做简谐运动物体下悬挂小球的运动分析

做简谐运动物体下悬挂小球的运动分析 河 南 科 学第 30 卷 第 7 期 No.7 Vol.30 2012 年 7 月 HENAN SCIENCE Jul. 2012 文章编号:1004-391(82012)07-0848-04 做简谐运动物体下悬挂小球的运动分析 潘静， 洪义， 王菊霞 (渭南师范学院 物理与电气工程学院，陕西渭南 714000) 摘 要:研究了做简谐运动的物体通过刚性杆连接小球的运动情况. 求解关于小球运动二阶微分方程，得到了小球 的运动规律 ，并通过具体算例对小球运动幅值进行分析，得到小球运动幅值的影响因. 素 其中 ，奇点周期的计算对 避免共振现象具有一定意义. 关键词:简谐运动; 运动方程; 二阶微分方程; 奇点周期 中图分类号:O411 ,;1 O 411,3文献标识码:A Motion Analysis of a Small Ball Hanging the Harmonic Motion Object Pan Jing， HongYi， Wang Juxia (Department Pohysif ca and Electrica Engineering，Weinan TeachersUniversit y，Weinan 714000，Shaanxi China) ll Abstract:The motion of a small ball by rodh anging the harmonic motion object is studied, The motion equations of small ball areo btained by solving the second)order differential equations on small ball movement, For thea mplitude analysis of thebal l，it can get theinf luence factors ofball motion aplmitude, The calculation of singularpoint cycleis importantfor avoidingresonance. Key words:harmonicm otion; motione quations; second)doerr differentiale quations; singular point cycel [1-4] 二阶非齐次微分方程是常微分方程的重要内容. 在纯粹数学、应用数学、工程技术及力学、物理学等 [5] 领域有着及其重要的位置. 两个物体的运动较为常见的是物体 A 的运动对物体 B 有影响，而物体 B运 动 对物体 A 没有影响的情况，本文研究了做简谐运动物体下悬挂小球的运动，利用二阶微分方程进行分析，该 问题可以简化为以下的物理模型. 物体 A 1 物理模型理论推导 在桌面上放置一物体 A，其下悬挂一质量为 m 的小球 B . α 当物体 A 在水平面上做微幅正弦运动时，对于小球B 的运动， 可由以下分析求得. 物体 A 和小球 B 运动示意图见图 1 . 令物体 A 坐标为(x，y)，小球 B 的坐标(x，y)，物体 A 1 12 2 小球 B 与小球 B 之间的连接杆为刚性杆，长L . 杆与垂直方向的夹 图 1 物体 A 和小球 B 运动示意图 角为 a . Fig,1 Moving schematic diagram ocft oAbj aend sma ba B llll 物体 A 的运动方程为 ! 1 πt b× sin ωt × ,1)cost , t ,，# m 2t m x," ， y,0，(1) 1 1 #b× sin ωt，t, t m$ 其中:b 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示物体 A 的运动幅值，ω 表示频率;t表示缓冲周期. m 收稿日期:2011-04-18 基金项目:陕西省自然科学基金项目(SJ08A25);渭南师范学院研究生专项资助项目07YKZ061(，07YKZ060) 作者简介:潘 静(1979-)，女，辽宁铁岭人，讲师，硕士，从事大学物理和电磁学教学理论和实验研究 洪 义(1980-)，男，辽宁沈阳人，讲师，博士研究生，从事大气压放电理论和实验研. 究 对小球 B 进行受力分析，在水平方向， 咬 xm × = -T × sin a， 2 把 x代入上式可得: 2 2 咬 觶 咬xam ×(- L× sin a × + L× cos a × )= -T × sin a; 1 同理，在垂直方向， 咬 m ×y = T × cos a - mg ， 2 把 y代入上式可得: 2 2 觶 咬m ×(L× cos a × a- L× sin a × a)= T × cos a - mg . 由(3)× cos a +(4)× sin a 化简可得: 咬 咬 × L + g × sin a = x× cos a . 