TCFSH_2014_19
數學第一冊第二章
多項式函數
∀x∈ℝ , a x2+ b x+ c> 0⇔{a> 0b2−4 a c< 0
f (x , y)=0⇒ f (x−h , y−k )=0
f (x)=g (x)⋅q(x)+ r (x) , deg (r )< deg (g )
f (x)÷(a x+ b)⋯r ⇔ r= f (−b
a
)
ℤ[ x ] ,( p x+ q)∣(an x
n+⋯+ a0)⇒ p∣an∧q∣a0
i=√−1
ℝ[ x ] , f (a)⋅ f (b)< 0⇒∃c∈(a ,b) ,∍ f (c)=0
座號:
姓名:
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f
f (A)
BA
2-1 簡單多項式函數及其圖形
常數 constant、變數 variable、函數 function
一、函數:
設 x 與 y 為兩個變數,
若 y 的值隨 x 所取的值依某一種對應法則而唯一確定時,
則稱 y 是 x 的函數,記作 y= f (x ) 。
定義域、對應域、值域:
f : A→B 中,
集合 A 稱為函數 f 的定義域 ,(自變數)
集合 B 稱為函數 f 的對應域 ,(應變數)
所有函數值所成的集合為 f 的值域 (有被對應到的應變數), f (A) 。
其中 f (A)⊂B
例: A= {−1,0,1,2} , B={0,1,4,9} , f (−1)=1, f (0)=0 , f (1)=1, f (2)=4 , f (A)={0,1,4}
謎之彬音:應變數可以沒用完,但自變數規定必須用完。
謎之彬音:自變數的集合稱為定義域,若未指定,預設為有意義的變數範圍。
例: f 1(x)=x
2
的定義域 ℝ , f 2(x )=√ x 的定義域 ℝ+∪{0} 。
函數的圖形:
若 f : A→B 為一函數,將所有點(x, f(x)),xA,
描繪於平面坐標系中,所形成的圖形稱為函數 f 的圖形。
函數圖形的特徵:經過函數 y=f(x)定義域 中的任一點 x,
作垂直於 x 軸的直線 L,則 L 與函數圖形恰交於一點(x, f(x))
單調性:遞增或遞減
遞增函數:
函數圖形如果由左至右逐漸升高,則稱此函數為遞增函數;
若 a>b,則 f (a )≥ f (b) (若無等號稱絕對 遞增)
遞減函數:
函數圖形如果由左至右逐漸下降,則稱此函數為遞減函數;
若 a>b,則 f (a )≤ f (b) (若無等號稱絕對 遞減)
謎之彬音:上坡完準備下坡。[山頂]
謎之彬音:下坡完準備上坡。[山谷]
偶函數:若函數 f 滿足 f (−x)= f ( x) ,則稱 f 為偶函數。
函數圖形左右對稱於 y 軸。
例: f (x )=x2
奇函數:若函數 f 滿足 f (−x)=− f (x ) ,則稱 f 為奇函數。
函數圖形對稱於原點。
例: f (x )=x3
謎之彬音一:有沒有函數圖形對稱於 x 軸?[N]
謎之彬音二:不是奇函數就是偶函數? [N]
Ex1. f (x )=a x8−b x6+ c x4+ d x−√17 ,
若 f (5)− f (−5)=−30 ,求 f (7)− f (−7) 值。[ −42 ]
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6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-1 0 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 1 0
m=2
m=-3
m=-2
m=-1
m=3
m=1
二、一次函數(線性)
y= f (x )=m x+ c , m ,c∈ℝ ,稱為一次函數,圖形是一直線。
m 的意義:
若自變數 x 每增加 1,應變數 y 增加 m,稱為 y 對 x 的變化率。
例:y
表
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示位移,x 表示時間,變化率就是速度。
在幾何上,m 稱為斜率,用來描述陡峭程度。
(1)直線 y=a x+ b 的斜率為 m=a
(2)直線 a x+ b y+ c=0 的斜率為 m=
−a
b
(3)直線若過兩點 P (x1 , y1) ,Q (x2 , y2) ,斜率為 m=
y2− y1
x2−x1
謎之彬音:水平線斜率 (m=0) ,鉛垂線斜率不存在
c 的意義:
直線 y= f (x )=m x+ c 與 y 軸相交於 (0, c) ,c 稱為 y 截距。
謎之彬音:那 x 截距?
