微积分论文 积分第一中值定理的逆问题及其推广

积分第一中值定理的逆问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 及其推广 摘 要 本文给出了推广的积分第一中值定理的逆问题并加以证明. 在此基础上，给出了二维积分中值定理逆问题的证明. 关键词 积分第一中值定理;逆问题;连续函数;可积 一( 问题的引出 文[1]讨论了积分第一中值定理的逆问题，受之启发，本文给出了推广的第一积分中值定理的逆问题的证明. 并在文[2]的基础上，本文也证明了该逆问题的二维推广形式. 为了叙述方便，下面把推广的积分第一中值定理及二重积分中值定理分别作为定理1与定理2引述如下. [3] 若函数与在闭区间上连续且在上恒正(或恒负)，定理1，，，，,,，，,,fxgxa,bgxa,b则在上至少存在一点，使得 ,,,a,b bb. ，，，，，，，，fxgxdx,f,gxdx,,aa 注 若本定理中的条件“在上连续”减弱为“在可积”时，定，，，，,,,,gxa,bgxa,b理仍然是成立的. ,,4定理2 若函数，，在闭区域D上连续，函数，，在D上可积且恒正(或恒负)，fx,ygx,y 则存在一点,D，使得 ，，,,, . ，，，，，，，，fx,ygx,ydxdy,f,,,gx,ydxdy,,,,DD 定理1的逆问题为:若函数，，与，，在闭区间上连续，，，在上恒正,,,,fxgxa,bgxa,b ,(或恒负). 则对于上任意一点，必存在[]，使得[]， 并且 ,,,,,,,,,,,,,a,ba,b ,, . ，，，，，，，，fxgxdx,f,gxdx,,,, 一般情况下，上述命题是不一定成立的. 反例如下 2,设，，，，，，. 取，则容易推出 ,,fx,gx,1x,1,1,,0x ,2 xdx,0,, ,11,,333，，即 . x,,,,0,,,33,,, 于是，这便和相矛盾. ,,,,,, 同样的，二维积分中值定理的逆问题在一般情况下也是不能保证其是成立的. 下面给出 1 定理1和定理2的逆定理. 二(问题的结果及证明 1.对推广的积分第一中值定理的逆问题的讨论 现把推广的积分第一中值定理的逆问题作为定理3叙述如下 定理3 若函数在闭区间上连续且严格单调，在上可积且恒正(或，，，，,,,,fxa,bgxa,b恒负)，则对任意的，必存在，使得，且满足 ,,,,,,,,,,,,,a,b,,,a,b,,, ,, . ，，，，，，，，fxgxdx,f,gxdx,,,, 证明: 函数是严格单调的，不妨设它为严格单调递增且(其他的情况证，，，，fxgx,0明类似). 对于，取，使得. 根据积分保号性可知 ,,,,,,,,,,,,,a,b,,,a,b,,,1111 ,1 ，，gtdt,0,,1 现设 ,1ftgtdt，，，，,,1 . K,,1，，gtdt,,1 (1) 若, 则取 =即可. ，，,,,,f,,K,,,,,,11 (2) 若，现设 ，，f,,K ,1ftgtdt，，，，,x， K(x),,1，，gtdt,x 其中 ,,,,,,x1 则 ,1ftgtdt，，，，,,，，，，，， = . f,,K,f,,,1，，gtdt,, ',据定理1知, 存在，使得 ,,,,,,1 ,,11' ，，，，，，，， ftgtdt,f,gtdt,,,, 于是 2 ,1'f()g(t)dt,,,'= = . ，，，，，，，，，，f,,K,f,,f,,f,,0,1g(t)dt,,所以 . ，，，，，，K,K,,f,,K,1 由于函数在上也是连续的. 于是根据连续函数的介值性定理知，存在，，,,Kxa,b , 使得 ,,x,,,,11 ，，，，Kx,f,1 即 ,,11 . ，，，，，，，，ftgtdt,f,gtdt,,xx11此时取 =即可. ,,,,,,,,,x,,,a,b11 (3) 若,现设 ，，f,,K xftgtdt，，，，,,1 = ， K(x)x，，gtdt,,1 其中 ,,,,,,x1 则 , ftgtdt，，，，,,1，，，，= ，，. f,,K,f,,,，，gtdt,,1 ',据定理1知，存在[,]，使得 ,,,1 ,,' ，，，，，，，，ftgtdt,f,gtdt,,,,11则 ,'fgtdt，，，，,,,'1，，，，，，= . ，，，，f,,K,,f,f,,f,,,0,，，gtdt,,1于是 ，，，，，， . K,,f,,K,,K1 ，，对于函数，据连续函数的介值性定理知，存在,,, 使得 Kxx,,,,12 3 ，，，，Kx,f,2 即 xx22 . ，，，，，，，，ftgtdt,f,gtdt,,,,11 此时取 =即可. ,,,,,,,,,,,x,a,b12 注1 在该定理中，若令，便得到文[1]所研究的结论，即 ，，gx,1 推论 函数在闭区间上连续且严格单调，则对任意的，必存在,，，,,,,,fxa,ba,b ，使得，并满足 ,,,,,,,,,,,,a,b,,, ,. ，，，，，，fxdx,f,,,,,, 注2 在该定理中的条件“严格单调”的条件是必不可少，否则便不能保证结论，，fx 成立.对此前面已做出说明. 2.对二维积分中值定理逆问题的证明 现把二维积分中值定理的逆问题作为定理4叙述如下 定理4 若函数在有界区域D上连续且关于分别严格单调递增(或递减)，，，fx,yx,y ,,函数，，在D上连续且恒正(或恒负)，则对于任意的(其中D 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示D的，，gx,y,,,,D内部)，存在区域，使得，且 E,D，，,,,,E . ，，，，，，，，fx,ygx,ydxdy,f,,,gx,ydxdy,,,,EE 证明: ，，在有界区域D上严格单调，不妨设为严格单调递增且，，fx,ygx,y,0 (，，在D上严格单调递减的情况类似可证). fx,y ,对任意的，存在的一个邻域，暂将固定，，(,,,),,,,y,,,,DD,a,b，c,d,D1，，. 对于任意的,,，据定理3，存在，使得 ,,,,,,y,c,d,,a,bx,x,a,b12 xx22 ，，，，，，，，，，，，fx,ygx,ydx,f,,ygx,ydx,f,,yGy,,xx11 x2，，其中 ，，. Gy,gx,ydx,x1 ，，这里的f(,,y)在,,上连续且严格单调递增，又因为在D上连续且y,c,dgx,y，，，，>0，于是在,,上可积且恒正. gx,yGyc,d 4 对于与，再次运用定理3，对任意的，存在，使，，，，,,,,,,f,,yGy,,c,dy,y,c,d12得 yy22 . ，，，，，，，，f,,yGydy,f,,,Gydy,,yy11 取，于是 E,,,,,x,x，y,y1212 yx22 ，，，，，，，，fx,ygx,ydxdy,dyfx,ygx,ydx,,,,yx11E yx22 =，，，，dyf,,ygx,ydx,,yx11 y2 =，，，，f,,yGydy,y1 y2= ，，，，f,,,Gydy,y1 yx22= ，，，，f,,,dygx,ydx,,yx11 =. ，，，，f,,,gx,ydxdy,,E 综上，定理获证. 参考文献 [1] 周友明. 第一积分中值定理的逆问题及其渐进性[J]. 大学数学，2004，20(2):121-126. [2] 郝建丽，刘继全. 二重积分中值定理的逆命题[J]. 商丘师范学院学报，2001， 17(2):109-111. [3] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册)[M]. 北京:高等教育出版社，1991. 294-295. [4] 杨熙泉. 二重积分的第一中值定理[J]. 山东工业大学报，1995，25(4):398-400. 5 Inverse Problem of the First Mean Value Theorem for Integrals And its generalization Jiang ping 01211063 (Dept. of Math. Xuzhou Normal University, Xuzhou 221116) In this paper, we discuss the inverse problem of the first mean value for Abstract integrals. On this base, we also prove the mean value theorem of the double integrals. Keywords the first mean value for integrals; inverse problem; continuous function; integrable 6