103量子论的基本假设

103量子论的基本假设 ?10.3量子论的基本假设 继1925年德布罗衣物质波的假说后，海森伯和薛定谔分别提出适用于微观运动的力学理论，称为矩阵力学和波动力学，以后薛定谔证明了这二个理论的等价性，现在统称为量子力学。本节仅对量子力学的基本思想和原理作一简明介绍。 一、波函数 在上节中，我们已经给出能量表象中，具有分立本征值的波函数概念，这里将补充讨论坐标表象中的具有连续本征值的波函数。 (1)自由粒子的波函数 一个自由粒子有动能E和动量p。其对应的德布罗意波具有频率和波长，或者用角频率和波矢量来表示 ;频率为ω 波矢为k的,,E,,k,p, 波，应是一个单色平面波，它可以写成复数形式 i,Et,p,r，，，，,,it,k,r,，，,r,t,Ae,Ae k 称为自由粒子的波函数，它是一个动量为的本征态，在坐标表象中，对应p,(r,t),(r,t)kk的动量本征值可以是连续值。 p i,，，Et,p,r,(2)一般粒子的波函数 自由粒子的波函数{}构成了一个正交完备的基底，任意e 其它函数，都可以按这个基底展开。我们定义一般的波函数为自由粒子波函数的线性组合 ,(r,t),C,(r,t) (10-3.1) ,kkk ,*3其中，，在坐标表象中，两个波函数的内积定义为 C,,(r,t),(r,t)dxkk,,,,,3 (10-3.2) ，，,,,,,,dx,,, (3)坐标表象中波函数的意义 1926年玻恩(Born)针对电子的波动性，提出概率密度波的解释，在电子的衍射实验中，记录电子束强度的是分布在各散 射方向角电子的数目，每个入射电子的晶体面，将向任意方向 反射而去，这是一个不确定的问题，但大量的电子在晶体面反 射后却有确定的分布数目。这一分布数目反映波的强度，而波 ,的强度是与波振幅的平方成正比的，即 dNNd(),,,,,。 d,dN一般地，在空间附近体积内，粒子的数目可写成 r 2 (10-3.3) dNNd,,, dN12显然，称为粒子数的概率密度，因为，每个粒子落,,Nd,图10-3-1玻恩 dN,(r,t)d,入内的概率为。实际上，波函数就是力学量坐标 N ,(r,t)的本征态，的取值是连续的，依照上节给出的波函数含义，可以得到对波函数完rr 全相同的解释。 量子力学关于波函数的假定可归结为: ,(r,t)(i) 波函数是描述微观粒子运动状态的，其本身并无直接物理含意，它的物理含意是 22通过表现出来的，是粒子在t 时刻，在附近出现的概率密度。量子力学不能回答r,, 某时某粒子处在何处，而只能回答某时刻某粒子以确定的概率出现在某处。如t时刻粒子出 183 2现在附近d,体积内的几率为d,，所以波函数不仅能把对粒子与波的描述统一起来，r, 同时以概率幅(或概率密度幅)的形式，描述了微观粒子的运动状态。 ,dN2(ii) 波函数满足标准条件 首先满足归一化条件 ， 1,,,,d,,N,, 它的意义是，取一切可能本征值的概率为1，对坐标的本征值来说，即在整个空间找到粒r 子的概率为1。此外，波函数还满足有界，连续可微且其一阶导数也是连续可微的条件。 态叠加原理(principleofsuperpositionofstates)是量子力学的一个基本原理，它可以表述为:如果,,,,等都是体系的可能状态，那末，它们的线性叠加态也是这个,,？,？12n 体系的一个可能状态。从态叠加原理的表述就可以看出，这一原理是“波函数可以完全描述一个体系的量子态”与“波的叠加性”这两个概念的概括。 0-1-6所示的电子双缝衍射实验中，用为了理解态叠加原理的深刻含义，在图1,表示电子1穿过狭缝1(此时缝2关闭)到达屏的状态，用表示电子穿过狭缝2(此时缝1关闭)到达屏,2 的状态，而用,表示电子同时穿过1和2两个狭缝到达屏的状态。根据态叠加原理，,可以写成是,和,的线性叠加，即 12 ,,,,，cc, (10-3.4) 1122 其中c和c是复数。