直線 y= f (x )=m( x−d ) 與 x 軸相交於 (d ,0) ,d 稱為 x 截距。
謎之彬音:截距是坐標,可正可負可零。
Ex2.水的沸點 (x , y )=(100, 212) ,凝固點 (x , y )=(0,32) ,以此來制定溫度的刻度
(Celsius,Fahrenheit)。若 y= f (x ) 為一線性函數,求 f (x ) 。[ y=
9
5
x+ 32 ]
Ex3.函數 f (x )=√5 x−√7 ,求
f (2011)− f (100)
2011−100 。[ √5 ]
Ex4.某次測驗,成績最低者 20 分,最高者 90 分。請您設計一線性函數使原來 40 分
為 60 分,原來 90 分為 100 分。則依函數調整後最低分為? [44]
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三、二次函數
y= f (x )=a x2+ b x+ c ,其中 a , b , c∈ℝ , a≠0 ,
稱為二次函數,圖形為拋物線
若二次函數圖形與 x 軸相交於 (α ,0) 與 (β ,0)
則 y= f (x )=a (x−α)(x−β)
二次函數的最大值或最小值
y= f (x )=a x2+ b x+ c=a ( x−h)2+ k
頂點: (h ,k )=( b−2a ,b
2−4 a c
−4a ) 對稱軸: x=−b2a
謎之彬音:配方法王道
判別式: Δ=b2−4 ac ,函數圖形與 x 軸的交點數,方程式實根個數。
謎之彬音:二次函數的極值可能位置:頂點、端點。
以開口向上為例,
不綁自變數範圍 ⇒ 極小值在頂點,無極大值。
綁自變數範圍(頂點在範圍內) ⇒ 極小值在頂點,極大值在[遠]端點。
綁自變數範圍(頂點在範圍外) ⇒ 極小值在[近]端點,極大值在[遠]端點。
Ex5.已知 y=f(x)為二次函數
(1)若其圖形以(2,3)為頂點,且過點(3,1),求 f(x)。[ −2(x−2)2+ 3 ]
(2)過點(–1,1),(–2,11),(2,–5),求 f(x)。[ 2 x2−4 x−5 ]
(3)通點(0,11),(3,5),且對稱軸為 x=2,求 f(x)。[ 2( x−2)2+ 3 ]
Ex6.設 f(x)x2–3x–1,若 −2≤x≤2 ,則 f(x)的最大值與最小值為何[ 9 ,
13
−4 ]
Ex7.作函數 f (x )=∣x2−3 x∣−x+ 1 的圖形。[略]
Ex8.彬哥站在離地面 35 公尺高處,垂直往上拋擲一球,經 t 秒後,球距地面的距離
為 h 公尺,已知 h= f (t)=−5 t 2+ 30 t+ 35 ,則(1)幾秒後,球達最高點,最高點距地
面距離(2)幾秒後,球落地。[3 秒時最高 80 公尺,7 秒落地]
Ex9.設 x、yR,若 x2+ 2 y2=1 , 2 x+ 3 y2 求之最大值與最小值[
13
6
,−2 ]
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3
2 . 5
2
1 . 5
1
0 . 5
-0 .5
-1
-1 .5
-2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
f3
f2
f1
f 3 x = 3x2
f 2 x = 2x2
f 1 x = x2
二次函數圖形與係數關係:
凹口向上 (a> 0) :
頂點右邊為遞增,左邊為遞減。
凹口向下 (a< 0) :
頂點右邊為遞減,左邊為遞增。
圖形頂點所在半平面:
右:ab 異號
左:ab 同號
圖形交 y 軸之上下:
上:c 正
下:c 負
中:c=0
圖形與 x 軸之交點個數:
二:△正
一:△零
零:△負
謎之彬音:領導係數越多,圖形會如何變化?爬得越快,夾得越緊,開口越小。
謎之彬音:
a= f ' ' (0) y 截點處的凹口。
b= f ' (0) y 截點處的斜率。
c= f (0) y 截點處的 y 值。
Ex10.已知二次函數 y=ax2+bx+c 的圖形如右
判別正負:a ,b ,c ,a+b+c,a–b+c,b2–4ac, f (2)− f (3)
[負正正正負正負]
正定性:
二次函數值恆正:
∀x∈ℝ , f ( x)> 0 ⇔ a> 0 ,Δ< 0
二次函數值恆非負:
∀x∈ℝ , f ( x)≥0 ⇔ a> 0 ,Δ≤0
二次函數值恆負:
∀x∈ℝ , f ( x)< 0 ⇔ a< 0 ,Δ< 0
二次函數值恆非正:
∀x∈ℝ , f ( x)≤0 ⇔ a< 0 ,Δ≤0
Ex11. ∀x∈ℝ , −3<
x2+ a x−2
x2−x+ 1
< 2 恆成立,求實數 a 的範圍。[ −1< a< 2 ]
Ex12.二次函數 f(x)=ax2+5x+a 之圖形均在 y=x–3 的下方,求 a 的範圍。[ a<−4 ]
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Q
2 .2
2
1 .8
1 .6
1 .4
1 .2
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
-0 .2
-0 .4
-0 .6
-0 .8
-1
-1 .2
-3 -2 .5 -2 -1 .5 -1 -0 .5 0 .5 1 1 .5 2 2 . 5 3 3 . 5
4
32
1
q x = x4
h x = x3
g x = x2
f x = x
四、單項函數
y= f 1(x )=x
y= f 2(x )=x
2
y= f 3(x )=x
3
y= f 4( x)= x
4
圖形性質:
原點附近:次方越高越貼近 x 軸
奇次:奇函數(對稱於原點)
偶次:偶函數(對稱於 y 軸)
若領導係數正
奇次:恆遞增
偶次:左減右增,有極小值
若領導係數負
奇次:恆遞減
偶次:左增右減,有極大值
函數圖形的平移: f (x , y )=0⇒ f ( x−h , y−k )=0
將函數 f (x , y )=0 的圖形,左右平移 h,上下平移 k,得到 f (x−h , y−k )=0 的圖形。
謎之彬音:h 正右負左,k 正上負下
