拉格朗日中值定理的应用

拉格朗日中值定理的应用 目 录 摘 要……………………………………………………………………………………………1 关键 字……………………………………………………………………………………………1 Abstract…………………………………………………………………………………………1 KeyWord…………………………………………………………………………………………1 0前言……………………………………………………………………………………………1 1 对拉格朗日中值定理的理 解 ……………………………………………………………1 1.1承上启下的定 理……………………………………………………………………………1 1.2定理中的条 件………………………………………………………………………………1 1.3定理中的 ……………………………………………………………………2 1.4定理的意 义…………………………………………………………………………………2 2 拉格朗日中值定理的证 明………………………………………………………………2 3 拉格朗日中值定理的应用………………………………………………………………3 3.1求极 限………………………………………………………………………………………3 3.2证明不等 式….………………………………………………………………………………5 3.3证明恒等 式…………………………………………………………………………………8 3.4证明等 式……………………………………………………………………………………9 3.5研究函数在区间上的性 质 ………………………………………………………………10 3.6估值问 题 …………………………………………………………………………………11 3.7判定级数的收敛 性 ………………………………………………………………………12 3.8证明方程根的存在 性 ……………………………………………………………………13 3.9误用拉格朗日中值定 理 …………………………………………………………………14 结束 语……………………………………………………………………………………… …15 参考文 献………………………………………………………………………………………1 6 致 谢……………………………………………………………………………………… ……16 拉格朗日中值定理的应用 学生姓名:李 苹 学号:20075030274 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师:李 柱 职称:助教 摘要:拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之 间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多 研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 。 关键词:拉格朗日中值定理;应用;极限;不等式;收敛;根的存在性 The Application of Lagrange’s mean value theorem Abstract:The Lagrange’s mean value theorem is one of basic theorems of differential calculus and it also is communication function and its derivative bridge. There is no special explaination about the applications of Lagrange’s mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. In order to make the reader understand Lagrange’s mean value theorem, this paper first analyzed the essence of the theorem and then from textbook proof Lagrange’s mean value theorem thoughts (structure method of auxiliary function), puts forwards a simpler auxiliary function. Thus make the proof of Lagrange’s mean value theorem simplify. According to this theorem and the basis of others study, finally summarized all the aspects application of Lagrange’s mean value theorem. It is quite important for understanding and mastering Lagrange’s mean value theorem and also have a significant and profound significance for further study of mathematics. Keywords:Lagrange’s mean value theorem; Application; Limit; Inequality; Convergence; Roots of existence 0前言 1 函数与其导数是两个不同的的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征， 如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系， 微分中值定理就是这种作用.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯 西定理、泰勒定理，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质 推断函数的整体性质的工具。以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定 理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了 函数值与导数值之间的定量联系，因而可用拉格朗日中值定理通过导数去研究函数的性态，拉格朗日中值定理的主要作用在于理论分析和证明. 拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。在高等代数与数学分析中的一些理论推倒中起着很重要的作用。课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结，所以研究拉格朗日中值定理的应用，力求正确地理解和掌握它是十分必要的. 拉格朗日中值定理:若函数f满足如下条件: f在闭区间上连续; (1) (2) f在开区间内可导， 则在内至少存在一点，使得f’。 对于此定理的应用， 1 对拉格朗日中值定理的理解 拉格朗日中值定理是微积分的基础定理之一，在理论和应用上都有着极其重要的意义。该定理的叙述简单明了，并有明确的几何意义，很容易简单掌握，但要深刻认识定理的内容，特别是点的含义，就有较大难度。熟练掌握定理的本质，会在解题时游刃有余，若对定理的实质了解不够深刻的话，会进入不少误区。下面从四个方面对定理进行分析，以便更好的掌握定理。 1.1 承上启下的定理 拉格朗日中值定理是导数概念的延伸，是导数各种应用的理论基础。在讲完导数内容后，介绍导数的应用是顺理成章的。而正是这一定理使得导数概念与其应用有机的联系起来。 