三元回归

应用FX-4000P计算器进行三元回归分析的方法 姚永兰1，门海元2 (1.原平市绿委，山西 原平 034100；2.山西省林业调查规划院，山西  太原  0.0012) 摘要:文中根据FX-4000P计算器的编程原理，编制了林业上常用三元回归方程的通解 程序。输出方程参数，相关系数及方差分析表，并通过实例操作系统地叙述了计算的 全过程。 关鍵词: 计算器 三元回归分析 1.概述 三元回归分析方法是林业生产和科研中分析处理变量之间相互关系的数学方法，在研究变量之间相互关系时，常按照既定的目标选择变量，收集数据。建立合乎实际的回归方程。并对回归方程的显著性进行检验。而用回归分析的方法找到的变量之间的关系式，并不是确定性的，而是近似性的。通常称为经验公式，找出的这个函数称为回归函数。因此，研究回归关系的主要之点，是要确定回归函数。 在林业生产中常会遇到这样的关系，林木的材积与胸径、树高和形数有关；造林的成活率与水分、温度和光照有关；林木的结实量与光照、气候和降水量有关。研究这一类型的问题，就可以使用三元回归的方式来解决。本文求解的三元回归方程有： 1. Y=B0+B1X1+B2X2+B3X3 2.D=B0+B1 (1/A)+B2(1/A)2+B3(1/A)3或者PV= B0+B1 (1/D)+B2(1/D)2+B3(1/D)3 3.Y=B0+B1X+B2X2+B3X3 2.基本原理 设自变量为X1，X2，X3，因变量为Y，样本数为N。 L11= L22= L33= L12= L13= L23= L1Y= L2Y= L3Y= LYY= 用最小二乘法整理得正规方程组： L11B1+L12B2+L13B3=L1Y              (1) L21B1+L22B2+L23B3=L2Y                    (2) L31B1+L32B2+L33B3=L3Y                (3) 用高斯消元法解方程组得参数：B1、B2 、B3。 B0= -B1 1- B2 2- B3 3 复相关系数为：R= 统计量(F)： F=U÷K÷(Q÷(N-K-1)) 方差：      SU2=U÷K SQ2=Q÷(N-K-1) 式中：U—回归平方和；Q-残差平方和；K-自变量个数；N-为样本单元数；SU2-回归方差；SQ2-残差方差。 方程2、3都可转化为二元线性回归 Y=B0+B1X1+B2X2+B3X3的一般形式来计算。 2.计算程序 MCl:“A”:？→A:“N”：？→N：Lbl 1: M≥N=> GOTO 2:“Y”：？→W： A=2=> GOTO 4: A=3=> GOTO 5: “X1”: ？→X: “X2”: ？→Y：“X3”: ？→Z：Lbl 6:E+W→E：F+X→F：G+Y→G：H+Z→H：W2+T→T：I+X2→I：J+Y2→J：K+Z2→K：XY+L→L：X+Z+O→O：YZ+P→P：XW+Q→Q：YW+R→R：ZW+S→S：T-N-1E2→D：M+1→M：GOTO 1: Lbl 4: “X”: ？→X:X-1→X：X2→Y：YX→Z：GOTO 6: Lbl 5: “X”: ？→X: X2→Y：YX→Z：GOTO 6: Lbl 2:I-N-1F2 →I：J-N-1G2→J：K-N-1H2→K：L-N-1FG→L：O-N-1FH→O：P-N-1GH→P：Q-N-1EF→Q：R-N-1EG→R：S-N-1EH→S：-L÷I→B：LB+J→A：OB+P→M：QB+R→U：-O÷I×O→T：-M÷A→C：K+T+MC→W：S+Q(-O÷I)+UC→X：X÷W→Y：(U-(MX÷W))÷A→Z：(Q-LZ-OY) ÷I→V：EN-1-FVN-1-GZN-1-HYN-1→E▲V▲Z▲Y▲VQ+ZR+YS→F： (F÷D)▲F▲D-F▲D▲F÷3▲(D-F)÷(N-4)→P▲F÷3÷P 3.应用实例 3.1  某自变量X1、X2和X3与因变量Y的观测值见表1，样本数7，试建立三元回归模型。并对模型进行检验。 表1 样本资料观测值 编号 Y X1 X2 X3 1 16 37 68 0.74 2 26.1 40 74 2.12 3 21.4 42 63 2.1 4 26.5 36 72 3 5 24.3 43 69 1.67           计算操作过程 鍵盘操作 显示 说 明 prg N EXE A? 启动程序，询问选择第几个回归方程？ 1 EXE N? 输入A，询问样本数？ 5 EXE Y? 输入N，询问因变量？ 16 EXE X1 输入Y，询问第一个自变量？ 37 EXE X2 输入X1，询问第二个自变量？ 68 EXE X3 输入X2，询问第三个自变量？ 0.74 EXE Y? 输入X3，继续询问下一个因变量？ … … … 1.67 EXE -47.2458 输入最后一个X2，显示回归参数B。 EXE 0.62353 显示回归参数B1。。 EXE 0.54886 显示回归参数B2。 EXE 3.85907 显示回归参数B3。 EXE 0.99719 显示复相关系数R。 EXE 74.5914 显示回归平方和。 EXE 0.42056 显示残差平方和。 EXE 75.012 显示总离差平方和。 EXE 24.8638 显示回归方差。 EXE 0.4206 显示残差方差。 EXE 59.1208 显示统计量。       计算结果是： I.回归模型：Y=-47.2458+0.62353X1+0.54886X2+3.85907X3。 II.复相关系数：R=0.99719。 III.方差分析见表2。 表2 方差分析表 误差来源 离差平方和 方差 F 回归 74.5914 24.8638 59.1208 残差 0.42056 0.4206   总的 75.012         3.2 某林分材积生长率和平均年龄的调查结果见表3。试用三次多项式D=B0+B1 (1/A)+B2(1/A)2+B3(1/A)3拟合数学模型，并进行检验。 表3 林分调查原始记录 材积生长率 38.1 18.6 9.8 3.3 1.5 1.1 林分年龄 8 13 18 23 28 30               计算操作过程 鍵盘操作 显示 说 明 prg N EXE A? 启动程序，询问选择第几个回归方程？ 2 EXE N? 输入A，询问样本数？ 6 EXE Y? 输入N，询问因变量？ 38.1 EXE X? 输入Y，询问自变量？ 8 EXE Y? 输入X，继续询问下一个因变量？ … … … 1.1 EXE X? 输入y，询问自变量？ 30 B EXE -3.9131 输入x，显示回归参数B0。 EXE -53.826 显示回归参数B1。 EXE 6809.31 显示回归参数B2。 EXE -29525.1 显示回归参数B3。 EXE 0.99927 显示复相关系数R。 EXE 1032.82 显示回归平方和。 EXE 1.5098 显示残差平方和。 EXE 1034.33 显示总离差平方和。 EXE 344.27 显示回归方差。 EXE 0.7549 显示残差方差。 EXE 456.058 显示统计量。       运行结果是： I.回归模型：PV=--3.9131-53.826/A+6809.31/A2-29525.1/A3。 II.复相关系数：R=0.99927。 III.方差分析见表4。 表4 方差分析表 误差来源 离差平方和 方差 F 回归 1032.82 344.27 456.058 残差 1.5098 0.7549   总的 1034.33         3.3 某林分平均胸径与平均年龄的实测值见表5，试用模型：Y=B0+B1X+B1X2+B2X3 拟合回归方程，并进行检验。 表5 林分调查原始记录 平均胸径 15.1 14.8 13.8 11.7 8.4 2.1 平均年龄 30 25 20 15 10 5               计算操作过程 鍵盘操作 显示 说 明 prg N EXE A? 启动程序，询问选择第几个回归方程？ 3 EXE N? 输入A，询问样本数？ 6 EXE Y? 输入N，询问因变量？ 15.1 EXE X? 输入Y，询问自变量？ 30 EXE Y? 输入X，继续询问下一个因变量？ … … … 2.1 EXE X? 输入y，询问自变量？ 5 EXE -6.933 输入x，显示回归参数B0。 EXE 2.1658 显示回归参数B1。 EXE -0.07389 显示回归参数B2。 EXE -0.00087 显示回归参数B3。 EXE 0.9997 显示复相关系数R。 EXE 125.46 显示回归平方和。 EXE 0.08587 显示残差平方和。 EXE 125.55 显示总离差平方和。 EXE 41.821 显示回归方差。 EXE 0.04294 显示残差方差。 EXE 974.017 显示统计量。       运行结果是： I.回归模型：-6.933+2.1658 X—0.07389X2—0.00087 X3。 II.复相关系数：R=0.9997。 III.方差分析见表6。 表6 方差分析表 误差来源 离差平方和 方差 F 回归 125.46 41.821 974.017 残差 0.08587 0.04294   总的 125.55         参考文献： 吴训锋 任万竹.CASIO 应用及实用程序设计〔M〕.云南：云南大学出版社，1993. 作者简介：姚永兰(1980-    )，女，山西原平市人，2002年毕业于忻州卫生学校，技术员。 门海元(1959-    )，男，山西原平市人，1979年毕业与山西林校，工程师。