謎之彬音:將 x 的位置 x-h 以取代,將 y 的位置 y-k 以取代。
謎之彬音:所有二次函數 y=a x2+ b x+ c 均可由 y=a x2 平移而得? [Y]
謎之彬音:所有三次函數 y=a x3+ b x2+ c x+ d 均可由 y=a x3 平移而得? [N]
Ex13.將函數 y=x3 圖形向右平移 4,向上平移 5,求新函數。[ ( y−5)=( x−4)3 ]
Ex14.設二次函數 y=x2−2 x 的圖形沿 x 軸方向移動 h 個單位長,沿 y 軸方向移動 k
個單位長後,與 y=x2+ 3 x+ 2 的圖形重合,求 h、k 之值。[
−5
2
, 3
4 ]
Ex15.彬哥某好友的 FB狀態:
生活已經規律到,每天會在同一個時間搭捷運,上同一個車廂
裡面會走出同一個 OL 小姐,臉上會有著同一個表情。
"今天是星期一"的表情。
Ex16. f (x )=a x+ b ,(a≠0) , 1< f (1)< 7 , 2< f (2)< 5 ,則 f (5) 範圍。
[ −13< f (5)< 17 ]
Ex17.設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f (t)=−t 2+ 10 t+ 11 ,其中 1≤t≤10 ,
求這段時間內該地區的最大溫差。[25]
Ex18.已知二次函數 y=f(x)=
a
bxax 12 在 x=3 時有最大值 8,求(a,b)。[(-1,6)]
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Ex19. a , b , c∈ℝ ,且二次函數 y=a x2+ b x+ c 滿足 f (−1)=−3 , f (3)=−1 ,
b2−4 a c< 0 ,則(A) a< 0 (B) c< 0 (C) f (0)< f (1) (D) f (4)< f (5) (E)
f (−3)< f (−2) 。[ABCE]
Ex20. a ,b ,c∈ℝ ,若二次函數 y=a x2+ b x+ c 的圖形通過(0,-1)且與 x 軸相切,
則下列選項何者恆為真?(A) a< 0 (B) b> 0 (C) c=−1 (D) b2−4a c=0 (E)
a+ b+ c≤0 。[ACDE]
Ex21.設
10
8
2
3
1
2 )()()(
nn
nxnxxf 。若 f(x)在 xa 處有最小值,求 a。[5.5]
Ex22.拋物線 y=a x2+ b x+ c ,若 a<0,b>0,c<0,則:
(1)頂點在第幾象限(2)拋物線必不通過第幾象限。[一四,二]
Ex23.下列拋物線 Γ1: y=
1
3
x2+ 1 ,Γ 2: y=
1
2
x2−2 ,Γ3: y=−2 x2+ 1 ,
Γ4: y=−3 x2+ x 開口最小的是?開口最大的是? [Γ4,Γ 1]
Ex24.若二次函數 y=ax2+bx 在 x=1 時有最小值
−1
a ,則
3a+ b 之值為?[1]
Ex25.設拋物線 Γ 的方程式為 y=2 x2−1 ,將 Γ 向左平移 2 單位後得 Γ 1,再將 Γ1 關
於 y 軸對稱,得 Γ2,求 Γ 1,Γ2 的方程式。[ 1)2(2 2 xy , 1)2(2 2 xy ]
Ex26.若 1≤x≤2 時, 4+ x− x2> a x 成立,求 a 之範圍。[a<1]
Ex27.坐標平面上有一個運動質點,當時間為 t 時,它的位置(x,y)在 (3 t , 2 t−t 2) ,
則此質點運動軌跡的方程式為?[ y=
−1
9
x2+ 2
3
x ]
Ex28. ∀x∈ℝ , (a2−1) x2+ (a−1)x+ 1> 0 恆成立,求 a 範圍。[ a<
−5
3
∨a≥1 ]
Ex29. ∀x∈ℝ ,不等式
2 x2+ 2 k x+ k
4 x2+ 6 x+ 3
< 1 均成立,求實數 k 範圍。[ 1< k< 3 ]
Ex30. a , b∈ℝ ,若 x2+ (a−b) x+ (a b−1)=0 對任何實數 a恆有實根,求 b 範圍。
[
−1
√2
≤b≤ 1
√2 ]
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2-2 多項式的運算與應用
一、多項式(polynomial)函數 f (x )=an x
n+ an−1 x
n−1+⋯+ a1 x+ a0 , ak∈ℝ
謎之彬音一:自變數的次方均為非負 整數 。
謎之彬音二:高中數學若無特別註明,預設實係數 多項式 ℝ[ x ] 。
1.次數:若 an≠0 ,則 deg ( f )=n (最高次方項的係數稱領導係數)
謎之彬音:次方由高至低排序稱為降冪,次方由低至高排序稱為升冪。
2.零多項式 vs .零次多項式
...0000 321 xxx ,因此 0 不定義次方。
零多項式函數 f (x)=0 圖形為 x 軸。
零次多項式函數:例 f (x )=5 圖形為一水平直線。
3.係數:
(1)常數項 a0= f (0)
(2)各項係數總和 a0+ a1+ a2+⋯= f (1)
(3)偶次項係數和 a0+ a2+ a4+⋯=
f (1)+ f (−1)
2
(4)奇次項係數和 a1+ a3+ a5+⋯=
f (1)− f (−1)
2
謎之彬音一: a0+ a3+ a6+⋯=? a1a4a7⋯=? a2a5a8⋯=?
謎之彬音二: a0+ a4+ a8+⋯=?
Ex31.下列何者為 x 的多項式?(A) x2+ √2 x+ 1y (B) x
2+ √x+ 2
(C) x2 y+
x
y
+ √ y+ √3 (D) x2+∣x∣+ 1 (E) 1x+ 1+ 2 x+ 1 。[AC]
Ex32.設 f (x )=( x+ 2 x2+ 3 x3+⋯+ 8 x8+ 9 x9)⋅(9 x+ 8 x2+ 7 x3+⋯+ 2 x8+ x9) ,求 f (x )
之展開式中(1) x10 項係數(2)各項係數和(3)偶次項係數和(4)奇次項係數和。
[285,2025,1025,1000]
Ex33.求 (x+ 1)(x+ 2)( x+ 3)⋯( x+ 10) 展開式 x9 , x8 及常數項係數[55,1320,10!]
