九数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十三讲平面几何的定值与最值问题(含答案)

第二十三讲平面几何的定值与最值问题趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒，他是集市上的一个小贩。每天他都要从家所在的点A出发，到集市点B，但是，到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城，阿波罗像供奉在古堡的圆心点O，而圆周上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图23-1.这个信徒想，我怎样选择朝拜点C，才能使从家到朝拜点，然后再到集市的路程最短呢？解析在圆周上选一点P，过P作OO的切线MN，使得∠APK=∠BPK，即.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走，距离最短.证明如图23-2，在圆周上除P点外再任选一点P'.连结BP'与切线MN交于R，AR+BR>AP+BP.∵RP'+AP'>AR.∴AP'+BP'=AP'+RP'+RB>AR+BP>AP+BP.不过，用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”，解决它的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是采用“等角原理”.BBKβAAMαRNPP'OO图23－1图23－2知识延伸】平面几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中，可以直接通过计算来求出定值；也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值，然后证明当相应几何元素变化时，此值保持不变。例1如果△ABC的外接圆半径R一定，abc求证：是定值.（S表示△ABC的面积）S1c解析由三角形面积SabsinC和正弦定理2R，c2RsinC.2sinCabc2c4RsinC4R是定值SsinCsinC点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形，计算出结果是4R，即为定值.()平面几何中不仅有等量关系，还有不等关系，例如在变动一些几何元素时，某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值，如果这个定值在某个情形下可以取得，这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题，解决这些问题总要证明相关的几何不等式，并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2如图23－3，已知⊙O的半径R＝33，A为⊙O上一点，过A作一半径为r＝3的⊙O′，问OO′何时最长？最长值是多少？OO′何时最短？最短值是多少？ABCOO'图23－3解析：当O′落在OA的连线段上（即⊙A与线段OA的交点B时）OO′最短，且最短长度为33－3；当O′落在OA的延长线上（即⊙A与OA的延长线交点C时）OO′最长，且最长的长度为33＋3.点评：⊙O′是一个动圆，满足条件的⊙O′有无数个，但由于⊙O′过A点，所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.好题秒解】佳题新题品味例1如图23－4，已知P为定角O的角平分线上的定点，过O、P两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证：OA＋OB是定值.APOB图23－4证明：连接AP、BP，由于它们为有相同圆周角的弦，AP＝PB，不妨记为r，另记x＝OA，x＝OB.12对POA应用余弦定理，得x2＋OP2－2OPcos∠AOPx＝r2.11()1故x为方程x2－2OPcos∠AOBx＋（OP2－r2）＝0的根，同理x亦为其根.11221因此x，x为此方程的两根，由韦达定理，得x＋x＝2OP（∠AOB）是定值.12122点评：当x＝x时，x＋x为此定值，事实上此时OP一定是直径.1212例2：如图23－5，在矩形ABCD中，AB＝8,BC＝9,⊙O与⊙O′外切，且⊙O与AB、BC相切.⊙O′与AD、CD相切，设⊙O的半径为x，⊙O与⊙O′的面积的和为S，求S的最大值和最小值.ADO'HOEBC图23－5解析：设⊙O′的半径为y，过O与O′分别作CD与BC的垂线OH，O′F，垂足分别为H,F,OH、O′F交于点E,则有：O′E＝8－(x＋y),OE＝9－(x＋y)由勾股定理可得：(x＋y)2＝[8－(x＋y)]2＋[9－(x＋y)]2整理，得（x＋y－29）（x＋y－5）＝0，由题意知1≤x≤4，∴x＋y＝5，y＝－x＋5，∴S＝πx2＋πy2＝π(2x2－10x＋25)525＝x－)2＋],2π[(24525故当x＝时，S＝π；2min2当＝时，＝x4Smax17π.点评：先由已知求出⊙O′的半径与⊙O的半径x之间的关系，然后再根据面积公式写出S与x之间的关系，这个关系就是一个函数关系，再通过函数的性质得解.