[高三数学]经典导数例题

[高三数学]经典导数例题[高三数学]经典导数例题例题:已知对任意的恒有成立。 x,0a1nx,b(x,1) (1)求正数与的关系 ab (2)若 a,1,设f(x),mx，n,(m,n,R),若1nx,f(x),b(x,1) 对恒成立，求函数的解析式 ,x,0f(x) (3)证明: 1n(n!),2n,4n(n,N,n,2) 【解析】:本题目难度比较高，而且容易出现思维误区导致得不到分。就此类难题的解决来阐述“四步分解法”的实际应用效用，与各位老师共同交流。四步分解法:改写条件、找寻隐含、信息提示、弱化计算～毋庸置疑，无论难题还是...

[高三数学]经典导数例题例题:已知对任意的恒有成立。 x,0a1nx,b(x,1) (1)求正数与的关系 ab (2)若 a,1,设f(x),mx，n,(m,n,R),若1nx,f(x),b(x,1) 对恒成立，求函数的解析式 ,x,0f(x) (3)证明: 1n(n!),2n,4n(n,N,n,2) 【解析】:本题目难度比较高，而且容易出现思维误区导致得不到分。就此类难题的解决来阐述“四步分解法”的实际应用效用，与各位老师共同交流。四步分解法:改写条件、找寻隐含、信息提示、弱化计算～毋庸置疑，无论难题还是简单题目，所给的已知条件和学过的基础知识都是我们在解决问题时的工具，改写条件无外乎就是把工具准备好，并非是先从思路上去想明白该怎么去解决，然后再找解决问题的工具，这个想法与现在通用的教学法有着出发点及切入点本质的区别。条件改的好不好，直接决定了解决问题的实际结果。过程完美，结果是必然的～本题出现的问题是入手很困难，下面就本题来展开。 (1)由条件出发，只有一个不等关系式的出现，所以改成我们比较熟悉的函数类型(即为我们经常使用的构造函数)故设，如果此处按通用的教学法f(x),alnx,b(x,1) 去思考，容易出现误区，增加难度及走进死胡同。改写条件并非只是把显性的条件进行改写，还要对隐含的信息进行挖掘。由不等式容易看到取等条件是 x,1 这个隐含的关系也是学生容易忽略的地方。如果按正常的思路会对函数求导，找到极值点，并且得到极值点处导数值为0，得到的虽然也是a与b的关系，但不是答案。易知，由已知恒成立，(意味着函数最大值为0) f(1),0f(x),0 所以函数在处取得最大值。(因为在定义域内只有一个极值点) f(x)x,1 aa,bx,f(x),,b, xx , ？f(1),0,？a,b 又在处取得极大值，符合题意，？a,0,？f(x)x,1 即关系式为 (3分) a,b. 请大家尝试按照通用解法去寻找。。。然后做出比较 (2) ？a,1,？b,1 恒成立，不等关系式中还必须得到关于m、n的等量关系，基？lnx,mx，n,x,1 于此，必须找到等量关系，可是不等关系中如何去寻找等量关系呢,容易想到让含有m、 n的不等式两边取同一个值，容易发现依旧隐含了 x,1 令，有， (5分) x,10,m，n,0？m，n,0 ？,,,mxmx1 即对恒成立，(完全平方即满足，或进行分离参数讨(x,1)(x，1,m),0,x,0 论即分离出参数m，讨论出m的值，大家可以自己参详下)须？1,m,,1,即m,2 函数(7分) ？f(x),2(x,1) (3)由(2)知:(题目中既有对数又有根号的不等关系式只有一个，善于利用) 1244 (9分) ln,,2,,2,,2,4(k,k,1),2kk2kk，k,1 1 ？ln,4[(n,n,1)，(n,1,n,2)，？，(1,0)],2nn! ,4n,2n 此处用到了放缩的技巧，这个是我们在讲解过程中需要教授学生的基本技能。即(12分) lnn!,2n,4n(n,N,n,2) 小结:本题目考察范围比较广，有不等关系、函数、导数、放缩思想等，如何在感觉很难入手的时候从所给的条件进行入手，把貌似很困难完成的题目进行一步步改写，最后分解成若干个我们可以完成的题目，是学生在最后冲刺阶段要锻炼的能力。

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