多項式的相等:
1.定義:設 f(x)與 g(x)為兩個非零多項式,
f (x )=g ( x) ⇔ 次數相同,且對應項係數相等。 (一模一樣)
2.設 f (x )=an x
n+ an−1 x
n−1+⋯+ a1 x+ a0 ,
若至少有 n+1 個相異實數,使得 f(x)=0,則 f(x)恆等於 0,記作 f (x )≡0
3.設 f (x )=an x
n+ an−1 x
n−1+⋯+ a1 x+ a0 , g ( x)=bn x
n+ bn−1 x
n−1+⋯+ b1 x+ b0 ,
若至少有 n+1 個相異實數,使得 f (x )=g ( x) ,記作 f (x )≡g ( x) 。(恆相等)
證明:參見因式定理。
Ex34.設 f (x )=x2+ x+ 2 , g ( x)=a( x−1)( x−2)+ b (x−2)( x−3)+ c (x−3)( x−1) ,
若 f x ≡g x ,求 a、b、c 之值[7,2,-8]
Ex35.設 f (x )=
(x−b)( x−c)
(a−b)(a−c)
+
( x−a)( x−c)
(b−a)(b−c)
+
( x−a)( x−b)
(c−a)(c−b) ,a ,b ,c 為互異實數,
求 f (√2)+ f (22226081)+ f (2011) 之值。[3]
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多項式的四則運算:
加、減、乘:直接上
謎之彬音:分離係數時缺項記得補零。
多項式的除法:
(1)長除法(直式)
(2)綜合除法(改良)
Ex36. 4 3 2( ) 3 4 5 6 7f x x x x x= + - + + , ( ) 2g x x= + ,求 ( )f x 除以 ( )g x 之商式與餘式﹖
[ 3 23 2 8x x x- - + , −9 ]
Ex37. 3 2( ) 16 12 8 8f x x x x= + + + , ( ) 2 1g x x= + ,求 ( )f x 除以 ( )g x 之商式與餘式﹖
[ 28 2 3x x+ + ,5]
Ex38. 6( ) 1f x x= + , 2( ) 1g x x x= - - ,求 ( )f x 除以 ( )g x 之商式與餘式﹖
[ 4 3 22 3 5x x x x+ + + + , 8 6x + ]
1.除法原理:
設 f(x)、g(x)均為多項式,且 g ( x)≠0 ,
則恰有二多項式 q(x)及 r(x)滿足 f (x )=g ( x)⋅q (x )+ r (x ) ,
即:被除式=除式 × 商式 + 餘式
其中 r (x)=0 或 deg r (x )< deg g (x) (規定!)
2. f ( x)=(a x−b )⋅q (x)+ r=(x−ba
)⋅[a⋅q( x)]+ r
Ex39.若多項式 x3+ 4 x2+ 5 x−3 除以 f (x ) 的商式為 x+ 2 、餘式為 2 x−1 ,
則 f (x ) =? [ 122 xx ]
Ex40.設 f(x)為一多項式。若 (x+ 1)⋅ f ( x) 除以 x2+ x+ 1 得餘式為 5 x+ 3 ,則
f (x ) 除以 x2+ x+ 1 得餘式為何?[ 2 x+ 5 ]
Ex41. f (x )÷(a x+ b) ( a≠0 )所得之商為 q (x) ,餘式為 r,求下列之商及餘?
(1)以 x+
b
a 除
f (x ) (2)以 x+ b 除 f (
x
a
) (3)以 a x+ b 除 x⋅f (x )
[ a⋅q (x ) ,r; q ( xa
) ,r; x⋅q (x )+ ra ,
b r
−a ]
餘式定理:
設 f (x ) 為一多項式,則 f (x ) 除以 (x−k ) 的餘式為 f (k ) 。
設 f (x ) 為一多項式,則 f (x ) 除以 (a x+ b) 的餘式為 f
−b
a
。
謎之彬音 1:令除式為零,消去商式,得到餘式。
謎之彬音 2:用除式之根,降次(代入)得餘式。
謎之彬音 3:請記得 deg r (x )< deg g (x)
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Ex42.設 f (x )=357 x5−699 x4−35 x3+ 9 x2+ 37 x+ 15 ,試求 f (2) 的值?[85]
HINT:直接上、剝洋蔥、綜合除
Ex43.求 2( 3+ √174 )
4
+ (3+ √174 )
3
−(3+ √174 )
2
−11(3+ √174 ) 值。[3]
Ex44.多項式 f (x ) 以 x−1 除之餘式為 2,以 x+ 2 除之餘式為 −4 ,則
f (x ) 以 x2+ x−2 除之餘式為何?[2x]
Ex45.設多項式 f (x ) 除以 x2−5 x+ 4 ,餘式為 x+ 2 ;除以 x2−5 x+ 6 ,餘式
為 3 x+ 4 。則多項式 f (x ) 除以 x2−4 x+ 3 之餘式為何?[ 5 x−2 ]
Ex46.多項式 f (x )=x12+ x9−3 x6+ 4 x2−5 ,求 f (x ) 除以下列各式之餘式:
(1) x2−1 (2) x3+ 1 (3) x5−1 。[ x−3 , 4 x2−8 , x4+ 5 x2−3 x−5 ]
三、因式定理:(因式之根代入得 0)
設 f (x ) 為一多項式,若 (a x+ b) 為 f (x ) 之因式,則 f (
−b
a
)=0 。
Ex47. f (x )=an x
n+ an−1 x
n−1+⋯+ a1 x+ a0 , g ( x)=bn x
n+ bn−1 x
n−1+⋯+ b1 x+ b0 ,
若至少有 n+1 個相異實數,使得 f (x )=g ( x) ,試證: f ( x)≡g (x ) 。
證明:令 h( x)= f ( x)−g (x)=k ( x−c1)(x−c2)(x−cn)⋯( x−cn+ 1)
deg h(x)≤n ⇒ k=0 ⇒ f (x )≡g ( x)
Ex48.三次多項式 f (x ) ,已知 f (1)= f (2)= f (3)=4, f (−1)=−44 ,求 f (x ) 。
[ 2( x−1)( x−2)(x−3)+ 4 ]
若 f (x )÷( x−h) 的餘數 k,則 f (h)=k ,即函數 y= f (x ) 圖形通過 (h ,k ) 。
以下三題為不同敘述的同一個題目。
例 1:若 f (x )÷( x−1)⋯1 且 f (x )÷( x−2)⋯3 ,求 f (x )÷( x−1)( x−2) 之餘。[ 2 x−1 ]
f ( x)=(x−1)(x−2)⋅Q (x)+ R(x )=(x−1)(x−2)⋅Q( x)+ (2 x−1)
例 2:滿足 R(1)=1 且 R(2)=3 的最低次多項式 R( x) 。[ R( x)=2 x−1 ]
例 3:求過點 P1(1,1) ,P2(2,3) 的最低次多項式。[ y=R(x )=2 x−1 ]
謎之彬音:(由例 1)餘式次方必低於除式次方,知二點決定直線(一次方)。廢言!
插值多項式的次方判定:
給定 n+ 1 個點 P1(x1 , y1) , P2( x2 , y2) ,⋯ , Pn+ 1( xn+ 1 , yn+ 1) ,其中所有 x 坐標互異,
需要造幾次方的多項式函數來通過所有的點?
答:低於 n+ 1 次。
即:存在 R( x)=a n x
n+ an−1 x
n−1+⋯+ a1 x+ a0 通過所有 n+ 1 個點,其中 deg f (x )< n+ 1 。
謎之彬音: n+ 1 個點 ⇒ n+ 1 個條件 ⇒ n+ 1 個係數 ⇒ n 次(或更低)多項式。
謎之彬音:[次方更低]?若領導係數為零,則降次!
例:給定 P1(4,5) , P2(6,7) , P3(8,9) 三點決定的 y=a2 x
2+ a1 x+ a0 ,
會解出 y=0 x2+ 1 x+ 1 ,由二次方(拋物線)退化為一次方(直線)。
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存在 性:拉格朗日即為存在之例。
唯一 性:若存在 R1( x) , R2(x ) 均過此 n+ 1 個點,
由因式定理, n+ 1 個相異根滿足 g (x )=R1(x )−R2( x)=0 ⇒ R1( x)≡R2(x) 。
謎之彬音:存在性 告訴我們必有解。
謎之彬音:唯一性 告訴我們用不同方解出來的都是同一個
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
。
謎之彬音:若不限定次方最低,則存在無限多 個多項式通過此 n+ 1 個點。
若 R( x) 為低於 n+ 1 次的多項式函數且通過所有 n+ 1 個點,
則 f (x )=(x−x1)( x−x2)⋯(x−xn+ 1)⋅Q( x)+ R( x) 亦通過所有 n+ 1 個點。
例:通過二點 P1(1,1) ,P2(2,3) 的最低次多項式為 y=R(x )=2 x−1 (唯一),
若不限定次方, f (x )=(x−1)(x−2)⋅(x2011+ 365)+ (2 x−1) 亦滿足條件。
常見的插值法:
例:三次多項函數 f (x ) 滿足 f (−2)=39 , f (−1)=43 , f (2)=−17 , f (3)=−21 ,求 f (1) 。
插值法第一式:
令 f (x )=a x3+ b x2+ c x+ d
{ f (−2)=−8a+ 4b−2c+ d=39f (−1)=−a+ b−c+ d=43f (2)=8a+ 4b+ 2c+ d=−17f (3)=27 a+ 9b+ 3c+ d=−21 ⇒{7 a−3 b+ c=43 a+ b+ c=−2019 a+ 5 b+ c=−4 ⇒{a−b=64a+ b=4 ⇒{
a=2
b=−4
c=−22
d=27
f (x )=2 x3−4 x2−22 x+ 27 ⇒ f (1)=2−4−22+ 27=3
謎之彬音:真男人!
插值法第二式:
令 f (x )=a (x+ 2)(x+ 1)(x−2)+ b( x+ 2)( x+ 1)+ c (x+ 2)+ d
{ f (−2)=d=39f (−1)=c+ d=43f (2)=12b+ 4c+ d=−17f (3)=20 a+ 20b+ 5c+ d=−21 ⇒{
a=2
b=−6
c=4
d=39
f (x )=2( x+ 2)( x+ 1)( x−2)−6 (x+ 2)( x+ 1)+ 4 (x+ 2)+ 39 ⇒ f (1)=−12−36+ 12+ 39=3
謎之彬音:牛頓!
