【word】 H^3（-1）中常Gauss曲率曲面和无界主曲率曲面

【word】 H^3（-1）中常Gauss曲率曲面和无界主曲率曲面 H (-1)中常Gauss曲率曲面和无界主曲 率曲面 第23卷第2期河南 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 学院(自然科学版) 2011年6月JOURNALOFHENANINSTITUTEOFENGINEERING Vo1.23,No.2 Jun.2O11 ,_,3(一1)中常Gauss曲率曲面和无界主曲率曲面 贾会才,刘付军 (河南工程学院数理科学系,河南郑州451191) 摘要:构造了双曲空间中常Gauss曲率曲面,给出了一类从(c)(0<c<1)到(一1)的主曲率无界的等距 浸入. 关键词:Gauss曲率;主曲率;等距浸入 中图分类号:0186文献标识码:A文章编号:1674—330X(2011)02—0076—05 设(C)(C<0)是一个常截面曲率为c的双曲空间.它的Cayleymodel是Minkowski空间”中超曲 ‘n 面F:<,>,=1,>0,其中<’,?> 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示Rn”中的内积,即(,)=?xiy—Xn+lY,V=i=l (一,),Y=(Y一,Y)?R.我们用(c)来表示具有常截面曲率C的凡维空间形式,即(0)= 1 E,(e)=5(1)(c<0).关于从M(c)到”(c)的等距浸入的问题,下面是一些已知的整体结果: ?c (1)C=0.任何一个等距浸入到”中的的完备流形都是通过一平面曲线建立的n维柱面,即 = E×C,其中c是正交于的平面上一条曲线.这是Hartman和Nirenberg中的结果…,n=2的情 形见Massey. (2)C=1.一个从S到”的等距浸入是刚性的,即它只能是一全测地嵌入.双曲的情形和上面大 不相同,等距浸入似乎更加丰富.事实上,Nomizu构造了具有3种不同性质的从(一1)到(一1)的一族 单参数的等距浸入的例子J.Ferus证明了对于给定的H(一1)中余维为1的全测地叶状结构,有一族从 (一1)到”(一1)的等距浸入使得相对的零维叶状结构和给定的一致..胡泽军和赵国松在文献[8]中 把决定(一1)到(c)(c<一1)的等距浸入的问题转化为求解限制在单位圆盘上的Monge-Ampere方程, 进而对有界主曲率的情形做了分类.他们又在文献[9]中通过Monge—Ampere方程的一族特解,获得了许多 有脐点或无脐的等距浸入的不 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 的例子.上面两篇文献也分别给出了主曲率有界和无界的例子,但这些例 子均为无显式的.因此,寻找一些主曲率有界和无界的显示的例子是一项有意义的工作. 设映射F:(r,)?R_?(rcos0,rsinO,,/1+rsinhr),,/1+r.coshf(r))?(一1),其中,r>0, 0<<2,tr,则F定义了一个等距浸入. 定理1上述浸入的Gauss曲率是常数的充分必要条件为 其中,0<C?1,K<0. 设(c)(.<c<1)是(一1)中一个平面,s?R6()?是一常曲率(s)1的曲线? 设z(s) 是6(s)的法平面上的单位向量,并且(y(s),;z(s))1 ,其中z(s)是6(s)的主法向量.则有 收稿日期:2011—05—04 作者简介:贾会才(1981一),男,河南许昌人,助教,硕士,主要从事微分几何与图论方面的研究 第2期贾会才,等:H(一1)中常Gauss曲率曲面和无界主曲率曲面?77? 定理2 主曲率为: 设M2={(cosh)6(s)+(sinht)Z(s),s,t?R},则M2是等距浸入厂:的像,且-厂的 ec+鸶,2?一C 1一类常Gauss曲率曲面 由映射我们可知 F:cosO,in0,+.0sh厂,+ih,, ~/1+T~/1+r F=(一rsin0,rcosO,0,0). 显然,<Fr,>=0和<dF,dF>:+(1+r)]dr2+rd 因此,映射定义了一个从R到(一1)的等距浸入,其诱导度量为: g=[南+(1)+r2dO. 下面我们来看F的单位法向量. 设=(A,B,C,D),显然 <,F,>=0=<,F口>=<,F>=0 由<,F,>=0知 Acos邶si0+c(+厂.hf)一D(+厂inhf): ~/1+r~/1+r 由<,F口>:0知 由<,F>=0知 A(一rsin)+B(rCOS):0; A(rcos)+B(rsin)+c(sinhf)一D(coshf)=0; 又因为是单位法向量,故 A+B+C一D=1. 联立以上4个式子,解之得: A:兰,:兰, ?1+(1+/2)f?1+(1+12)_尸 cosh C=1+12rsinhf— 7 则所求的单位法向量为: ?二 7 一ri?!:2三旦i?!:21【?!:21二(?:21旦二 s’’’ 由两个切向量F,F.我们可知: : (0,0,: ?!:2(?! (1+ !【!?! (1+12)-_,3 :二!:竺 rz,手 F= ++(/,,..h_厂+厂z/), 1+r + rf — sin — hf+ih厂+厂..hf)), ?1+r (一TCOS0,一rsin0,0,0), ? 78?河南工程学院(自然科学版)2011血 ,rO—sinO,一cos0,0,U,,Or? 则:. ?-<F,>=一三 1 兰 1--;声1r,~/+(+r)?+ zz:<F卯,>=一, h12=<F坩,>=0:h21. 又因为浸入的诱导度量为g+(1+r]dr2+r2d02,所以g?+(1+r2)厂,g=r2~ 则浸入F的主曲率为: Jj},:一龃,::一—, (1+(1+r))}r,/1+(1+r) K=ksk2= 由Gauss方程Rl2l2=一1+可知 厂(1+r2)[3rf+(1++(1+r2)rf …=世 1菩rz为r(1+(+),) 1+r2 1+(1+r)2厂 一一 )=2r(1一). 又因为K是常数,两边积分得. )+c=. 因为上式对任意的r都成立,且式子右边恒大于0,故K<0,C>0. 所以 f,2一二曼二一一 (c+r2(1一K))(1+r)’ 其中,0<C1,K<0.