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2、圆内接四边形性质定理

2、圆内接四边形性质定理圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD，圆心为O，延长BC至E，AC、BD交于P，则： 1、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD+∠BAD=180° 2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠DCE=∠BAD 3、圆内接四边形对应三角形相似：△BCP∽△ADP 4、相交弦定理：AP×CP=BP×DP 5、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD 一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。如...

圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD，圆心为O，延长BC至E，AC、BD交于P，则： 1、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD+∠BAD=180° 2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠DCE=∠BAD 3、圆内接四边形对应三角形相似：△BCP∽△ADP 4、相交弦定理：AP×CP=BP×DP 5、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD 一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。如图，连接OB、OD则∠A= β，∠C= α ∵α+β=360° ∴∠A+∠C= ×360°=180° 同理得∠B+∠D=180° （也可利用四边形内角和等于360°）【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。设圆内接四边形ABCD 证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 连接BO并延长，交⊙O于E。连接AE、CE。则BE为⊙O的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180° ∴∠BAE+∠BCE-∠DAE+∠DAE=180° 即∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DAE=180° ∵∠DAE=∠DCE（同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180° ∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=180° （四边形内角和等于360°）【证明】方法三：利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等连接AC、BD，将∠A、∠B、∠C、∠D分为八个角 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°） ∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等） ∴∠1+∠2+∠5+∠6= ×360°=180° ∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180° ∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=180° （四边形内角和等于360°） 2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明如图，求证：∠DCE=∠BAD ∠BCD+∠DCE=180°（平角为180°） ∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴∠DCE=∠BAD 3、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证：△BCP∽△ADP，△ABP∽△DCP 证明： ∵∠CBP=∠DAP，∠BCP=∠ADP （一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）又∵∠APD=∠BPC（对顶角相等） ∴△BCP∽△ADP ∵∠BAP=∠CDP，∠ABP=∠DCP （一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。）又∵∠APB=∠DPC（对顶角相等） ∴△ABP∽△DCP 4、相交弦定理仍用上图，求证：AP×CP=BP×DP 证明： ∵△BCP∽△ADP（圆内接四边形对应三角形相似） ∴ （相似三角形的三边对应成比例） ∴AP×CP=BP×DP 5、托勒密定理求证：如图，四边形ABCD内接于圆O，那么AB×CD+AD×BC=AC×BD 【证明】方法一：作辅助线AE，使∠BAE=∠CAD，交BD于点E ∵∠ABE=∠ACD（同弧AD所对的圆周角相等）又∵∠BAE=∠CAD ∴△ABE∽△ACD ∴ ，即AB×CD=AC×BE (1) ∵∠BAE=∠CAD ∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC 即∠BAC=∠EAD 又∵∠ACB=∠ADE（同弧AB所对的圆周角相等） ∴△ABC∽△AED ∴ ，即BC×AD=AC×DE (2) (1)+(2),得 ∴AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×DE=AC（BE+DE）=AC×BD 【证明】方法二：利用西姆松定理证明托勒密定理。（提示：本题要使用正弦定理），初三现有知识还不能求证。广义托勒密定理广义托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，其推论是任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，而且当ABCD四点共圆时取等号。内容：凸四边形对边乘积和≥对角线的积托勒密定理的推论：任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。证明如下：在四边形ABCD中,连接AC、BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD，则△ABE∽△ACD ∴ BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD ∴BE*AC=AB*CD ①,AB/AE=AC/AD ∵∠BAE=∠CAD ∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC 即∠BAC=∠DAE 又∵AB/AE=AC/AD, ∴△ABC∽△AED ∴BC/ED=AC/AD ∴ED*AC=AD*BC② ①+②,得 AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC 又∵BE+ED≥BD ∴AC*BD≤AB*CD+AD*BC 从而命题得证，且仅当E点落在线段BD上时，等号成立此时∠ABD=∠ACD ∴ABCD四点共圆托勒密定理逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接圆。

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