1 当 a 较小时，可令 sin a ?a，cos a?1，故(5)式可以变为 咬 咬 L× + g × a = x. 1 方程(6)的解为 g g πt + E)+ C × sin ωt + D × sin ωt × cos a = A× cos(t × )+ B × sin(t × t姨L姨L m 其中: 22 bω bω C=， t?t， C=， t> t m 2 m1 g g 2 2 2×(ω)× L (ω)× L - - L L 2g 22 b 2 π 2 π b 2πω ×,ω+(),×, -ω-(),+ ×() tL t2 t2 mmm D = ;g 22 2 2 π 2πω ,, ω(),(),× L ---L tt mm 2g b 2 π 2πω 2πω 2 π b ×,ω+(),× + × ×, -ω-()tt2 tL t2 mmmm2 E = , g 22 2 2 π 2πω ,, ω(),(),× L ---L tt mm当 t= 0 时，a= 0，得到 A= 0;当 t= 0 时，a= 0，得到 B= 0 . πt πt a= C× sin ωt + D × sin ωt × cos + E × cos ωt × sin ， t?t; a= C 1 m 2tt mm 2 算例分析 根据上述公式，可以对做简谐运动物体下悬挂小球的一些具体类似情况进时，可能出现共振现象的情况. 计算运动条件见表 1 . 表 1 具体算例的运动条件 Tab,1Working condition alocfulati con 周期 T /sb/m 杆长 L/m物体 A 运动幅值 4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15 10，200,1 河 南 科 学第 30 卷 第 7 期 - 850 - 不同周期 T 和杆长 L 条件下，小球 B 的运动幅值随周期变化情况见图 2 和图 3 . 1.0 0.16 0.8 Y-max 0.14 Y-min 0.6 Z-max 0.12 0.4 0.10 0.2 0 0.08 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -0.2 0.06 0.4 -0.04 -0.6 0.02 0.8 - -1.0 0 T / s 小球 B 的运动幅值(L,10 m) 图 2 Fig,2 Motion amplitude of small ballL ,B(10 m) 20 9 Y-max 8 15 Y-min Z-max 7 10 6 5 5 0 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 5 -Y 方向幅值/m Y 方向幅值/m 3 10 -2 -15 1 -20 0 T / s 图 3 小球 B 的运动幅值(L,20 m) Fig,3 Motion amplitude of small ballB(L ,20 m) 由图可见，随着物体A 运动周期的增加，小球 在水平方向和垂直方向都是先增大后减小B ，当周期较大 时，小球 B 水平方向和垂直方向的幅值随周期增加，变化不大. 对于两种杆长，都存在所谓“的奇点周期”，即在该周期附近，小球 B 的运动幅值很大 . 这表示小球 B 运 动周期与物体 A 的运动周期非常接近. 下面对该算例奇点周期进行分析:在第一部分中的公式推导 中，得到 角度的解析式，其系数包括C 、D 和 E，三者均存在分母为 的情0 况. 令分母为 0 . 1)C 的分母为 0， g 2 ω=0，- L 可得到: L 奇点周期 T=2π .1 g 姨 2)D 和 E 的分母为 0， 2 22g 2 π 2πω Z 方向幅值/m -ω -(),-(, )=0，令 t=2×T， m Z 方向幅值/m t L t m m 可得: L L 奇点周期 T= π × 2.5 或奇点周期 T= π × 1.5 .2 3 g g 姨 姨 表 2 奇点周期计算 Tab,2 Calculation of singular point cycle 杆长/m 奇点周期 T/s 奇点周期 T/s 1 2 106,37,920 9, 011, 2 3 结论 1)对做简谐运动的物体下悬挂的小球进行理论分析，得到了小球运动方程的 2)通过算例可以发现，当物体运动周期与奇点周期接近时，小球的运动量均 与周期关系较小. 3)通过奇点周期的计算，可以得到小球和物体的共振周期，从而加以避免. 4)在很多实际应用中，共振现象会造成物体运动过大，并产生破坏，如吊车在 振现象的发生. 通过本文研究，可得到奇点周期，为避免共振现象的发生提供一 参考文献: ,1,李尚志，陈发来，吴辉发，等. 数学实验,M,, 北京:高等教育出版社1999， ,,2, 韩中庚, 数学建模方法及其应用,M,, 北京:高等教育出版社， 2005丁同仁, ，李承治, 常微分方程教程,M,, 北京:高等教育出版社，,3, 2001同济大学数学教研室, , 高等数学,M,, 北京:高等教育出版社，,4, 1996 ,,5, 黄大琪, 一阶与二阶微分方程在物理中的应用举例J,,, 芜湖联合大学学报，1998，2(1):6-