()中考真题欣赏例（南京市中考题）如图﹣，⊙与⊙内切于点，又⊙切⊙的直径于点，连结236O1O2PO1O2BECPC并延长交⊙于点，设⊙，⊙的半径分别为、，且求证：是定值O2AO1O2rRR≥2r.PC·AC.BBO1PAOO(C)Q22O1PCAEE图23－6图23－7解析若放大⊙，使⊙切⊙的直径于点（如图），显然此时有O1O1O2O223-6PC·AC=PO2·AO2=2r·R（定值）再证明如图﹣的情况：连结，，则，必过点，且⊥，得.237CO1PO2PO2O1O1CBECOOO2OC2R22Rr，从而BCRR22Rr，ECRR22Rr2121所以PC·AC=EC·BC=2Rr，故PC·AC是定值.点评解答几何定值问题时，可先在符合题目条件的前提下用运动的观点，从特殊位置入手，找出相应定值，然后可借助特殊位置为桥梁，完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1（第十五届江苏省初中数学竞赛题）如图23﹣8，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点（可与点B或点C重合），分别过点B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为点B'、C'、D'.求BB'+CC'+DD'的最大值和最小值.CDC'PB'D'AB图23－81解析SSAPCC，得DPCAPC212SSSSAP(BBDDCC)，于是BB'+CC'+DD'=.四边形BCDAAPCADPDPC2AP又1≤AP≤2，故2≤BB'+CC'+DD'≤2，∴BB'+CC'+DD'的最小值为2，最大值为2.()点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求.例2（2000年“新世纪杯”广西竞赛题）已知△ABC内接于⊙O，D是BC或其延长线上一点，AE是△ABC外接圆的一条弦，若∠BAE=∠CAD.求证：AD·AE为定值.AAEDBCBCDE(1)(2)图23－9证明如图23﹣9（1），当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时，连结BE，则∠E=∠C，∠BAE=∠CAD，∴△ABE∽△ADC.ABAE，即AD·AE=AB·AC为定值.ADAC如图23﹣9（2），当点D在BC的延长线上时，∠BAE=∠CAD.此时，∠ACD=∠AEB.ABAEAEB∽ACD.，ADAC即AD·AE=AB·AC为定值.综上所述，当点D在BC边上或其延长线上时，只要∠CAD=∠BAE，总有存AD·AE为定值点评先探求定值，当AD⊥BC，AE为圆的直径时，满足∠BAE=∠CAD这一条件，不难发现∆ACD∽∆AEB，所以AD·AE=AB·AC，因为已知AB，AC均为定值.再就一般情况分点D在BC上，点D在BC的延长线上两种情况分别证明.过关 检测 工程第三方检测合同工程防雷检测合同植筋拉拔检测方案传感器技术课后答案检测机构通用要求培训 】A级1.已知：MN是⊙O的切线，AB是⊙O的直径.求证：点A、B与MN的距离的和为定值.()已知：⊙与⊙外切于，是⊙上任一点，与⊙相切于点求证：是定值2.OO1CPOPTO1TPC:PT.⊙与⊙相交于、两点，过作任一直线交，于点，交⊙于点求证：∠为定3.O1O2PQPOOEO2F.EOF值。4.以O为圆心，1为半径的圆内有一定点A，过A引互相垂直的弦PQ，RS.求PQ+RS的最大值和最小值.5.如图23-10，已知△ABC的周长为2p，在AB、AC上分别取点M和N，使MN∥BC求：MN的最值.AMNBC图23－10B级1.如图23﹣11，已知正方形ABCD的边长为3，点E在BC上，且BE=2，点P在BD上，则PE+PC的最小值为（）.A.23B.13C.14D.15()ADPBEC图23－112.用四条线段a=14，b=13，c=9，d=7.作为四条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线长的最大值是________.3.如图23﹣12，⊙O的半径为2，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP·OS=_______.QBAMPOS图23－124.已知，如图23﹣13，线段AB上有任一点M，分别以AM，BM为边长作正方形AMFE、MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O'交于M、N两点，则直线MN的情况是（）.A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能DCNEFO'OAMB图23-13()5.如图23﹣14，已知⊙O的半径为R，以⊙O上一点A为圆心，以r为半径作⊙A，又PQ与⊙A相切，切点为D，且交⊙O于P、Q.求证：AP·AQ为定值。APQOD图23-14如图﹣，⊙与⊙相交于、两点，经过点的一直线和两圆分别相交于点和，设6.2315O1O2ABBCD此两圆的半径为，，求证：：R1R2AC:AD=R1R2.AOO21CNDB图23-15()()