圆与圆的位置关系
同一平面内两圆的位置关系:
d 圆与圆的 与R、 r
位置关系 的关系 公共点 切线
外离 无 两条,外公切线, R r1 O1d,R，rd O 2
外切 R r d,R，r d OO 2 1 一个 一条 T 1
Rr R,r,d,R，r OdO1 2 相交 两个 两条
R O. .O 12r T d 内切 一个 一条 d,R,r
R O.d .O1 2 r 内含 无 无 0,d,R,r
d,0 如果则两圆
为同心圆
相切两圆的性质
1. 两圆相切时的图形是轴对称，通过两圆圆心的直线,连心线,是它的对称轴, 2. 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上.
相交两圆组成的图形也是以两圆的连心线为对称轴的轴对称图形.
在解决两圆相交问
题
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时，常添连心线，公共弦等辅助线，使两圆半径、圆心距、公共弦长的一半，集中于直角三角形中，利用三角形的有关知识加以解决.
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考点精析
类型1. 判断两圆的位置关系
例1,若相交两圆的半径分别是和，则这两个圆的圆心距可取整数值的个数是, , 7，17,1
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例2. 已知两圆相交，这两圆的半径分别为1和3，则圆心距d为, ,
d,20,d,42,d,42,d,4 A. B. C. D.
222例3. 已知:两圆的半径分别为R和r,，两圆的圆心距为d，当时，试判断两d，R,r,2dRR,r)
圆的位置关系.
练习:
1. 已知?O和?O的半径分别为2cm和5cm，且,6 cm，则?O和?O的位置关系是, , OO121212
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离 2. ?O和?O的半径分别为3和6，当圆心距在 范围内变化时，两圆无公共点. 12
23. 两圆半径分别为的两个根，当两圆外切时，圆心距等于 ，当两圆内切时，圆心x,3x，2,0
距为 .
类型2. 与圆有关的计算
例1. 如图，?O与半径为4的?O内切于点A，?O经过圆心O，作?O的直径BC交?O于点D，121221
EF为过点A的切线、若OD,22，则?BAF等于 度. 2
例2. 已知?A、?B相切，圆心距为10cm ，其中?A的半径为4 cm，求?B的半径.
变式题:两圆的半径比为2:3，内切时的圆心距等于8 cm，那么这两圆相交时圆心距的范围是多少,
例3. 半径分别为3 cm和4 cm的两圆相交，若公共弦长为4.8 cm，求两圆的圆心距.
练习:
如图?A与?B相交于P、Q两点，且AP是?B的切线，若AP=6,AB=10，求公共弦PQ的长.
P AB Q
类型3. 与两圆相切有关的证明
例1. 三角形三边的长分别为5cm,12cm,13cm，以三角形的三个顶点为圆心的三个圆两两外切，求这三
个圆的半径.
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与?O相交于A、B两点，AC、AD分别为?O和?O的直径. 例2. 已知，如图，?O1212
求证:C、B、D三点共线.
A A O .O .12
. . D C B
练习: C
和?O于B、C两点. 例1. 如图，，?O与?O外切于点A，BC分别切，?O1212
,1,求证:AB?AC.
,2,过点A的直线分别交?O、?O于点D、E经过两圆圆心时，直线DB与直线EC交于点F，请12
在图中画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直,若垂直，请证明,若不垂直，请说明理由.
BC
. . AOO1 2
. . 【拓展提升】
例1. 已知:?O与?O相交于点A，B，过点B，作CD?AB，分别交?O、?O于点C、D. 1212
1, 如图?，求证AC是?O的直径, ,1
,2, 若AC=AD，?如图?，连接BO,OO,求证:四边形OCBO是平行四边形 21212
A A
. .O. .O2 2
C D C D B B
? ?
练习:
l1. 已知:如图，?O与?O外切于点A，直线与?O、?O分别切于B、C点，若?O的半径r=2 cm，12121
?O的半径R=3 cm. 求:BC的长. 2
. OA 2 . O1
lB C
2. 如图，?O与边长分别为18cm、25cm的矩形CDEF三边相切，?O与?O外切，且与EC、CD112
相切，求?O的半径. 2
E F
O1 O2 . .
C D
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