求复合函数求导的链式法则
?14.2 求复合函数求导的链式法则
一 复合函数求导的链式法则
，，此时在点可定理1:(链式法则)设ufxy,,f()xy,xstyst,,,,,,,，，，，，，
y微，又和都在点关于的偏导数存在，则 (,)stxst,
,,,,,uuxuy,,，,;,,,,,sxsys ,,,,,uuxuy,,，,.,,,,,txtyt
说明:(1) 几种特殊情形:定理1显然讲的是2个中间变量，2个自变量的情形，但
其思想方法完全适用与其它情形:
,,,,,uuxuy,,，,1) 则。ufxyxxtyyt,,,(,),(),().,,,,,txtyt
2)设则 ufxytxxstyyst,,,(,,),(,),(,).
,,,,,,,uuxuyuzt,,，,，,,,,,,,,sxsysts ,,,,,,,uuxuyut,,，,，,,,,,,,,txtyttt
y22设z,f(u,v)在R内有关于u和v的二阶连续偏导数，例1:又设。u,xy,v,x,z,z,。求 ,x,y
(2) 计算复合函数的两阶及两阶以上偏导数，只要重复运用链式法则即可。
,f'(3)有时，为书写上方便，记 f,，即f(u,v)关于第一个变量u的偏导数;1,u
,f' 所以 f,，即f(u,v)关于第一个变量v的偏导数;2,v
22,f,f,f'''f,，f,,f,。 11122222,u,v,u,v
2dzdzx2(,),,例2:。 设二阶可微，求fzfxe,2dxdx
222dzzz,,,22设二阶可微，求fzfxy,,(2),,,.例3:22,,,,xyxy
(4)链式法则链式法则中的条件是充分的，并非必要的。在使用链式法则时，要注意的可微性条件，如果不满足这一条件，链式法则不一定成立。 f
二 一阶微分形式不变性
一阶微分有个很重要性质——形式不变性。在二元函数中也有类似的性质。
x,y是二元可微函数，如果是自变量，则: 设z,f(x,y)
,z,zdz,dx，dy. (各自独立变量) (1)dx,dy,x,y
x,yx,y如果不是自变量而是中间变量，x,x(u,v),y,y(u,v), 又设都可微，并且f,x,y可以构成复合函数，那么:
,,zzdzdudv,，,,uv
,,,,,,,,zxzyzxzy,,，,，,，()(),,,,,,,,xsuyuxvyv
,,,,,,zxxzyy ,，，，()()dudvdudv (2),,,,,,xuvyuv
,,zz,，dxdy.,,xy
(,,,,)dxdyuvdudv如上，由决定。
由(1)，(2)的可知一阶微分形式的不变性。 dz
注意:(1)两阶微分没有这一性质，如下例。
22zxyxuvyuv,，,,，,,.zuvuv,，，.例4:设 则
222,,,zzz2222dzdududvdvvduududv,，，,，224 22,,,,uuvv
如果二阶微分只有形式不变性，则有:
222,z,z,z222 dz,dx，2dxdy，dy22,x,y,x,y
222,,,zzz2,，,,00，从而dz但 22,,,,xxyy
(2)利用一阶微分形式不变性求偏导数
,,zzxyzexy,，n(),si,.例5:设利用微分形式不变性求 并求出 dz,,,xy
(3)高阶微分不具有形式不变性。
本文档为【求复合函数求导的链式法则】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483