由此可得，电子在屏上任意一点P出现的概率密度为 12 22 ,,,,，cc1122 ,，，(****)()cccc,,,, 11221122 22,，，，cccccc,,,,,,****. (10-3.5) 112212121212 2,上式表明，电子穿过双缝后在P点出现的概率密度，一般并不等于电子穿过狭缝1到 22c,c,达P点的概率密度与穿过狭缝2到达P点的概率密度之和，而是等于它1122 们两者之和再加上干涉项。电子衍射图样[见图10-1-6]的产生证实了干涉项的存在。 按照量子力学的态叠加原理，如果,,,,等都是体系的可能状态，那末它们的线,,？,？12n 性叠加态 ,,,,,，，，，ccc？？ ,c, (10-3.6) ,1122nnnnn ccc,,,,？？也是这个体系的一个可能状态，其中的系数为复数，它们应使,与,，112n ,都满足归一化条件。在,，,正交归一，且,也已归一化的情况下，模方 ,？,？212 222ccc,,,,？？ 12n ,,,,,,,？？分别表示,态的粒子处在各态的概率。实际上，在式(10-3.6)中将任一波12n 函数,(r)展开为各个不同动量的平面波的叠加，所根据的正是态叠加原理。只是由于粒子动量分布的连续性，应将式(10-3.6)中的求和改成积分。如果把粒子的波动性仅仅理解为概率分布，我们就会把打开双缝后的概率分布写成两单缝情况下的概率分布的叠加，即 22c,c,+ 1122 因为按照经典统计理论，互相排斥的事件中之任何一件发生的概率，等于每个事件单独发 184 生的概率之和。但是，在量子力学中，态叠加原理告诉我们，必须采用带有相位的复值波函数或概率幅叠加的法则，而不能应用概率叠加的法则。因此，在量子力学中，必须牢牢把握住波函数或概率幅这一基本概念。狄拉克在1970年曾经说过，我们在原子理论中所得到的概率，是作为一种更加基本的量的数值的模方而出现的，这种量叫做概率幅。存在这种概率幅的直接结果，就是引起了充满整个原子世界的干涉现象。 还应该注意到，量子力学中的态叠加原理是一个与测量密切联系在一起的基本原理，它与经典波叠加概念的物理含义有本质的不同。为了说明这一点，我们先假定体系处在,描述1 f的态下，这时测量力学量所得的结果是一个确定值.我们把,这样的态称为力学量FF11 f的本征态(eigenstate)，而把的本征值(eigenvalue)。现在，如果我们又假称为力学量F1 f定当体系处在,描述的态下时，测量所得的结果是另一个确定值.那么，在 F22 ,,,,，cc (10-3.7) 1122 ff所描述的状态下，测量力学量所得的结果既可能是也可能是(但不会是另外的值)，F12 ff而且测得结果为或的相对概率是完全确定的。于是，量子力学中的这种态的叠加，12 导致了线性叠加态下观测结果的不确定性。可以认为，处在态,的粒子，部分地处于本征态 f，部分地处于本征态.只有这样才能理解为什么测量力学量时有时得到，有时得,,F121f到，而这从经典概念来看是无法理解的。在经典力学中，当谈到一个波由若干个子波叠2 加而成时，只不过表明这个合成的波含有各种成分的子波而已，其性质是完全确定的。 例1、什么是波函数，试作一小结。 解答: (1)波函数是描述微观粒子运动状态的态矢量，记为; , (2)波函数的实质内容是它可以给定被其描述的状态所对应物理量的取值及其取值的概率，因此，波函数的实质就是概率幅(或概率密度幅); (3)波函数有两类:一类是本征态，本征态描述对应物理量有确定值的量子态，同一物理量的不同本征态构成一个正交归一完备基矢组，张成一个态矢量空间，称为Hilbert空间;另一类是叠加态，叠加态描述对应物理量无确定值的量子运动状态，但是叠加态可按本征态展开，其展开系数是叠加态矢在本征态矢上投影的分量，叠加态就是用这些分量模的平方来确定它所对应物理量取值的概率，所以叠加态矢在本征态矢上投影的分量也被称为概率幅。 ,,c,例如:设是一组本征态基矢，是叠加态，则展开为 ,,{,},iiii 就是在基矢上的投影分量，如果本征态对应的物理量有确定值为，则叠,{c}{,},fiiii 2加态对应物理量取值的概率为。 |c|fii (4)波函数可以相差任意一个常数因子和任意一个常相因子。 c1,,,(x,t),,(5)波函数的表示方式:函数形式;矩阵形式;Dirac符号形式 ,,,,c2,, ,,,,nlm,F。 185 例2、如 果 粒 子 1 处 于 ,, 态 ， 那 么 由 粒 子 1 和 粒 子 2 组 成 的 体 系 的 态 ， 粒 子 2 处 于 12 态 是 否 是 ,, +12? 解: 由 粒 子 1 和 粒 子 2 组 成 的 体 系 1 + 2 的 态 不 是 ,+, . 我 们 知 道 ， 态 叠 加 原 理 指 12 的 是 同 一 体 系 自 身 状 态 的 叠 加 ， 而 复 合 体 系 1 + 2 的 最 简 单 的 态 也 是 , 和, 两 者 的 12 积 ， 即 ,,,(,)()()rrrr ,. 121122 在 一 般 情 况 下 ， 对 于 由 N 个 粒 子 组 成 的 体 系 ， 它 的 波 函 数 可 表 为 ,(,,...,)rrr , 12N rrr(,),(,),,(,)xyzxyzxyz, ,,？其 中 分 别 表 示 各 个 粒 子 的 空 间 坐 标 。 11112222NNNN 这 时 ， 2333,(,,,)rrr ddd？？rrr 12NN12 表 示 粒 子 1 出 现 在 ( r， r + d r) 中 ， 粒 子 2 出 现 在 ( r， r + d r) 中 ，？ 粒 子 N 出 现 在 111222( r ， r + dr ) 中 的 概 率 。 NNN 例3、 如 果 我 们 知 道 粒 子 分 别 以 概 率 1 / 3 和 2 / 3 处 于 能 量 为 E 和 E 的 态 , 和 , ， 1212那 么 该 粒 子 的 态 , 是 否 是 , 1323//,,，12 解: 该 粒 子 的 态 , 不 一 定 是 . 因 为 我 们 并 不 知 道 , 和, 之 间 的 1323//,,，1212 相 位 关 系 ， 所 以 只 能 写 成 ii,,12, ,,,,，1323//ee12 其 中 , 和 , 是 待 定 常 数 ， 相 位 差 , , , 是 一 个 具 有 物 理 意 义 的 量 。 处 于 上 述 态 , 1212 下 的 粒 子 的 空 间 概 率 密 度 分 布 为 22ii,,12 ,,,,()/()/()rrr,,，1323ee12 22,，(/)()(/)()1323,,rr 12 ii()(),,,,,,,1212. ，，(/)[()*()*()()]23ee,,,,rrrr1212 布置作业 1、 试说明量子论中概率幅波、概率密度幅波与概率波、概率密度波所描述的物理图像。 ,(x),2/asin(,x/a)(0,x,a)2、 已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为:，求 发现粒子概率最大的位置。 二、薛定谔方程 微观粒子运动状态用波函数描述，波函数随时间变化，表示粒子运动状态随时间变化。对 于微观粒子，波函数将遵守一定规律随时间变化。 (1)自由粒子波函数满足的方程 i,，，Et,p,r,，，,r,t,Ae由自由粒子波函数, 得 k 186 2p2xiii， ,,,,,,,,,,,,,E,pxkk2tkkxkxkiii,,,2p22222利用算符 ， 有 ,,，，,,,,,,,,xxxkk1232,2,22又 故有 Epm,/2i,,,,,,,tkk2m (2)一般粒子在势场V(r)中运动，则波函数满足 2,2 (10-3.8) i,,,,,,,，()Vt2m 方程(10-3.5)称为薛定谔方程，它是量子力学的第二个重要假 定，分离变量 ,(r,t),,(r)f(t) 得 22 idfdtfmV,,,,/(/),,,，2 2df1,2以1/乘之有 ,f,i,,,，()V图10-3-2薛定谔 ,fdtm2 它等价于方程组 df (10-3.9) i,,Efdt 2,2 (10-3.10) VE(),,，,,,2m 其中是常量。 E i由(10-3.9)式解得 f,,exp()Et, 而(10-3.10)式称为定态薛定谔方程，对于自 由粒子，定态方程为 2,2 (10-3.10) E,,,,,2m 方程(10-3.8)是处理量子力学的基本方程，已Java 图10-3-3学件自由粒子的波函数 知某时刻的波函数(初始条件)，便可求解任 意时刻的波函数，求解定态薛定谔方程，还需要一些边界条件。 薛定谔方程(10-3.8)要求波函数,必须是复数，这是由于方程(10-3.8)的左边显含虚数所致，因为若为实数，则左、右两边一为虚、一为实，薛定谔方程不可能成立。 i, Java学件自由粒子的波函数，给你提供了一个复数波函数的几何描述 三、力学量算符 量子力学中，粒子出现具有概率性，因而带来力学量的概率性或不确定性。与经典力学不 ,同，量子力学的力学量是算符，而不是标量，矢量等常规量。如能量算符记为，又称哈H ,,密顿算符，，动量算符。 ,,,Hipi,,,,t 算符的数学特性及表示的物理含义可从以下几点分析: (1)力学量算符的本征方程、本征值和本征态 , 对每个算符都有对应的本征方程如称为能量算符的本征方程，它表示当,,,HEnnn ,作用在波函数上以后，得到一个新的波函数，它与只相差一个常数因子，H,E,,Ennnnn ,如果把看成一个矢量，那末，在作用下，矢量的方向保持不变，只是增长到倍。,,HEnnn 187 能量本征方程表示的物理意义是，当粒子处在态时，则实验测量该粒子有确定的能量。,Enn ,,HH我们称为能量算符的本征态，为的对应态的本征值，类似地，若 ,E,nnn ,，则是,的本征态，处在态的粒子有确定的动量,是对应的,的,,,,p,pp,pppkkkkkkkk本征值。 (2)力学量算符的平均值 当粒子处在某力学量的非本征态时。则实验测量该力学量 ,时，其值是不确定的。如粒子处在的非本征态，则测量粒子的能量得不到一个确定的H, ,值。 设，其中是的本征态，即将矢量按基矢展开。 H,,{},,,C,nn,nnn,,3,,定义平均值 (10-3.12) EHHdx,,,,,,,,,,,,,,3,,一般地，有 (10-3.13) FFFdx,,,,,,,,,,,, 当粒子处在态，实验测量的平均值正是(或)，利用基矢的正交归一性，平均值EF, 还可以用本征值来表示 ,,,,3,3, = E,,,dxCCE,,Hdx,,nnmmm,,nm,,,, ,2,,3 ,CCEdx,, = (10-3.14) CE,,nmmnmnn,nm,n,, ,,这一表达式说明，当粒子处在态，粒子是以不同的概率时而处在，时而处在，„,12 ,等各个本征态，而态正是以不同概率出现各个本征态的相加态。在我们测量能量时，,n EE,每次只可测到其本征值，我们测量的概率正是相加态中本征态出现的概率,nnn 22E,C因此，平均值 。 CEn,nnn (3)力学量算符的厄密性 实验中测得的力学量应为实数，即本征值应为实数，因而平均值也是实数。这就要求力学量算符必须是厄密的。