謎之彬音:除法原理迭代
設 f (x )÷( x+ 2)⋯d 即 f (x )=( x+ 2)⋅Q1( x)+ d , deg Q1( x)=2
設 Q1(x )÷( x+ 1)⋯c 即 Q1(x )=( x+ 1)⋅Q2(x )+ c , deg Q 2( x)=1 。
設 Q2( x)÷(x−2)⋯b 即 Q2( x)=(x−2)⋅Q3(x)+ b , deg Q3( x)=0 ,令 Q3(x )=a
f (x )=( x+ 2)⋅Q1( x)+ d
=(x+ 2)[( x+ 1)⋅Q2( x)+ c]+ d
=(x+ 2)( x+ 1)⋅Q2(x )+ c( x+ 2)+ d
=(x+ 2)( x+ 1)⋅[( x−2)⋅Q3( x)+ b ]+ c( x+ 2)+ d
=(x+ 2)( x+ 1)⋅[( x−2)⋅a+ b]+ c( x+ 2)+ d
=a ( x+ 2)(x+ 1)( x−2)+ b (x+ 2)( x+ 1)+ c (x+ 2)+ d
Ex49.多項式 f (x ) ,若以 (x−b)( x−c) , (x−a)(x−c) , (x−a)(x−b) 除 f (x ) ,
分別得餘式為 7 x−8 、 5 x−2 、 3 x ,求(1)序組(a ,b ,c)=?(2) f (x ) 以
(x−a)(x−b)( x−c) 除之餘式為何?[(1,2,3), 2( x−1)( x−2)+ 3 x ]
Ex50.設 f (x ) 為三次以上多項式,若以 x−1 除 f (x ) 得餘式為 8,以
x2+ x+ 1 除 f (x ) 得餘式為 7 x+ 16 ,則以 x3−1 除 f (x ) 所得餘式為何?[
−5( x2+ x+ 1)+ 7 x+ 16 ]
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插值法第三式:
令 f (x )={ a ( x+ 1)(x−2)( x−3)+ b(x+ 2) ( x−2)(x−3)+ c( x+ 2)( x+ 1) (x−3)+ d (x+ 2)(x+ 1)(x−2)
⇒ { f (−2)=(−2+ 1)(−2−2)(−2−3)a+ 0b+ 0c+ 0 df (−1)=0 a+ (−1+ 2)(−1−2)(−1−3)b+ 0 c+ 0df (+ 2)=0a+ 0b+ (2+ 2)(2+ 1)(2−3)c+ 0 df (+ 3)=0a+ 0b+ 0 c+ (3+ 2)(3+ 1)(3−2)d
=−20 a=39
=+ 12b=43
=−12c=−17
=+ 20 d=−21
⇒ {
a=−39
20
b=43
12
c=17
12
d=−21
20
⇒ f (x )={
−
39
20
(x+ 1)(x−2)( x−3)
+
43
12
(x+ 2) ( x−2)( x−3)
+ 17
12
(x+ 2)( x+ 1) ( x−3)
−
21
20
(x+ 2)(x+ 1)(x−2)
⇒ f (1)=3
謎之彬音:零多才是王道!
謎之彬音:待定係數,拉格朗日前身。何不直接寫係數? a=
f (−2)
(−2+ 1)(−2−2)(−2−3) . . .
插值法第四式: f (x)={
f (−2) ⋅ x+ 1
(−2)+ 1
⋅
x−2
(−2)−2
⋅
x−3
(−2)−3
+ f (−1)⋅ x+ 2
(−1)+ 2
⋅
x−2
(−1)−2
⋅
x−3
(−1)−3
+ f ( 2) ⋅ x+ 2
(2)+ 2
⋅
x+ 1
(2)+ 1
⋅
x−3
(2)−3
+ f ( 3) ⋅ x+ 2
(3)+ 2
⋅
x+ 1
(3)+ 1
⋅
x−2
(3)−2
⇒ f (1)=3
謎之彬音:拉格朗日(Lagrange)!
謎之彬音:規律?
謎之彬音:零壹得天下!(壹:分工合作各司其職),(零:不在其位不謀其政)。
謎之彬音:( ℝ )拉格朗日 vs.剩餘定理( ℤ )。
Ex51.過(11,3),(12,5),(13,8)的最低次多項式 f (x ) ,求 f (11.5) 。[
31
8 ]
Ex52.二次函數 f (x ) ,滿足 f (1)=3, f (2)=2, f (5)=11 求 f (3) 。[3]
插值法番外篇:階差!
若插值的自變數為等差數列 時,可用階差解之。
例:二次函數 f (x ) 滿足 f (1)=3, f (2)=2 , f (3)=7 ,求 f (4) 。
法一: 1× f (1)−3× f (2)+ 3× f (3)−1× f (4)=0 得 f (4)=18
法二:
3,2,7,18
-1,5,11
6,6
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例:三次函數 f (x ) 滿足 f (2010)=3, f (2020)=2 , f (2030)=7 , f (2040)=5 ,求 f (2050) 。
法一: 1× f (2010)−4× f (2020)+ 6× f (2030)−4× f (2040)+ 1× f (2050)=0
得 f (2050)=−17
法二:
3 , 2 , 7 , 5 , -17
-1 , 5 , -2 , -22
6 , -7 , -20
-13,-13
謎之彬音: deg ( f (x+ k )− f ( x))=deg ( f ( x))−1
A , B , C , D , E
B-A , C-B , D-C , E-D
A-2B+C , B-2C+D , C-2D+E
A-3B+3C-D,B-3C+3D-E
A-4B+6C-4D+E
插值法番外篇:泰勒!
連續使用綜合除法,轉換 f (x )=∑
k=0
n
ak x
k=∑
k=0
n
bk (x−c)
k
,常用來求近似值。
例: f (x )=2 x3−4 x2−22 x+ 27=a (x−1)3+ b (x−1)2+ c (x−1)+ d ,求 f (0.999) 的近似值。
⇒ f (x )=2( x−1)3+ 2( x−1)2−24( x−1)+ 3 ⇒ f (0.999)≈3.024
補充:上式中, bk=
f (k )(c)
k !
