[常识]5. 圆的极坐标方程(教员版)
5 圆的极坐标方程
主备: 审核: 学习目标:
1. 能写出不同位置的圆的极坐标方程,已知圆的极坐标方程,能在极坐标系中画出圆的图形;
2. 会将圆的极坐标方程与圆的直角坐标方程互化. 学习重点:圆的极坐标方程的求法.
学习难点:一般形式下圆的极坐标方程的推导. 学习过程:
一、课前准备
PP1213,阅读教材的内容,并思考下面的问题:
221(直角坐标系中,单位圆在极坐标系中如何
表
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示, xy,,1
答: ,,1
22(极坐标系中,圆心在极点,半径等于的圆,能否用方程表示,
答:可以,可以表示为. ,,2
二、新课导学:
(一)新知:
C1. 已知圆的半径为,圆心在不同的位置上,试求出圆的极坐标方程.a
PPP
xCOxCO
Ox图2图3图1
P 设圆上的动点的坐标为, (,),,
P(1)图1中,动点不论运动到什么位置,到极点的距离始终是,所以圆的极坐标方程a
,,a是:.
,OPAAcos,(2)图2中,设圆与极轴交于点,在直角三角形中,,即,2a
,,,2cosa,即为所求圆的极坐标方程.
,,PBO,PBOB(3)图3中,设圆与垂直于极轴的直线交于点,则,在直角三角形中,
,sin,,PBO,,,2sina,即,即为所求圆的极坐标方程. 2a
按照上面的思路,写出下面两种情况的圆的极坐标方程:
xOP
xCOC
P
图5图4
3,OC(4)图4中,设直线与圆交于点,则, A,,,POA,2
,3,RtPOA,在中,,化简得,即为所求圆的方程.,,cos(),,,,2sina,22a
,,,POA,,(5)图4中,设极轴的延长线与圆交于点A,则,
,RtPOA,在中,,化简得,即为所求圆的方程.cos(),,,,,,2cosa,,2a
(二)典型例题:
R【例1】已知圆心在,半径为,试写出圆的极坐标方程( M(a,0)
P的坐标为,如图 ,【解析】设圆上动点(,),,y
P,OPM在中,,,,||OP,,||PMR,||OMa,
x,,POM,,由余弦定理可得:OM
222aR,,,cos,,, 2a,
222 即 .即为所求圆的极坐标方程. ,,2a,cos,,a,R,0
动动手:在圆心的极坐标为,半径为4的圆中,求过极点O的弦的中点的轨迹.A(4,0)
P
MOPMA【解析】如图,设弦的中点为,连,M(,),,
x OA
,RtAMO,cos,在中,,所以,所求方程为,4
,,,4cos.
22【例2】(1)化在直角坐标方程为极坐标方程, x,y,8y,0
,(2)化极坐标方程 为直角坐标方程. ,6cos(,),,3
x,,,cos,【解析】(1)由互化公式,得: ,y,sin,,,
2222 ,因为不恒为0,所以.,,,,8sin,,,,,,cossin8sin0,,,
,,, (2) 将展开,得,,6cos(,),,6coscos6sinsin,,,,,333 2即,两边同乘以,得,,,,,,3cos3sin,,,,,,,3cos3sin
x,,,cos,222将互化公式及代入,得 ,,,xy,y,sin,,,
22. xyxy,,,,330
22动动手:(1) 化在直角坐标方程为极坐标方程, xyxy,,,,240
,(2)化极坐标方程,,8sin() 为直角坐标方程. ,,62【解析】(1)根据互化公式,有, ,,,,,,,,2cos4sin0
即:. ,,,,,4sin2cos
,,,,,8sin(),,8sincos6cossin (2) 将展开,得,,,,,,666
即, ,,,,,43sin4cos
2,得两边同乘以,,,,,,,,43sin4cos Px,,,cos,222将互化公式及代入,得,,,xy,y,sin,,, 22. xyxy,,,,4430M【例3】若圆心的坐标为,圆的半径为,求M(,,,)r00
圆的方程. 运用此结果可以推出哪些特殊位置的圆的x极坐标方程. O
【解析】如图,设, P(,),,
因为M(,,,),所以,,,POM,,(或,,,), 0000
||MO,,,,, ||PO,,||PMr,0
,POM在中,由余弦定理,得
222, r,,,,,,,,,,2cos()000222即所求的圆的极坐标方程为. ,,,,,,,,,,,2cos()0r000
这是圆的极坐标方程的一般式,它可以推得任何特殊位置的圆的极坐标方程.
三、
总结
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提升:
,,1(求曲线的极坐标方程,就是建立以、为变量的方程;类似于直角坐标系中的x、y.求曲线的极坐标方程时,关键是找出动点所满足的几何条件,再运用三角运算、化简,得出极坐标方程.
2.将极坐标方程与直角坐标方程互化,要注意互化公式的灵活运用,要注意互化前后两个方程的等价性.
3.特殊位置的圆的极坐标方程比直角坐标方程简单,要会运用解三角形的方法求出圆的极坐标方程.
四、反馈练习:
1.圆的圆心和半径分别是 ( B ) ,,,4sin
,,, A(、 B(、 C( 、 D(、2(2,)2(2,)4(2,),4(2,0)222
2. 圆的圆心坐标是( A ) ,,,,,5cos53sin
5,4,2,,A( B( C( D( (5,)(5,)(5,)(5,)3333
123. 曲线的极坐标方程为,则曲线的直角坐标方程为.,,,,tanyx,cos,
4. 极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为.,,,2cos,,,2sin2
,CCr,35. 在极坐标系中,已知圆的圆心,半径,求圆的极坐标方程.C(3,)6
,,,POx,xOC【解析】如图,,,,,6P
,,POC则,,,(,), ,,66C,,, ||3PC,||3OC,||OP,,x
,POC在中,由余弦定理,得 O
,222||||||2||||cos()PCOPOCOPOC,,,,,,6
,2, 即9923cos(),,,,,,,,6
,,,6cos()所以,所求方程为. ,,6
五、学后反思: