在矩阵向量求导法则中，可以证明有这样两条运算法则：
在代数中，有一种处理矩阵的方法，就是将一个矩阵的各列，依次连接起来，变成一个
长长的列向量，这个列向量称为这个矩阵的“向量函数”或“拉直矩阵”，它的定义如下:
j定义 设 是 矩阵， 是矩阵 A 中的第 列，A 的aA,,,aa？am，nj12n
向量函数(拉直矩阵)定义为
a，，1,,,a2,, 。 ,A,Vec(A),,？
,,an，，mn，1
x，，
,,y,,xu，，,,,z,, 例如，设 ，则有 。 X,yvX,Vec(X),,,,,u,,,,zw，，,,v,,w,,，，
1，，
,,0,,
,,0
,,1000，，,,,,,,, 又例如，设 ，则有 I,Vec(I), 。 I,0101,,,,,,0010,,，，
,,0,,
0,,
,,1，，
另外，代数中还有一种矩阵运算，称为“Kronecker(克罗内克)积”它的定义如下:
，，，，Aa,定义 设 ，是两个矩阵，它们的Kronecker积定义为 ,Bbijij,,,,，，，，m，np，q
aBaBaB？，，11121n,,aBaBaB？21222n,,,A,B 。 ,,？？？
,,aBaBaB？12mmmn，，mp，nq
aaa，，1112131，，,,A,aaa例如，设 ， ，则有 I,212223,,,,1，，,,aaa313233，，
1
aaa，，111213,,aaa212223,,
,,aaa313233 。 I,A,,,aaa111213,,
,,aaa212223,,aaa,,313233，，
1，，bb，，1112,,又例如，设 ， ，则有 I,1B,,,,,bb2122，，,,1，，
bb，，1112,,bb1112,,
,,bb1112 。 B,I,,,bb2122,,
,,bb2122,,bb,,2122，，
在矩阵向量求导法则中，可以证明有这样几条运算法则: (1)如果 和 都是 维列向量，则有 bxn
,T 。 (bx),b,I,x
(2)如果 和 都是 维列向量，则有 bxn
,,TT 。 (xb),Ib,x
(2)如果 是 维列向量，则有 xn
,,TT 。 (xx),x,I，Ix,x
利用上述几条矩阵向量求导法则，就可以完成下列推导运算:
TTTI题 设 ，其中 是 维列向量， 是 单位阵，P,(I,mh)P(I,mh)n，nmn1
,P 是 维列向量， 是 矩阵。求 。 hPn，nn1,m
TTTTT解 P,(I,mh)P(I,mh),(I,mh)P(I,hm)11
TTTTTT 。 ,(P,mhP)(I,hm),P,Phm,mhP，mhPhm111111
根据上面的法则(1)(把 看作 ，把 看作 b)，有 Phmx1
2
,,TT ; (Phm),[(Ph)m],Ph,I111,m,m根据上面的法则(2)(把 看作 ，把 看作 )，有 bPhmx1
,,,,TTTTTT ; (mhP),[m(Ph)],I(Ph),IhP1111,m,m
T根据上面的法则(3)(把 看作 ， 是 1，1 矩阵，即单一常数)，有 hPhmx1
,,,TTTTTT 。 (mhPhm),hPh(mm),hPh(m,I，Im)111,m,m所以
,,PTTTT ,(P,Phm,mhP，mhPhm)1111,m,m
,,,,TTTT ,P,(Phm),(mhP)，(mhPhm)1111,m,m,m,m
,,TTT 。 ,,Ph,I,IhP，hPh(m,I，Im)111
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