。(若微分的連鎖律不熟悉,建議先少用微分)
Ex53.設 f (x )=3 x4+ 4 x3−5 x2+ 6 x+ 7 ,
(1)若 f (x )=a (x+ 2)4+ b (x+ 2)3+ c (x+ 2)2+ d (x+ 2)+ e ,求 a、b、c、d、e 之值。
(2)求 f (−1.998) 之近似值至三位小數
(3)求 a−b+ c−d+ e 。[3,-20,43,-22,-9;-9.044;79]
Ex54.設 f ( x)=27 x3+ 54 x2+ 30 x+ 1=a(3 x+ 2)3+ b(3 x+ 2)2+ c (3 x+ 2)+ d
求 a、b、c、d 之值。[1,0,-2,-3]
Ex55.最近記者都很關心豬哥亮父女何時可以團聚,所以媒體記者只要一看到豬哥
亮現身,一定圍上去問一個問題「請問你有沒有找謝金燕」,只見豬哥亮一臉茫然,
不好意思的說了一句「你們怎麼一直問我這個問題!」。
Ex56. f (x )=(a−2) x3+ (b−c+ 1) x2+ (2 c−1) x+ d + 2 ,
若 f (√3)= f (π)= f (2011)= f (100)=6 ,求 a ,b ,c ,d 之值[ 2 ,−12 ,
1
2
, 4 ]
Ex57.設 f (x )=(a+ 3)x3+ (b−2) x2+ (3c+ 4) x+ d ,若
f (1)=1, f (2)=2, f (3)=3, f (4)=4 ,求 a、b、c、d 的值。[-3,2,-1,0]
Ex58.設 f (x )=x4−2 x3+ 3 x2−5 x+ 1 , g ( x)=x17+ 5 x8−7 x5+ x3−4 x+ 1 ,求:
(1) f (x )⋅g (x ) 的各項係數和。
(2) f (x )+ 2⋅g ( x) 的偶次項係數和與奇次項係數和。[6,17,-25]
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Ex59.設 f (x ) 為 x 的多項式,若 f (x+ 1)− f ( x)=2 x 且 f (0)=2 ,求 f (x ) 。
[ x2−x+ 2 ]
HINT : k≠0 ,多項式 f (x ) , deg ( f (x+ k )− f ( x))=n⇔deg ( f (x ))=n+ 1
Ex60. a≠0 ,設多項式 f (x) 除以 (a x−b) 得商為 q (x) ,餘式為 r,下列何者
為真?(A)以 x−
b
a 除
f (x ) 之餘式為 a⋅r (B) f (b⋅x) 被 a x−1 除之餘式為
r (C) f (b⋅x) 被 a x−1 除之商為 b⋅q( x) (D) a⋅ f (x ) 被 x−
b
a 除之餘式為
a⋅r (E) x⋅ f (x ) 被 x−
b
a 除之餘式為
b⋅r
a [BDE]
Ex61.設 f (x)=x4+ 4 x3+ 3 x2+ a x+ b 與 g ( x)=x3+ 3x2+ 2 x+ 1 被 (x+ 1)2 除的餘式
相同,則數對(a,b)=?求 ( f (x )⋅g (x ))÷(x+ 1)2 的餘式?[ (−3,−2) ,−2 x−1 ]
Ex62.設 f (x )=2 x3−4 x2−x+ 1
(1) f (x )=a+ b (x−1)+ c( x−1)( x−2)+ d (x−1)(x−2)( x−3) ,求 a+ b+ c+ d 值[9]
(2)若 f (x )=α(x−2)3+β(x−2)2+γ(x−2)+δ ,求 α+β+ γ+δ 值[16]
(3)以 (x−2)2 除 f (x ) 之餘式為何? [ 7 x−15 ]
(4)求 f (1.99) 至小數點後二位。[-1.07]
(5)求 f (2+ √5) 值。[ 17√5+ 39 ]
Ex63.設 x=3√2+ √3+ 3√2−√3 ,則 x4−2 x3−3 x2+ 2 x+ 4 之值為何?[-4]
HINT: x=u+ v , u3+ v3=4 , u v=1 , (u+ v )3=u3+ v3+ 3 uv( u+ v ) , x3=4+ 3 x
Ex64.若四次多項式 f (x) 以 (x−1)3 除之餘式為 3,以 x−2 除之餘式為 6,以
x+ 2 除之餘式為 138,求 f (x) 。[ (x−1)3(2 x−1)+ 3 ]
Ex65.若 x=
1
√3+ √8 ,則 x
4+ 4 x3+ 4 x2+ 4 x+ 3 之值為何?[ 4√2 ]
Ex66.設 f (x )÷( x−1)2 得餘式 2 x+ 1 , f (x )÷( x−2)2 得餘式 x+ 3 ,求 :
(1)以 (x−1)(x−2) 除 f (x) 之餘式。
(2)以 (x−1)2(x−2) 除 f (x) 之餘式。
(3)以 (x−1)2(x−2)2 除 f (x) 之餘式。[ 2 x+ 1 ,2 x+ 1 ,−(x−1)2(x−2)+ 2 x+ 1 ]
Ex67.多項式 f (x )=x32−3 x24+ 3 x14−2 ,求 f (x) 除以下列各式之餘式:
(1) x2+ x+ 1 (2) x3−x2+ x−1 (3) x4− x3+ x2− x+ 1 。[ −4 x−9 ,3 x2−4 , x2−2 ]
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Ex68.設多項式 f (x) 之係數和為 2,若以 x2+ x+ 1 除 f (x) 之商為 q (x) ,餘
式為 2 x+ 5 ;則以 x−1 除 q (x) 之餘式為何?[
−5
3 ]
Ex69.設 f (x )=x4+ 3 x2−2 x−1 且 g ( x)= f (2 x−3) ,則以 2 x−1 除 g ( x) 所得之
餘式為?[31]
Ex70.求以 (x+ 1)2 除 x12 的餘式。[ −12 x−11 ]
Ex71.求 (x2+ 2 x+ 3) 除 (x2+ 3 x+ 4)20 的餘式。[1024]
Ex72.以 (x−1)2 除 x100+ 1 的餘式為何?[ 100 x−98 ](硬上 ,二段 ,二項 ,泰勒)
Ex73.求 f (x )=x2006−1 除以 x4+ x3+ 2 x2+ x+ 1 的餘式?[ x2−1 ]
