第6章电磁场中粒子的运动质量m，荷电q的粒子在电磁场中运动，其经典Hamilton量为一、荷电q粒子在电磁场中的Newton方程（经典描述）A：电磁矢势；f：电磁标势；P：正则动量。6.1电磁场中荷电粒子的运动，两类动量将（1）式代入正则方程，有(2)即可得出（3）上式（3）即为荷电q的粒子在电磁场中的Newton方程.式（3）中右边第二项即Lorentz力，实验
证明
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是正确的.证明（3）式以x分量为例，按式(1)和(2)有（5）（6）所以因而可见，在有磁场的情况下，正则动量和机械动量并不相等.将式(5)对t微分，利用(4)和(6)得所以二、电磁场中荷电粒子的Schrödinger方程则电磁场中荷电q的粒子的Hamilton算符可表为因而Schrödinger方程可表为按照证明对易关系的一般方法,可以证明讨论1.定域的概率守恒与流密度式(11)取复共轭,A与f为实，在坐标表象中即式中流密度算符理解为粒子的速度算符2.规范不变性电磁场具有规范不变性，当矢势和标势作下列规范变换时电、磁场强度都不改变.其规范不变性是显然的.但Schrödinger方程（9）中出现A和f，是否违反规范不变性？否！！可证明波函数如做相应的变换则y'满足的Schrödinger方程，形式上与y同，即一、正常Zeeman效应原子中的电子,可近似看成在一个中心平均场中运动,能级一般有m简并.实验发现,把原子（光源）置于强磁场中,原子发出的每条光谱线都分裂为三条,此即正常Zeeman效应.在原子大小范围内,实验室里常用的磁场可视为均匀磁场,不依赖于电子的坐标.设磁场为B,则相应的矢势A可取为6.2正常Zeeman效应取磁场方向为z轴方向，则对碱金属原子，每个原子中只有一个价电子，在原子核及内层满壳层电子所产生的屏蔽库仑场中运动，价电子的Hamilton量可表示为式中是角动量的z分量式(2)还比较复杂.根据物理实际,式(2)还可以化简.在原子中，实验室中的磁场强度,可以估算出(2)式中因此可略去B2项二、加外磁场后的能级分裂对碱金属原子，考虑加外场前后的球对称及守恒量相应的能量本征值为显然加外磁场前后的能级分裂情况是不一样的.能级简并消除→能级发生分裂由于能级分裂，相应的光谱线也发生分裂.下图是钠原子光谱黄线在强磁场中的正常Zeeman分裂.无外磁场加强外磁场原来的一条钠黄线(l≈5893Å)分裂成三条,角频率为w,w±wL.所以外磁场越强,则Zeeman分裂越大.一、电子的Hamilton量考虑电子（质量M，荷电-e）在均匀磁场B中运动,则相应的矢势A可取为取磁场方向为z轴方向，则6.3Landau能级电子的Hamilton量表示为为方便，以下把电子沿z轴方向的自由运动分离出去，集中讨论电子在xy平面中的运动，此时为Larmor频率.式(3)中,B(即wL)的线性项表示电子的轨道磁矩与外磁场的相互作用,而B2项则为反磁项.在Zeeman效应中,由于电子局限在原子内部运动,在通常实验室所用磁场强度下,反磁项很小,常忽略不计.但对于自由电子,或磁场极强时,B2项就必须考虑.二、电子的本征态和本征值征态，即（采用平面极坐标）代入能量本征方程，可求得径向方程电子的能量本征态可取为守恒量完全集的共同本可解出能量本征值E(Landau能级)相应的能量本征函数（径向部分）为F为合流超几何函数，nr表示径向波函数的节点数(r＝0,∞除外).三、能级的简并度1.Landau能级简并度二维各向同性谐振子（自然频率为w0）能级简并度均匀磁场中的电子∞对于较低的几条能级的简并度分析(6)式所示电子能量(＞0)可以看成电子在外磁场B中感应而产生的磁矩mz与外磁场的相互作用-mzB，而上式中的负号表示自由电子在受到外磁场作用时具有的反磁矩。2.Landau能级的简并度不因规范选择而异对于Landau曾经选用过的规范电子在xy平面内运动的Hamilton量为回旋角频率相应的能量本征函数为本征函数依赖于n和y0,而y0依赖于Px,可取(-∞,+∞)中一切实数值,但能级En不依赖于y0.因而能级为无穷度简并.有趣的现象在均匀磁场中运动的电子,可以出现在无穷远处(y0→±∞),即为非束缚态(x方向为平面波，也是非束缚态),但电子的能级却是离散的,而通常一个二维非束缚态粒子的能量则是连续变化的.Landau能级对于理解量子Hall相应很有用,后者指在低温下二维电子气在强磁场中出现的Hall电阻(电导)率的量子化现象.
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