“糖水不等式”及其应用

“糖水不等式”及其应用“糖水不等式”及其应用 “糖水不等式”及其应用摘要本文首先挖掘了“糖水不等式”的生活原型，接着详细介绍了此不等式的三种证明方法，最后用“糖水不等式”证明了三道高考题。通过本文重在启发大家:在以后学习中，不仅掌握知识本身，还要多体会知识产生、发展的背景、及其应用，以达到举一反三、融会贯通的目的;从而的出思考与反思史学系的必要环节。关键词糖水不等式我们在小学曾对不等式[SX(][SX)],[SX(]23[SX)],[SX(]34[SX)],[SX(]45[SX)],„记忆犹新，今天学到了高中数学不等式这一章...

“糖水不等式”及其应用 “糖水不等式”及其应用摘要本文首先挖掘了“糖水不等式”的生活原型，接着详细介绍了此不等式的三种证明方法，最后用“糖水不等式”证明了三道高考题。通过本文重在启发大家:在以后学习中，不仅掌握知识本身，还要多体会知识产生、发展的背景、及其应用，以达到举一反三、融会贯通的目的;从而的出思考与反思史学系的必要环节。关键词糖水不等式我们在小学曾对不等式[SX(][SX)],[SX(]23[SX)],[SX(]34[SX)],[SX(]45[SX)],„记忆犹新，今天学到了高中数学不等式这一章，我们联想到这一不等式能不能推广,推广形式如何,下面就是它的推广形式:“若a,b,m?R +，且a,b，求证:[SX(]ab[SX)],[SX(]a+mb+m[SX)](*)。” 上述不等式在高中数学人教版必修5第87页的例1中出现，并做了严谨证明。相信大家对这一不等式并不陌生。此不等式不仅有着丰富的现实生活背景;而且在比较大小、及证明不等式中都有着重要的作用。一、不等式(*)的生活原型生活原型1:b克糖水中含有a克糖，加入m克糖后糖水变甜，试用一不等式描述这一现象:[SX(]ab[SX)],[SX(]a+mb+m[SX)],1 由于此生活原型生动直观的刻划了不等式[SX(]ab[SX)],[SX(]a+mb+m[SX)],1，所以此不等式又戏称为“糖水不等式”。生活原型2:建筑民用住宅时，一般情况下，民用住宅的窗户总面积小于该住宅的占地面积。窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好。问同时，增加相等的窗户，面积与占地面积，住宅的采光条件变好了还是变差了, 解:设a,b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积的值，表示窗户和占地所增加的面积的值，(单位相同)，由题意得:住宅的采光条件变好还是变差，取决于[SX(]ab[SX)]与[SX(]a+mb+m[SX)]值的大小作差法: [SX(]ab[SX)]-[SX(]a+mb+m[SX)]=[SX(]ab+am-ba-bmb(b+m)[SX)]=[ SX(](a-b)mb(b+m)[SX)] 因为a,b,m,0，且a,b，所以[SX(](a-b)mb(b+m)[SX)],0 所以[SX(]ab[SX)],[SX(]a+mb+m[SX)] 故增加相等的窗户，面积与占地面积，住宅的采光条件变好了。二、“糖水不等式”的证明此题的证明方法很多，例如(1)作差法(2)作商法(3) 分析法(4)综合法(5)构造函数法(6)定比分点公式法等等。在这里有重点地介绍以下三种方法: 证法1:分析法:要证[SX(]ab[SX)],[SX(]a+mb+m[SX)] 只要证a(b+m),b(a+m)，即证am,bm,(m,0) 而a,b显然成立证法,:构造函数法: f(x)=[SX(]a+xb+x[SX)]=[SX(]b+x-b+ab+x[SX)]=1+[SX(]a-bb+x[SX )] 因为a-b,0，所以函数f(x)在(-b,+?)上单调增故f(0),f(m)，即[SX(]ab[SX)],[SX(]a+mb+m[SX)] 证法3:(利用定比分点公式法) 〖TPP0707.TIF,BP〗 [SX(]a+mb+m[SX)]=[SX(C][SX(]am[SX)]+11+[SX(]bm[SX)][SX)]=[S X(C]1+[SX(]bm[SX)]?[SX(]ab[SX)]1+[SX(]bm[SX)][SX)]，令 λ=[SX(]bm[SX)],0,x 1=1,x 2=[SX(]ab[SX)] 由定比分点公式得[SX(]ab[SX)],[SX(]a+mb+m[SX)],1。结论得证。三、“糖水不等式”在比较大小、及证明不等中的应用例,(,)若a,b,m?R +，且a,b，则[SX (]ab[SX)],[SX(]a+mb+m[SX)][SX(]ba[SX)],[SX(]b+ma+m[SX)]从小到大的顺序为[CD#4] 解:由“糖水不等式”得:[SX(]ab[SX)],[SX(]a+mb+m[SX)],1，而[SX(]b+ma+m[SX)],1 故[ZZ(Z][SX(]ab[SX)],[SX(]a+mb+m[SX)], [SX(]b+ma+m[SX)][ZZ)]

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