[整理版]用“2、3、5、7”判断“100以内的质数、合数”
用“2、3、5、7”判断“100以内的质数、合数”
具有科学性和实效性
【摘要】因为《找质数》与《找因数》是密切相关的，所以在本
文中我先叙述了《找因数》的具体方法——即对应法、中间数法
和排查法;然后在次基础上分析了用2、3、5、7判断100以内的
质数、合数的科学性和实效性。
【关键词】因数 对应法 中间数法 排查法 质数 合数
在教学“找质数”中，我发现用看“2、3、5、7”是不是“这个数”的因数的方法来判断“这个数”是质数还是合数具有很强的实效性，并且我从理论上寻找到了科学依据。
我们知道只有因数1和它本身的数叫做质数，即质数只有2个因数。合数则除了因数1和它本身以外，还有别的因数，即合数至少有3个因数。因此，质数和合数的划分是以它的因数的个数为依据的。像“1”只有1个因数1，所以“1”既不是质数也不是合数。
判断一个数是质数或合数与“找因数”的知识、方法是密切相关的，所以要说清用“2、3、5、7”判断“100以内的质数、合数”的科学性和实效性必须从“找因数”说起。
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出了“找因数”的“三法”——“对应法”、“中间数法”、“排查法”，下面我一一道来。
一、“对应法”
五年级数学上册教材中有《找因数》这一内容。教材中是通过摆长方形这一活动来教学的。是利用长方形的面积等于长乘宽这一原理，以及长方形的面积与这一数字相对应的关系，两个因数与长和宽相对应的关系来推导的。例如:12=1×12=2×6=3×4。数字“12”就相当于长方体的面积，“12”，“6”，“4”相当于长方形的长，“1”，“2”，“3”相当于与之对应的长方形的宽。长方形的面积等于长乘宽。我们通过观察又发现，长越长，宽就越短，但它们的积始终相等，这也符合“平衡法则”，并且也一一对应。因此我们在找因数时可运用“对应法”。—有一个最小的因数“1”，就有一个与之相对应的最大的因数“它的本身”;有一个比“1”稍大的某一因数，就有一个比“它的本身”稍小的另一因数与之相对应;相对应的两个因数的乘积肯定是这个数，这就是我们的“对应法”。
二、“中间数法”
“对应法”是前后夹击，那么因数有一个处于中间的吗,我产生了这样的疑问，于是我经过了大量的实践，经过了不断的探索，终于有了我的发现—有的数有中间因数，有的数没有处于中间的因数，但也是有规律可循的。例如:像4、9、16、25、36、49、64、81、100„„这些是某个自然数的平方的数有 “中间数”，就是它正的平方根，分别是2、3、4、5、6、7、8、9、10„„但给小学教学时不能这样讲—找正的平方根，而是找“谁的平方”是这个数，“谁”就是“中间数”。像27就找不到“中间数”，但我们可以找到她它的准中间数，因为5?,27,6?，所以27的准中间数为5、6。
三、“排查法”
要找准、找全一个数的因数，只用“对应法”和“中间数法”还
是不够的，还要用“排查法”。
因为因数具有对应性和中间性的特点。我们写出最小因数、最大因数和中间因数。再排查出“1”到“中间数”间的因数，再结合“对应法”找出“中间数”到“它的本身”间的因数，这样找出的因数绝对一个不多，一个也不少。
例 :找出16的因数。
16
1 2 4 8 16
? ? ? ? ? ? 先找出16的最小因数1和最大因数16，并写下来;
? 找出16的中间因数4，并写出来; ? 在“1”和“4”之间只有两个自然数“2”和“3”，经判断只有“2”
是16的因数，在“1”和“4”之间写上2; ? 应用“对应法”—16?2=8找到与“2”相对应的因数“8”，写在
“4”和“16”之间，这样“16”的因数就写完了。
所以16的因数有:1、2、4、8、16。
例:找出27的因数。
27
1 3 (5) (6) 9 27
? ? ? ? ? ?
?找出最小因数“1”和最大因数“27”，并写下来;
?找“中间因数”，没有谁的平方是27，即27没有一个确切的中间数，那么我们就找它的“准中间因数”，因为5?,27,6?，5×6?27，所以27的准中间数为“5”和“6”，把它们写在“1”和“27”的中间位置并带上括号，表示它们不是27的因数;
?在“1”到“5”之间有数字“2”、“3”和“4”，经判断只有“3”是“27”的因数，写在“1”和“5”之间，应用“对应法”—27?3=9，我们就找到了“6”到“27”之间的因数“9”，写在“6”和“27”之间，这样我们把27的因数找完了。
所以27的因数有:1、3、9、27。
在找因数时，只有“对应法”、“中间数法”和“排查法”相互配合使用，它们的作用才能相得益彰，我们才能迅速、准确地找到因数。
下面我先谈谈 用“2、3、5、7”判断“100以内的质数、合数”的科学性吧。
质数、合数、因数、倍数都是在非0自然数范围内研究的，一个数的因数的个数是有限的，可以一一找出来，并且最小的因数都是1，最大的因数都是这个数本身。100以内的数最大不超过100，以100为例，它最小的因数是1，最大的因数是100，这也符合“对应法”1×100=100;根据“中间数法”10?=100，所以100的“中
间数”为10，因此，100以内数的最大“中间数”为10;再应用“排查法”一一排查2到9的数，看谁是这个数的因数，2、4、5是100的因数;根据“对应法”便可找到10到100间与2、4、5对应的三个因数100?2=50，100?4=25，100?5=20;如果某个数在2到“中间数”间没有因数，根据“对应法”可知，那么在“中间数”到“他的本身”之间也没有这个数的因数了。
我们还知道，一个数如果没有因数2，也就肯定没有因数4、6、8 了;如果没有因数3，也就肯定没有因数6、9 了;在2到9这8个数中只剩下5和7，我们还不知道它们是不是这个数的因数，我们再分别用5的倍数的特征和整除的概念判断一下5和7是不是这个数的因数就行了。
因此，100以内的某个数有因数1和它本身，没有因数2、3、5、7，那么肯定再没有别的因数，那么这个数是质数;如果100以内的某个数的因数除了1和它本身以外，还有2、3、5、7中的一个，那么肯定还有与之对应的另一个因数，那么这个数为合数。
下面我再说说 用“2、3、5、7”判断“100以内的质数、合数”的实效性吧。
质数只有两个因数——1和它的本身，判断100以内的数是质数，只要看2、3、5、7都不是这个数的因数就行了。但是要注意的是2、3、5、7除外，因为因数2、3、5、7和它们本身重复了，让人误以为这个数的因数除了1和它本身外，还有别的因数。
合数有两个以上因数，即最少3个因数，除了1和它的本身，再找出另外一个即可，即找到2、3、5、7中的一个即可。但找的顺序也有窍门，先找容易判断的2或5，如果找不到2或5，再找3，如果再找不到3，才找7。
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