实际上，由 , (10-3.15) ,,,FFnnn****ˆ，，F,,F,,F, (10-3.16) nNNNN , 分别以和乘以(10-3.12)和 (10-3.13)式，再积分则有 ,,nn ,,33,, ,,,,FdxFdx,()nnnn,, ,,一般定义是厄密的，是满足 FF ,,33,, (10-3.17),,,,FdxFdx,(),, ,, (4)力学量算符的对易关系 如果，算符，满足条件 FG ,,,, (10-3.18) (FGGF,,),0 ,,,,,,,,,,或记为 ，其中，=，是任意波函数。则，称为对易FG,[FG,],,0[FG,]FGGF, ,,算符。当粒子处在的本征态，则也是的本征态。事实上，若 GF,, ,,,,,, 于是 ,,,,,,,,GgGFFGgF ,,,,这表明亦是的对应本征值g的本征态 显然 ，所以也是的本征态。 GFF,,,,Ff, ,,,, 物理上解释为，当粒子处在，共同的本征态中，，二力学量可以同时确定，FGFG 188 ,,,,,,实验能同时测量出确定的，的值g，。 反之，若，则，不可对易，GFFG[GF,],,0f ,,,,此时，无共同本征态。，不可能同时测定，一个称为测不准关系的量子力学关系FGFG 式正是描述这一物理现象的。例如 iiEtPxEtPx,,,,()(),,,,,,xpxpexpe,,,k iiEtPxEtPx,,,,()(),,,,pxixeixpe,,,,,,，,,()()kx ii ()(),,,,EtPxEtPx,,,于是，有 , ，, peie],,[x) (a即 ，, ,[xpi],,,0 xx 一般地，， ,,xp,,/2 ,其中 , ,xxx,,,,ppp,, b() 我们用图示法说明测不准原理的物理意义。 , (i) 图10-3-4(a)是一个弥散在整个空间的平面单, 色波，其x是不确定的，但它有确定的波长λ， 因而有确定的动量p=h/λ，图10-3-4(b)是一个图10-3-4 测不准原理的物理意义 确定空间位置的波包，其波长λ是不确定的， 因而无确定的动量。 (ii) 在电子的单缝衍射中，当电子达到缝d时， 其位置是确定的，但此时电子向何处去，其方向、速 度、动量都不确定了。 四、全同粒子不可区分原理 完全相同的经典粒子，可借助其轨道来区分它们，然 而全同微观粒子，由于它们用波函数重叠空间部分， 我们便无法区分它们了(如图10-3-5所示。)全同微 不可区分区 观粒子的这种不可区分性，要求系统的波函数有一定 图10-3-5 全同粒子不可区分 的交换对称性。 例如二个玻色子组成的系统波函数具有对称性 ,(r,r),(,(r),(r)，,(r),(r))/21211221221 而二个费米子组成的系统，波函数具有反对称性 ,(r,r),(,(r),(r),,(r),(r))/21211221221 ,,0假设，则，以二个费米子同时处在同一状态的几率为零。 ,,,12 泡利不相容原理就是由此得到的。 量子力学的基本思想可以归结为一个对应原理:经典自由粒子对应量子平面几率幅波，经典力学量对应量子力学量厄密算符，经典力学实验测量的可能值，对应量子力学量算符的本征值，经典力学量实验测得的平均值，对应量子力学量算符的平均值，此外，关于力学量随时间的变化也有相应的对应等等。不过，量子与经典也有找不到对应的地方，例如量子的隧道效应，就没有经典的对应。关于对应原理后面还有更深入的讨论。近代有一种观点认为量子理论应包含经典或经典是量子的一种特例或极限近似，由于在宏观范围内出现了量子退相干，使得量子的相干，特性消失而过渡到经典。 189 ,(x),Ax(a,x)例1 阱宽为[0，a]的1维无限深势阱中运动的粒子状态由波函数描写。 求归一化常数A。 