初中数学一题多解例题

初中数学一 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 多解例题 篇一:初中数学一题多解题 初中数学一题多解题 例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数 方法一、 设较小的奇数为x,另外一个就是x+2 x(x+2)=323 解方程得:x1=17,x2=-19 所以，这两个奇数分别是: 17、19，或者-17，-19 方法二、 设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x 则有:x-323/x=2 解方程得:x1=19,x2=-17 同样可以得出这两个奇数分别是: 17、19，或者-17，-19 方法三、 设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为: 2x-1,2x+1 1 (2x-1)(2x+1)=323 即4x -1=323 x =81 x1=9,x2=-9 2x1-1=17,2x1+1=19 2x2-1=-19,2x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是: 17、19，或者-17，-19 方法四、 设两个连续奇数为x-1,x+1 则有x -1=323 x =324=4*81 x1=18,x2=-18 x1-1=17,x1+1=19 x2-1=-19,x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是: 17、19，或者-17，-19 例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元;如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱, 解:设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则 2 根据题意，得 ??13x?5y?9z?9.25 ?2x?4y?3z?3.20?1??2? 分析:此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x?y?z的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。 1. 凑整法 ?1???2?，得5x?3y?4z?415.3 ?2???3?，得7(x?y?z)?7.35 ?x?y?z?105. 解1:?3? 答:只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元(下面解法后的答均省略) 解2:原方程组可变形为 ??13(x?y?z)?4(2y?z)?9.25 ?2(x?y?z)?(2y?z)?3.20 解之得:x?y?z?105. 2. 主元法 解3:视x、y为主元，视z为常数，解<1、<2 得x?05.?05.z .?05.z，y?055 ?x?y?z?055.?05.?z?z?105. 解4:视y、z为主元，视x为常数，解<1、<2 得y?0.05?x，z?1?2x ?x?y?z?105.?x?2x?x?105. 3 解5:视z、x为主元，视y为常数，解<1、<2 .?2y 得x?y?0.05，z?11 ?x?y?z?y?0.05?y?11.?2y?105. 3. “消元”法 解6:令x?0，则原方程组可化为 ?5y?9z?9.25?y?0.05?? ? 4y?3z?3.2z?1?? ?x?y?z?105. 解7:令y?0，则原方程组可化为 ?13x?9z?9.25?x??0.05?? ? 2x?3z?3.20z?11.?? ?x?y?z?105. 解8:令z?0，则原方程组可化为 ?13x?5y?9.25?x?0.5?? ? 2x?4y?3.20y?0.55?? ?x?y?z?105. 4. 参数法 解9:设x?y?z?k，则 ?1??13x?5y?9z?9.25??2? ?2x?4y?3z?3.20 ?x?y?z?k?3?? ??1???2??3，得x?y??0.05?4? ?3??3??2?，得x?y?3k?32. ?由<4、<5得3k?32.??005. ?k?105. 即x?y?z?105. 4 5. 待定系数法 解10. 设 ?5? x?y?z?a(13x?5y?9z)?b(2x?4y?3z) ?(13a?2b)x?(5a?4b)y?(9a?3b)z?1? 则比较两边对应项系数，得 ?13a?2b?1?a?1???21 ?5a?4b?1?? 4?9a?3b?1?b???21? 将其代入<1中，得 x?y?z?141?9.25??32.??22.05?105. 212121 附 练习题 用券下载整式乘法计算练习题幼小衔接专项练习题下载拼音练习题下载凑十法练习题下载幼升小练习题下载免费 1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨;5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨,( 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :24.5吨) 2. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元;若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。问若购甲、乙、丙各1件共需多少元,(答案:1.05元) 平面几何 在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法;从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。 “一题多变”的常用方法有:1、变换命题的条件与结论;2、 5 保留条件，深化结论; 3、减弱条件，加强结论;4、探讨命题的推广;5、考查命题的特例; 6、生根伸枝，图形变换;7、接力赛，一变再变;8、解法的多变等。 19、(增加题1的条件)AE平分?BAC交BC于E， 求证:CE:EB=CD: CB 20、(增加题1的条件)CE平分?BCD，AF平分?BAC交BC于F 篇二:初中数学一题多变、一题多解 一题多解、一题多变 原题条件或结论的变化 所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。 例1 求证:顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 变式1 求证:顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 变式2 求证:顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。 变式3 求证:顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。 变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形, 变式5 顺次连接什么四边 6 形各边中点可以得到矩形, 变式6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形, ?? 通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。 一、几何图形形状的变化 如图1，分别以Rt?ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3之间的关系是 S1 C S2 A B C S1 A S3 S2 B A 7 S1 S2B S3 S3 图1 图2 图3 变式1:如图2，如果以Rt?ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是变式2:如图3，如果以Rt?ABC的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为 S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是变式3:如果以Rt?ABC的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为S1、S2、S3，为使S1、S2、S3之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件, 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 你的结论。 变式4:如图4，梯形ABCD中,AB//DC,?ADC??BCD?90?, 且DC?2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是 S2 S1 S3 S1 S2 8 S3C DSS2 S3C D EC D 图4 图5图6 变式5:如图5，梯形ABCD中,AB//DC,?ADC??BCD?90?, 且DC?2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正三角形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是 变式6:如图6，梯形ABCD中, AB//DC,?ADC??BCD?90?,且DC?2AB,分别以DA、AB、BC为直径向梯形外作半圆，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是 上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦;既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。 二、图形内部结构的变化 例2.已知:如图7，点C为线段AB上一点，?ACM、?CBN 9 是等边三角形。 求证:AN=BM 图7 图8 证明:??ACM和?CBN是等边三角形 ?MC?AC,CN?CB,?ACN??MCB??ACN??MCB ?AN?BM 变式1:在例2中，连接DE，求证:(1)?DCE是等边三角形(2)DE//AB 分析:(1)可证?ADC??MEC，则DC=EC,因为?DCE=60?,所以?DCE是等边三角形。 (2)由(1)易证?EDC=?ACM=60?,所以DE//AB 变式2:例2中，连接CF，求证:CF平分?AFB 分析:过点C作CG?AN于G,CH?BM于H,由?ACN??MCB，可得到CG=CH, 所以CF平分?AFB 变式3:如图8，点C为线段AB上一点，?ACM、?CBN是等边三角形，P是AN的中点，Q是BM的中点，求证:?CPQ是等边三角形 证明:??ACN??MCB ?AN?BM,?ABM??ANC 又?P、Q分别是AN、BM的中点 ??BCQ??NCP ?CQ?CP,?BCQ??NCP ??PCQ??NCP??NCQ??BCQ??NCQ??NCB?60? 10 ??CPQ是等边三角形 图7是一个很常见的图形，其中蕴含着很多的关系式，此题还可 适当引导学生探索当点C不在线段AB上时所产生的图形中的一些结论，通过该题的变式训练，让学生利用自己已有的知识去探索、猜想，进而培养了学生思维的创造性。 三、因某一基本问题迁移的变化 例4如图9，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇 供气，问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短, 图9 分析:设泵站应建在P处。取点B关于L的对称点B’,如图1，PB’=PB,要使PA+PB最小只要PB’+PA最小，而两点之间距离最短，连接AB’与L的交点P即是泵站所建的位置。本题特点:一直线同旁有两定点，关键要在直线上确定动点的位置，使动点到定 点的距离之和最短，我们常常把这类问题称作“泵站问题”。 变式1:如图2，在?ABC中，AC=BC=2,?ACB=90?,D是BC的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 图2 解:C、D是两定点，E是在直线AB上移动的一动点，以CA、CB为边作正方形ACBF，则C关于AB的对称点 11 一定是F,连接DF交AB于E,这时EC+ED最小。因为D是BC的中点，在直角三角形FBD中， B A L P B' AF C D B EC?ED?ED?EF?DF?BD2?BF2?22?12?5. 变式2:如图3，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一动点，M、N分别是AB、BC边上的中点，则PM+PN的最小值 分析:M、N是两定点，P是在直线AC上移动的一动点，作N关于AC的对称点G，由于四边形ABCD是菱形，所以G一定在DC上，且为DC的中点，连接MG交AC于P,四边形AMGD为平行四边形，连接PM、 D A BN 12 C PN，则PM+PN最小，PM+PN=PM+PG=MG=BC=1 变式3:如图，梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD=AD=1, ?B=60?,直 线MN为梯形的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为 解:C、D是两定点，P是直线MN上一动点，因为图形ABCD中， AD//BC,AB=CD=AD=1,所以四边形ABCD为等腰梯形，而直线MN为梯形ABCD的对称轴，则D关于MN的对称点是A点，连接AC交MN于点P, 连接PD,则有PA=PD,要使PC+PD的值最小，就要使PA+PC最小，所以PC+PD=PA+PC=AC,因为?B=60?，可证得?ABC为直角三角形，AC=ABtan?B=1?tan60?=3,则PC+PD 的最小值为3. 变式4:如图，已知?O的半径为r , C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧 AC的度数为96?，弧 BD的度数为36?,动点P在AB上，则CP+PD的最小值为解:如图，设D’是D关于直径AB的对称点，连接CD’交AB于P，则P点使CP+PD最小。 弧CD的度数为180??96??36??48?，弧CD’的度数为120?， 所以?COD’=120?,从而易求CP+PD=CD’=r,所以 13 CP+PD的最小值为r. 本例利用“泵站问题”进行迁移变式，逐步探究了几种常见的图形中两条线段之和最短问题，这样有利于学生解题思想方法的形成、巩固，达到了透彻理解该基本问题的目的。 A P D'C DB 篇三:初中数学一题多变一题多解(五) 一题多解，一题多变(五) 原题条件或结论的变化 所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。 例1 求证:顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。 变式1 求证:顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。 变式2 求证:顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。 变式3 求证:顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。 变式4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形, 变式5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形, 变式6 顺次连接什么四边形 14 各边中点可以得到菱形, ?? 通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。 一、几何图形形状的变化 如图1，分别以Rt?ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3之间的关系是 S1 C S2 A B C S1 A S3 S2 B A S1 15 S2B S3 S3 图1 图2 图3 变式1:如图2，如果以Rt?ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是变式2:如图3，如果以Rt?ABC的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为 S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是变式3:如果以Rt?ABC的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为S1、S2、S3，为使S1、S2、S3之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件,证明你的结论。 