Ex74.設 (x+ 1)n(x2+ a x+ b)÷(x−1)2 的餘式為 2n(x−1) ,求 a,b 之值?[-1,0]
Ex75. f (x )=x10+ 2 x9+ 1 除以 x2+ x−2 的餘式為?[ x+ 3 ]
Ex76.三次多項式 f (x) , f (1)= f (2)=0 , f (3)=−4 , f (4)=−6 ,求
f (x) =?[ (x−1)(x−2)( x−5) ]
Ex77.已知 f (x )=(23 x3+ 75 x2+ 61 x+ 8)12=( x2+ 3 x+ 2)⋅q( x)+ a x+ b ,試求
(23756108)12 除以 (101×102) 之餘數。[8788]
Ex78.若 f (x )=2⋅
(x−√3)(x−√5)
(√2−√3)(√2−√5)
+ 3⋅ ( x−√2)(x−√5)
(√3−√2)(√3−√5)
+ 5⋅ (x−√2)( x−√3)
(√5−√2)(√5−√3) ,
求 f (√179) 值。[179]
Ex79.若多項式 f (x ) 的次方為 100 次,且
f (1)=1 , f (2)=1
2
, f (3)=1
3
,⋯, f (101)= 1
101 ,求
f (102) 值。[
1
51 ]
[HINT]:令 g ( x)= x⋅ f ( x)−1 。
Ex80. 2 x3−5 x2+ 6 x+ 3=a( x−1)( x−2)( x−3)+ b( x−1)( x−2)+ c( x−1)+ d ,
求 a ,b ,c ,d 值。[2,7,5,6]
Ex81.設 a> b> c> 0 , a ,b ,c∈ℤ 。若 x−c 為 f (x )=x (x−a)(x−b)−2 的因式,
求 a+ b+ c 值。[6]
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2-3 多項式方程式
一、複數系( ℂ )
原先的實數系無法找到 x2+ 1=0 的根,因此需再推廣,使平方能負。
引入虛數單位 i=√−1 ,滿足 i2=−1 。
定義:形如 a+ bi ( a , b∈ℝ )的數稱為複數;其中 i=√−1 。a 稱為實部,b 稱為虛部。
i=√−1 ; i2=−1 ; i3=−i ; i4=1 (四次一循環)
若 b=0 則稱為實數;若 a=0 則稱為純虛數。
複數的四則運算
加法、減法:實部虛部分開獨立運算
乘法:分配律
除法:分母實數化
虛數不在實數數線上,無大小之分。
謎之彬音: a> b⇒a−b> 0 (其逆不真)。
虛數單位 i 不置放於分母 。(分母請實數化 ,仿有理化的方式)
虛數單位 i 不置放於根號 內。(請解平方根 ,見下下例)
a∈ℝ ,√a2=∣a∣,√a2=a
注意: a b={−ab ,a0∧b0ab ,otherwise , ab ={−ab , a0∧b0ab , otherwise
Ex82.解 x2+ 2 x+ 2=0 。[ −1±i ]
Ex83.求 i 之平方根。[ ±
1i
2 ]
Ex84. z∈ℂ , z2=3−4i ,求 z(求 3−4 i 之平方根)。[ ±2−i ]
Ex85.解方程式 x2-(3+2 i)x+5(1+ i)=0 的根。[2- i,1+3 i]
Ex86. x , y∈ℝ ,且 x+ y+ i=−10+ x⋅y⋅i ,求 x− y2 [-8]
i 與 ω 的週期性質
i=√−1 , {i4=11+ i+ i2+ i3=0 。
ω=−1+ √3i
2
, {ω
3=1
1+ω+ω2=0
ω2=
1
ω
=ω
。
Ex87.(1)求 1+ i+i 2+ +i6 2 之值
(2) ω=−1+ √3 i2 ,求
3132...172 之值。[ i ,ω ]
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Ex88.若 x
1
x
=−1 ,求 x19
1
x19
之值。[ −1 ]
共軛複數:
1.定義:設 z=a+ b i ( a , b∈ℝ ),則 a−b i 稱為 z 的共軛複數,記為 z=a−b i 。
2.性質:(1) 2121 zzzz (2) 2121 zzzz (3) z n=zn (4)
2
1
2
1
z
z
z
z
複數的絕對值(補充):
定義:設 z=a+ b i ( a , b∈ℝ ),規定 z 的絕對值 ∣z∣=a2b2
性質:(1) ∣z∣=∣z∣≥0 (2) ∣z∣2=z⋅z (3) ∣z1⋅z 2∣=∣z 1∣⋅∣z2∣ (4) ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣ (5) ∣zn∣=∣z∣n
謎之彬音: ∣Z∣2≠Z 2
Ex89.設 z=
5−12 i ⋅72 i
2−7 i ⋅34 i ,則 |Z |=?[
13
5 ]
二、實係數一元二次方程式 a x2+ b x+ c=0 ( a ,b , c∈ℝ , a≠0 )
1.二根為 x= −b±b
2−4a c
2a
,判別式 Δ=b2−4 ac 。
2.根的性質:兩相異實根( Δ> 0 ),兩相等實根( Δ=0 ),兩共軛虛根( Δ< 0 )。
實係數方程式虛根成對。
Ex90.解方程式
1
x−1
+
1
x−2
=
3
2 。[
3∨4
3 ]
3.根與係數的關係:設實係數二次方程式 a x2+ b x+ c=0 二根為 , ,則
(1) =
−b
a (2)
⋅=
c
a 。
以 , 為二根的一元二次方程式為 x2−(α+β) x+αβ=0
4.正根、負根: D=b2−4a c
(1)二正根:
0
0
0
D
(2)二負根:
0
0
0
D
(3)一正根、一負根: ⋅0
(4)二根均大於 10: {D≥0α−10 β−100α−10⋅ β−100 。謎之彬音:可以用 {
D≥0
αβ20
α⋅β100
嗎?
Ex91. α ,β 為 x22x+3=0 的二根,求
(1) α2+ β2 (2) α3+ β3 (3) α4+ β4 [-2,-10,-14]
Ex92. , 為 x2+ 6 x+ 4=0 的二根,求
2
之值?[-10]
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Ex93.若 =−13 i2 ,求下列各