aa2222解 由归一化条件，，有 |,(x)|dx,1Ax(a,x)dx,1,,00 a2530a2a1a23452A,A(x,x，x),1A,1积分得:，即，所以， 5a345300 ˆˆˆL,r，p例2 与经典粒子的角动量对应，量子力学中粒子的角动量是算符写成L,r，p ˆˆˆˆˆˆˆˆˆL,yP,zP,L,zP,xP,L,xP,yP， 分量形式，xzyyxzzyx ˆˆˆˆˆˆ[LP],[LP],[LP],(1)求对易子 xyyzzx ˆˆˆˆˆˆ[LL],[LL],[LL],(2)求对易子 xyyzzx ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[LP],LP,PL,yPP,zPP,PyP，PzP,0解 (1) xxxxxxzxyzxzxy 2ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[LP],LP,PL,zP,xPP,PzP，PxPyxyxxyxzxxxxz ˆˆˆˆˆ,,xPP，(xP,i,)P,,i,Pzxxzz ˆˆˆˆˆˆ[PP],0,[xP],0i,j[xP],i,这里利用了()和。 ijijii ˆˆˆ[LP],i,P同理可得 zxy 第(2)问留给读者自己去完成。 ˆF例3、力学量的统计平均值有几种不同计算方式 ˆF,,c,(1)已知粒子的状态,，将,按的本征态展开，则 {,},iiii 2ˆF,,,,F,,,,c,,Fc,,,|c|F，其中是对应的本征值。 {F}{,},,,iiiiiiiiiii (2)已知粒子的状态直接利用积分公式 , ˆ F,,F,dx*, t,0如时一维自由粒子波函数为 5/43/42a2ipx/,,ax0,x,xee ()1/4, 动量的平均值 ,,，p,,(,i,),dx ,,x,, 190 ,5/23/22222ip2a，，,ax,ax,ax,ax20,,,，xe(i,)e2axexedx 1/2,,,,,，，,, ,5/23/22p2a32,2ax0(由对称性奇函数的积分为0) ,,,i(x,2ax，ix)edx,1/2,,,, ,5/23/22a22,2ax,pxedx 01/2,,,, 1,5/23/22a233/2,,y2,p(2a)yedy,p,(),p 0001/21/2,,,2,, (3)利用矩阵表示的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 求 ，ˆ F,,F, 10,,,,如:电子的自旋只有二个可能态,,,,已知自旋Z分量算符x,,x,,11,,,,,01,,,,22 10,,,， ,S,,z,,0,12,, ,,2/2,,X,求电子处在自旋态时的自旋平均值 ,,2/2,, ,,10,,2/2,，,,,,(2/22/2),,SXSXzz,,,,0,122/2,,,, ,,2/2,,,,(2/2,2/2) ,,22/2,, 11,,,,,,0,,222,, 布置作业 ,61、 一个光子的波长3 000Å，如果测定此波长的精确度为10，试求此光子的位置不确定量。 ,3hhc，eV,AeV12.4010p,,,,解 该光子动量4.13() 3,,c，cc310此光子的动量不确定量(仅指数值)为: ,,hheV,,,8,8,8,ppp,,|,|,,,,，10,4.13，10,4.13，10() 2,,,c, chchc,,故 ,x,,,,,23.9mm ,,2,p2c,p4c,p4c,p 191 xx4,,22、 一维无限深势阱中，粒子处在态，(1)将按能量本征态展开;,sincos,,aaa 2xx,3,5,1()(2)求能量的可能值及概率;()(3)求能量的平均值。() ,sin，sin28maaa2 ˆ,L,,i,,3、 求角动量分量的本征态和本征值，其中是绕轴转动的幅角 zzz, ?10.4定态薛定谔方程 我们以一维势阱为例，学习如何求解定态薛定谔 方程。 一、一维无限深势阱 自由电子在金属中的运动，可以简化为一个在一 维无限深方势阱中运动的电子，当电子处在恒定的能 图10-4-1一维无限深势阱 量状态时，薛定谔定态方程为 2,d2m，(E,V),,0(10-4.1) 22dx, 分段表示为 2d,2m，，,,() (?) E0(,),,0,22,dx 2d,2m，,(?) E0(,)0a,22,dx (?) 