从而定理1得证. 注记:上述浸入的主曲率是有界的. 2一类无界主曲率曲面 设:s?R_?口(s)E(c)是以s为弧长参数的一条曲线,其中(~/r+,,等),则 其单位 法向量为l,()=(一,一,~/厂一).下面我们来看映射: (s,t)?Rx(s,t)?日2(c), 其中,x(x,t)=(cosht)a(s)+(sinht)Y(s),容易证明这个映射是从R到(C)的微分同胚,所以我们给出 了(C)上的一个整体坐标系(s,t). 的两个切向量为:=(se,,e,,se),=(sinht—e,cosht—e). 由于在R中向量=(一se一,一e,,一se)等价于一,这意味着对于上协变微分v有 V. ()=一. 由于,可交换,我们也有 第2期贾会才,等:H.(一1)中常Gauss曲率曲面和无界主曲率曲面?79? V()一X? 假设第二基本形式A满足 a(x)=半e和A(x)一cAx, 其中,A=A(s,t)是一个合适的函数.Codazzi方程应该被满足: V(A())=V(A()). 即Ve-2t=V(一c), 一 c+cAX~=一+(), 所以,A(s,)与s无关,且 警一. 解之得A=e一’(e4’+)‚,其中c为常数. 由于,=<X>ds+<XX>dt:e-2td一cdt, 所以主曲率为: ec+舞?.20一c 由中曲面的基本定理可知,存在一个从(c)到(一1)的等距浸人,且以kt,k为其主曲率,显然 两个主曲率均为无界的. 下面我们来确定这样的等距浸入/:(c)一(一1).设6(s)=口())和z(s)=f.(y(s)),其中 f是厂的微分算子.H3(一1)和(c)上协变微分分为V和V,且 V杀((s))=f.(V击(0(s)))+, 其中,,(s)和at(s)分别是曲线6(s)和0(s)的切向量,是曲面)的单位法向量场?于是 ,V喜(b)=Z+,05 且V砉(z);7击()=一b? 因此,中曲线6(s)的曲率为(s):1 , 主单位法向量为:=,副单位法向量,挠率为 二():o.V(s),z(s)是6(s)的法平面并且<y(s),e2(s)>=1.厂映中,一曲线为H3中测地线?因 此,我们有x(s,,))=(cosh,)6(s)+(sinh,)z(s). 定理2得证. 注记:这里.中的内积为<,Y>:一.y0+?xiy,V=(‰,一,),Y=(Yo,Y 一,)?R? 3结语 以上是本文寻找的双曲空间中主曲率有界和无界的显示的例子,这 些结论为今后这方面的研究提供了 一 个很好的现实依据. ? 80?河南工程学院(自然科学版)2011血 参考文献 [1]HartmanP,NirenbergL.OnsphericalimagemapswhoseJacobiansdonotchangesign[J].AmerMath,1959(81):901— 920. [2]MasseyW.SurfacesofGaussiancurvaturezeroinEuclidean3一 space[J].TohokuMath,1962(14):73—79. 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SomeSurfaceswithConstantGaussCurvatureandUnboundPrincipalCurvaturesinH3(一1) JlAHuicai.LIUFujun (DepartmentofMathematicalandPhysicalSciences,HenanInstituteofEngineering,Zhengzhou451191,China) Abstract:SomesurfaceswithconstantGausscurvatureareconstructedinhyperbolicspace,thenanisometricimmersionwithunbound principalcurvaturesfrom(c)(0<c<1)intoHs(一1)isobtained. Keywords:Gausscurvature;principalcurvature;isometricimmersion (上接第66页) [12]ZhangZhenhua,ChenBailiang,FuHenglin,eta1.Lineark—arborieities ontrees[J].DiscreteApplMath,2000,103(1/3): 281—287. [13]AkiyamaJ.ThreeDevelopingTopicsinGraphTheory[D].Tokyo:Unive rsityofTokyo,1980. [14]WuJianliang.Onthelineararboricityofplanargraphs[J].JGraphtheory, 134. 1999(31):129— 【15]AkiyamaJ,ExooG,HararyF.CoveringandpackingingraphsIII:cyclicandacyclicinvariants[J].MathSlovaca,1980(30): 405—406. TheLinear2-arboricityofPlanarGraphswithout3-cyclesand4-cycles WANGXuemei,LIHuixu (DepartmentofMathematicalandPhysicalSciences,HenanInstituteofEngineering, Zhengzhou451191,China) Abstract:AgraphGisalinearforestifandonlyifeverycomponentofthegraphisapath.Thelineararborieityla(G)ofagraphGis theleastintegerksuchthatGcanbepartitionedintoedge—disjointforests.Thi spaperwillrefertothegraphswithout3-cy— clesand4_cycles.The…ltisG)?[]+2_ Keywords:graph;colouring;linear2-arborieity