例:函数，有，当时，， f(x)单调增加;当时，，f(x)单调减少;当时，， 可见，函数的单调性的判定，是否取得极值可以用它的导数符号来确定。一般在某个区间上， 2 若，则f(x)单调增加，若，则f(x)单调减少，若，则f(x)可能 ，在改点x处取得极值(此亦为定理)。又如例中，如果而 ， ，即函数在某个闭区间端点的函数值之差同该区长度从而有 之比等于该区间函数在闭区间 上不连续，在开区间(-1,1) (1) 的所有实数解中属于区间的那些解，而这些解的个数正是定理中的个数。 例 求函数在区间(-1,1)内的 解:显然函数在该区间内满足定理的条件,所以 即区间内任何一点都可取为，这样的有无穷多个。但值得注意的是方程(l)一般不是简单的代数方程，不一定能解出，但这并不影响定理的应用，因为定理的重要性不在于一定要知道或者解出，而是在于确定了的存在性。 1.4 定理的意义 (1)几何意义:定理中 是连接曲线上两点A(a,f(a)),B(b,f(b))的弦的斜率， 是过曲线上一点的切线的斜率。那么，定理就可解释为在曲线上至少存在一条平行于弦AB的切线。[1] (2)物理意义:如果s(t)表示物体的运动规律在定理的条件下，s’(t)表示物体运动到时间时的瞬时速度;表示物体从时间到平均速度，那么 表 示物体在运动过程中，至少有那么一个时刻，其瞬时速度等于它的平均速度。 2 拉格朗日中值定理的证明 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理，它架起用导数来研究函数性质的桥梁。该定理的证明一直是人们研究的问题。它的证明通常是以罗尔中值定理作为预备定理，为此需要将拉格朗日中值定理的条件转化为罗尔定理的条件，这个转化过程就是要构造一个满足罗尔定理条件的新函数作为辅助函数。 教科书上的证明方法正是通过此思想实现的，但所作的辅助函数不是很容易想到，下面提供一个更易理解、更简单的证明方法以供大家参考。 分析:首先由定理的结论知 则可求 从而可构造辅助函数 证明:先构造辅助函数 再用罗尔定理证明 显然，在连续，在(a,b)可导， 有罗尔定理知，在[a,b]连续，在(a,b)拉格朗日中值定理的应用 拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础，是应用数学研究函数在区间上整体性态的有力工具，拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，如求极限、证明不等式和方程根的存在性等，它在很多题型中都起到了化繁为简的作用。下面通过举例说明拉格朗日中值定理在以上几个方面的应用。 3.1求极限 [3]例1 求极限lim 解:函数在或上运用拉格朗日中值定理得 (介于x与sinx之间) 当时，，由介值定理可知 则 原式 解题思路:由这一形式联想到拉格朗日中值定理的一般形式，从而构造 函数f，在运用拉格朗日中值定理求极限。 例2 设f’’(x)连续，f’’(a，有公式 ) (1) ( 试求时的极限 5 解:对函数f’(x)在或上运用拉格朗日中值定理得 () )得 将此式代入式(1 将按泰勒公式展开得 由式(2)和(3)，得 所以 例3 若函数f(x)在R上可导，极限limf(x)与limf’(x)都存在，则limf’(x)=0。[4] 证明1:应用拉格朗日中值定理，设，则，有 ， 已知极限limf’(x)存在 则 即 证明2:用反证法 ，，假设，不妨设limf，根据极限的保号性，有 , ,或，由拉格朗日中值定理有 22 或 显然，当时，limf(x)不存在，矛盾 6 3.2 证明不等式 (一) 含绝对值的不等式的证明 例1证明,,?,,. 证明:设则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导。 由拉格朗日中值定理可知， 取绝对值 ,,=,,, 因为 , 所以 1,, ,,?,, 例2 设函数f(x)在上可微，且，,f’(x),证明在上，,f(x),其中M是大于零的常数. 证明:要证,f(x),，即要证由,f’(x),可知 若，则。 若，则由拉格朗日中值定理可知， 即 整理得 ，其中 若，则由拉格朗日中值定理可知， 7 ，其中 终上所述:在上，,f(x), 含绝对值的不等式分为两类:一类是在证明过程中对等式两边同时取绝对值，然后利用已知条件中的不等关系，证明含绝对值的不等式成立;另一类是形如,F(X),的不等式，证明这类不等式，即证明形如的双边不等式。 (二)双边不等式的证明 例 设证明 。[5] 证明:设函数，则f(x)在[b,a]上连续，在(b,a)试证不等式 证明1: 令，则 x，由拉格朗日中值定理得 8 *) ( ln 因为 所以 即 证明2 :仍设。则日中值定理，得 1b。在[1.]内对f(x)应用拉格朗xa ln 得 再由 时，,x,,tanx,(等号只有在x=0时成立)例 2 证明 当。 证明:令，则 在区间上，由拉格朗日中值定理，存在，使 整理有 9 ,tan 又因为 x,=,x,,,=,x,,1, , 所以有 ,tan1,,,x,当时等号成立。 上原式成立。 同理可证在区间 3.3 证明恒等式 由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点x1,x2，(不妨设)有 那么若f’(x)恒为0，则有，所以，由x1,x2的任意性可知，f(x)在定义域内函数值恒等。既有下面一个推论: 推论:如果函数f(x)在区间内的倒数恒为零，那么在I内是一个常数，利用这个推论可以证明一类反三角恒等式的题目。[6] 恒等。 例 1证明 证明:令 在时arccos2x有意义，且 在时，(常数)。又取 ) 10 且 所以端点值也成立，有推论有 恒等。 3.4 证明等式 用拉格朗日中值定理证明等式也是它的应用中很重要的一项，证明的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子，寻找机会应用。 例 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)研究函数在区间上的性质 因为拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候我们可以借助其导数， 研究导数的性质，从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识。比如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定理的结论。通过对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要的方法.[8] (一) 证明函数一致连续性 例 证明:若函数f(x)于有穷或无穷的区间(a,b)证明在内单调增加。 在x1,x2之间) 1 x 证明:因 又[lnx]在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件 故 从而有 12 所以，f(x)在时单调增加。 (三)证明函数的有界性 (a,b)内f(x)可导且f’(x)有界，试证f(x)在(a,b)有界 例 设在 证明:任取，有拉格朗日中值定理知 (在x,x0之间) 可得 ,f(x0,,f(x,,f(x0,,,)+,, 式中M是f’(x)在(a,b)内的界，有 ,f(x), 即f(x)在(a,b)内有界 3.6 估值问题. 证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便。特别是二阶及二阶以 上的导函数估值时。但对于某些积分估值，可以采用拉氏中值定理来证明。 例 设f’(x)在[a,b]上连续，且，试证 4 ,f’(x),,f(x,).[9] 证明:若，不等式显然成立 若f(x)不恒等于零，使 中值定理，有,f(x,)=f(c)，在(a,c)及[a,c]上分别用拉氏 f(从而 ,f’’(x)dx,,,f’’(x,, ,,, 再利用 13