变式4:如图4，梯形ABCD中,AB//DC,?ADC??BCD?90?, 且DC?2AB,分别以DA、AB、BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是 S2 S1 S3 S1 S2 S3C 16 DSS2 S3C D EC D 图4 图5图6 变式5:如图5，梯形ABCD中,AB//DC,?ADC??BCD?90?, 且DC?2AB,分别以 DA、AB、BC为边向梯形外作正三角形，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是 变式6:如图6，梯形ABCD中,AB//DC,?ADC??BCD?90?, 且DC?2AB,分别以DA、AB、BC为直径向梯形外作半圆，其面积分别为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3 之间的关系是 上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦;既掌握了基础知识，也充分认识了问题的本质，可谓是一举两得。 二、图形内部结构的变化 例2.已知:如图7，点C为线段AB上一点，?ACM、?CBN是等边三角形。 17 求证:AN=BM 图7 图8 证明:??ACM和?CBN是等边三角形?MC?AC,CN?CB,?ACN??MCB ??ACN??MCB ?AN?BM 变式1:在例2中，连接DE，求证:(1)?DCE是等边三角形(2)DE//AB 分析:(1)可证?ADC??MEC，则DC=EC,因为?DCE=60?,所以?DCE是等边三角形。 (2)由(1)易证?EDC=?ACM=60?,所以DE//AB 变式2:例2中，连接CF，求证:CF平分?AFB 分析:过点C作CG?AN于G,CH?BM于H,由?ACN??MCB，可得到CG=CH, 所以CF平分?AFB 变式3:如图8，点C为线段AB上一点，?ACM、?CBN是等边三角形，P是AN的中点，Q是BM的中点，求证:?CPQ是等边三角形 证明:??ACN??MCB ?AN?BM,?ABM??ANC 又?P、Q分别是AN、BM的中点 ??BCQ??NCP ?CQ?CP,?BCQ??NCP ??PCQ??NCP??NCQ??BCQ??NCQ??NCB?60? 18 ??CPQ是等边三角形 图7是一个很常见的图形，其中蕴含着很多的关系式，此题还可 适当引导学生探索当点C不在线段AB上时所产生的图形中的一些结论，通过该题的变式训练，让学生利用自己已有的知识去探索、猜想，进而培养了学生思维的创造性。 三、因某一基本问题迁移的变化 例4如图9，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇 供气，问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短, 图9 分析:设泵站应建在P处。取点B关于L的对称点B’,如图1，PB’=PB,要使PA+PB最小只要PB’+PA最小，而两点之间距离最短，连接AB’与L的交点P即是泵站所建的位置。本题特点:一直线同旁有两定点，关键要在直线上确定动点的位置，使动点到定 点的距离之和最短，我们常常把这类问题称作“泵站问题”。 变式1:如图2，在?ABC中，AC=BC=2,?ACB=90?,D是BC的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 图2 解:C、D是两定点，E是在直线AB上移动的一动点，以CA、CB为边作正方形ACBF，则C关于AB的对称点 19 一定是F,连接DF交AB于E,这时EC+ED最小。因为D是BC的中点，在直角三角形FBD中， B A L P B' AF C D B EC?ED?ED?EF?DF?BD2?BF2?22?12?5. 变式2:如图3，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一动点，M、N分别是AB、BC边上的中点，则PM+PN的最小值 分析:M、N是两定点，P是在直线AC上移动的一动点，作N关于AC的对称点G，由于四边形ABCD是菱形，所以G一定在DC上，且为DC的中点，连接MG交AC于P,四边形AMGD为平行四边形，连接PM、 D A BN 20 C PN，则PM+PN最小，PM+PN=PM+PG=MG=BC=1 变式3:如图，梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD=AD=1, ?B=60?,直 线MN为梯形的对称轴，P为MN上一点，那么PC+PD的最小值为 解:C、D是两定点，P是直线MN上一动点，因为图形ABCD中， AD//BC,AB=CD=AD=1,所以四边形ABCD为等腰梯形，而直线MN为梯形ABCD的对称轴，则D关于MN的对称点是A点，连接AC交MN于点P, 连接PD,则有PA=PD,要使PC+PD的值最小，就要使PA+PC最小，所以PC+PD=PA+PC=AC,因为?B=60?，可证得?ABC为直角三角形，AC=ABtan?B=1?tan60?=,则PC+PD 的最小值为. 变式4:如图，已知?O的半径为r , C、D是直径AB同侧圆周上的两点，弧 AC的度数为96?，弧 BD的度数为36?,动点P在AB上，则CP+PD的最小值为解:如图，设D’是D关于直径AB的对称点，连接CD’交AB于P，则P点使CP+PD最小。 弧CD的度数为180??96??36??48?，弧CD’的度数为120?， 所以?COD’=120?,从而易求CP+PD=CD’=3r,所 21 以CP+PD的最小值为r. 本例利用“泵站问题”进行迁移变式，逐步探究了几种常见的图形中两条线段之和最短问题，这样有利于学生解题思想方法的形成、巩固，达到了透彻理解该基本问题的目的。 A P D'C DB 22