=252732X192=3249于是满足条件的a有6个，即从以上1995+a的6个值分另U减去1995,得出的6个值是：1680,210,798,1330,532,1254。accbC―说明：本题采用的是整数分离法。即形如q+8的分式，可以化成色十上。使得只有分母含a,而分子不含a。这种方法（在次+占为整数时），有助于定出a的值。例4在1X2X3X---X100的积中，从右边数第25个数字是多少？分析：我们不难求出1X2X3X-X100从右边数恰有24个连续的0,而第25个数字是第一个非零数字。为确定此数字，通过找规律的方法是行不通的，只有通过解剖其中的质因数才能得到准确的结果。解：在1X2X3X-X100中，末尾连续有24个0,而把每一个数分解质因数，共有94个2,而其中有24个2与5相乘，余下70个2。而质数的末位只能是1,3,7,9,在1至100中，末位是1的质数有11（9个），31（3个），41（2个），61与71各1个，共16个，末位是3的质数有3（45个），13（7个），23（4个），43（2个），73（1个），共有59个，末位是7的质数有7(15个)，17(5个)，37(2个)，47(1个)，67(1个)，97(1个)，共有25个，末位是9的质数有19(5个)，29(3个)，59与79和89各1个，共有11个。那么我们只要看Z.X^XT’xg11的末位是几就可以了。而21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,发现末位出现循环了，而且是每4个一循环。所以，270的末位是4,359的末位是7,725的末位是7,911的末位是9。所以，270X359X725X911的末位是4。那么，在1X2X3X---X100的积中，从右边数第25个数字是4。例5如果x,y都是四位数，工〉是一个完全平方数，且x与y相差1,试求：砂的值。解：设秒=m2,则①10000x+x+1=m2或②10000(x+1)+x=m2;对于①有：10001x=(nn+1)(mi—1)即137X73Xx=(m+1)(m-1)210000000
证明
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：在连续十个自然数中，下面的结论成立：（1）必有五个数是偶数；（2）最多有四个数是3的倍数，其中至多有二个数是奇数；（3）最多有两个数是5的倍数，其中至多有一个数是奇数；（4）最多有两个数是7的倍数，其中至多有一个数是奇数。所以，在这十个连续的自然数中，是2、3、5、7某一个的倍数的数至多有5+2+1+1=9个。因此，至少有1个数不是2、3、、5、7中任一个的倍数。我们设这个数为值。下面证明白与其余九个数都互质。设七是其余九个数中的任一个，若a、b有质因数p,则p整除a与b的差，又已知a与b的差不超过9,因此p必等于2、3、5、7中的一个。这与“戊不是2、3、5、7中任一个的倍数”相矛盾，所以只能有（a,b）=1。即a与其余九个数都互质。综上所证，任意十个连续自然数中，至少有一个与其余九个数都互质。.某旅馆的一座楼每层都有10套房间，房间自第一层开始依次编号为1,2,…，10号，并逐层依次续编下去，（第二层的序号为11,12,…，20,如此等等）。现知德莱和麦里都住在该楼内，德莱的层号刚好等于麦里的房号，而他们的房号之和等于239,试求德莱的房号？解答：设德莱的房号为X,则他的房号必为的形式，其中1W〉W10,并且麦里的房号就是“，因此1。（工+z=239即「一।•一Hr-249-y从而249-A必为ii的倍数，由于iw尸w10,所以必有加9一了-242,这样一来，就有y・7,芥・22。因此德莱的房号是।口-「」；Ii；.-.有四个自然数AB、CD,它们的和不超过400,且A除以B商5余5;A除以C商6余6;A除以D商7余7,这四个自然数相加的和是多少？解答：依题意可知A+B+C+4400,且A=5B+5A=6C+6A=7D+7即A=5(B+1)=6(C+1)=7(D+1)由此可知A是5、6、7的最小公倍数，因此A=5X6X7=210,从而B=(210—5)+5=41C=(210—6)+6=34D=(210—7)+7=29所以，这四个自然数的和是210+41+34+29=314.高为50厘米，底面周长为50厘米的圆柱的侧面上划分边长为1厘米的正方形，用四个边长为1厘米的小正方形构成“T字形，问：能否用625个“T”字形拼成圆柱侧面？并对你的结论加以说明。分析：此题属于奇偶分析题目，采用黑白相间二染色的方法解决。解：不能。因为圆柱侧面是50X50的正方形，将其黑白相间染色，则黑格与白格各有偶数个。又因为每个"T'字型含有3个或1个黑格，若能用T字型纸片拼成50X50的正方形，则需要(50X50)+4=625个“T”字型，而625个“T”字型含有奇数个黑格，矛盾，因此不可能拼成。.求三位数，使它加3后所得的新的三位数的各位数字的和等于所求三位数各位数字£的和的土，那么，这样所得的三位数的总和是多少？解：所求三位数的个位数〉7(否则，加3后，所得新三位数的各位数字的和更大了)；又所求三位数的百位数字及十位数字都不可能是9(否则，加3后，经进位，所得新三位数£_的各位数字的和不等于所求三位数各位数字的和的5),于是可设所求三位数为温儿，这值十年十1Ht+3ta)=L［十白十仃)里Tw^wg,ow七<9,0Vls<9,且另由此得a^h^c=9o当时，q=S=1或*・2,5・Q；当二=g时，笳・L8-Q。由此可得117,207,108。故所求三位数的总和是117+207+108=432。.求一个最大的完全平方数，在划掉它的非零的个位、十位数字后，仍得到一个完全平方数。解：设符合题意的完全平方数为M=100厘,十%,这里0〈力＜100,于是制＞1%，用孔1,于是与\100M十201十1,所以2M+1＜100,可见堞04。经验算当鼻=4时，黑=41满足条件；但若照＞41,则M-40二＞4”-40n＞100,所以最大的完全平方数应是412=1681o
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