同(?) ( a,), 22在(I)，(III)段，为保证存在且有限，则有解?0所以(I)，(III)段，粒子,ddx,/ 不可能出现，物理上表明电子不能逃出金属体。因为电子要越过无穷大的势才能逃出。 在(II)段， 2d,m222,,Akxsin，,0取 ， 则方程有形式 ，其解为，边界条件要kkE,,22dx, kan,,kna,,/求x=0处和x=a处有 Aksin,,00，Akasin,0， 即 ，或 222222于是 (10-4.2) Ekmnma,,,,//22,n ,,,Anxasin(/) ()0a ,,0 (其余) 再由归一化条件 ,a222,,,,,,,dx,Asin(n,x/a)dx nnn,,,0 2,aA/2,1 Aa,2/求得 (10-4.3) 边界连续条件和归一化条件，都是波函数的标准条件，由这些条件能自然得到量子化的能 ,()x级分立，这是量子力学与旧量子论不同的地方。我们将的波形图及对应能级图作出n 192 (见图10-4-2)，并作如下讨论: 2En(1)能量?，随能级增大，能级之间的差亦增大。 n (2)波函数 n=1 2,,,,(cos/)/12xaa 1 n=2 2,,,,(cos/)/14xaa 2 n=3 2,,,,(cos/)/18xaa 3 当n??，粒子概率密度波成一无穷振荡型，其平均值为1/a，这正是一个经典粒子在无限深势阱中的运动情况，设经典粒子在底宽为a中来回碰撞，并具有恒定能量E，则其速度为，找到粒子的概率与成正dxvdt,v ,,Cvdta/比，概率密度为，显然，是比例 ,C T 系数，且 其中 。从量子力学Cvdt,1Tav,/,0 处理一维无限深势阱问题，能使我们了解和掌握量子理 论处理问题的基本思想和方法。 图10-4-2稳定的驻波能级 二、一维方势阱 对于一维方势阱有 ,0x,a2,V，，x ,Vx,a20, 为阱宽，为阱势高度，当粒子能量时，薛定谔方程为 VE,Va00 2,,d2m,,V,E,0x,a2，，，，0,22,dx, , 2,,d2m，，xa,2,，E,,022,dx, ，，2mV,E2m0,k,Ek,令 22,, 2,,,,,,,,0,2kxa，，方程简化为 ,2,,，，,，k,,0x,a2, ,,kx,,Aexa2,x,a2,在区域有解 ,e,kxBex,,a2, x,a2在区域有解，对偶宇称情况(即)。 ,~sinkx,coskx，，，，,,x,,xi x,a2由处的波函数及其导数的连续性可得 193 ,,,,ie, ,,iea2a2 ，，katgka22ka,于是 或ktg,k2, ka2,kakaka tg,222 令 E ,kakaka , y,tgy,12图10-4-3 数值解法确定能量E 222 ,k利用计算机绘图可找到与的交点从而确定k和的可能值，因而也就确定了能yy21 量E的可能值(见图10-4-3)。 ,kakaka,ctg,对于奇宇称的情况类似有条件 并由此能确定E的可能值。 222 例1 一维方势阱能量本征值的确定。 ,kakaka解:由能量方程 tg, 222 2mk,E,bE又 2, ，，2mV,E0,k,,b(V,E) 02, bE2V,E,Etg(a)于是有 02 Java 图10-4--4学件一维方势阱能谱 2m其中 b,2, 21/22写成叠代形式E,(4arctg((V,E)/E))/(ba) 0 N,100000,i,1,N取 其中，可求得本征值的数值解。 E,iV/N0 ,kakaka,此外，也可以用作图法，令;以E为横轴用计算机绘出曲线和yy,tgy,121222直线，其交点对应的E值即为能量的本征值，实际上作图法的效果最佳。 y2 194