物理第三章刚体力学

会计学物理第三章刚体力学四、坐标系的选取在描述刚体运动的时候，通常采用两种坐标系：固定在空间的坐标系五、刚体运动的分类1、平动：自由度(s=3)，可用其中任一点的坐标x、y、z描述；固定在刚体上并随刚体一起运动的坐标系刚体平动动画3、平面平行运动：自由度(s=3)，用基点的坐标及其对垂直平面过基点轴的转角描述(平动＋转动)。2、定轴转动：自由度(s=1)，用对轴的转角描述；4、定点转动：自由度(s＝3）,用描述轴的方向的,角和刚体绕轴线的转角描述。5、一般运动：自由度6，用描述质心位置的坐标和对质心“定点”转动的三个角描述。§3.2刚体运动方程与平衡方程一、空间力系的简化1、力的可传性原理力可沿它的作用线向前或向后移动，刚体运动不因力沿力的作用前后移动而改变。即：作用在刚体上的力是滑移矢量，而不是自由矢量。作用于刚体的力的三要素：大小、方向和作用线2、力系的简化⑴共点力系：采用平行四边形法则简化为一个单力—合力⑵共面非平行力的简化：利用力的可传性原理，将两力沿力的作用线滑移汇集于一点，再用平行四边形法则简化为一个单力—合力。力偶矩的特点：(3)平行力的简化力偶臂:力偶中两个力的作用线之间的距离。力偶矩:力偶中任何一个力的大小与力偶臂d的乘积，方向可用右手螺旋定则确定。力偶：等大反向的一对平行力（不在同一直线上）力学效果：引起物体的转动。①力偶矩等于力偶中两力对任意一点力矩的矢量和，故力偶矩的量值与取矩点无关。d结论：力偶矩是自由矢量证明：o点任取力的作用面不能随意移动。作用于刚体的力偶的三要素：大小、方向和作用面②只要不改变力偶矩的大小和方向，力偶可在其作用面内任意旋转、平移，也可移到与作用面平行的任意平面内，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变。如果刚体上有n个力偶作用，可将其力偶矩向任一点平移，按平行四边形法则合成为一个力偶矩，也就是说，诸力偶矩的矢量和就是合力偶矩。(4)一力向一点简化说明：该力和力偶矩对刚体的作用与原力等效。一力向一点o简化，得一个力和一个力偶矩，该力等于原力，该力偶矩等于原力对o点之矩。(5)空间力系向一点简化结论：作用在刚体上的任意空间力系可向简化中心简化得：一个单力—主矢和一个力偶矩—主矩。主矢：主矩：力系中每一个力都向简化中心简化得一力和力偶矩，这些共点力和诸力偶矩可合成为一个单力和一个单力偶矩，其作用与原力系等效。简化为主矢和主矩[例]如下图,将力系简化步骤：选取O为简化中心，则①将和平移至O,合成后得主矢;②在O点作的力矩的力矩,合成得到主矩：二、自由刚体的运动微分方程由质心运动定律(惯性系中)即：由对质心的动量矩定理(平动质心系中)：①即：②①、②即为刚体的基本微分方程③对保守力系，刚体机械能守恒④原则上，由以上基本方程，就可以求解刚体动力学问题，还可用动能定理或机械能守恒定律代替其中任一个方程。三、刚体的平衡方程2、平衡方程1、平衡条件：刚体的平衡条件是受的主矢和主矩同时为零,若主矢,而主矩则刚体有转动；若主矢，而主矩,则刚体有平动,故刚体的平衡条件为：。平面力系一矩式空间力系二矩式三矩式适用条件：两个取矩点A、B的连线不得与投影轴垂直ABx适用条件：三个取矩点不得共线ABC例1：一根均匀的棍子，重为P，长为，今将其一端置于粗糙地面上，又以其上的C点靠在墙上，墙离地面的高度为h，当棍子与地面的角度为最小值时，棍子在上述位置仍能处于平衡状态，求棍子与地面的摩擦系数。解:(1)对棍子受力 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，建坐标系(2)求摩擦系数所需的量(3)本题为平面力系的平衡问题说明：也可用二矩式和三矩式平衡条件求解例2：相同的两个均质光滑球悬在结于定点O的两根绳子上，求两球同时又支撑一个等重的均质球，求:之间的关系。解：(1)本题需求(2)隔离红球和左边的绿球并受力分析，本题属于共面非平行力的平衡问题说明：方程(3)也可用下式替换解：（2）受力分析（3）平衡方程（1）建立o-xyz坐标系xyzo以整体为研究对象例3：有一重2Q的人字形梯子，由两个长为的均质杆组成，DE处用无重柔绳拉住，放在光滑水平地面上，M处站一重P的人，求平衡时绳子的张力。(已知：AM=ME=1/3,α)以AB为研究对象：xyzo受力分析：联立方程(1)、(2)得：对C点：(1)对A点：(2)§3.3刚体的平动与绕固定轴的转动一、刚体的平动运动分析：各点运动情况相同，自由度为3。xoyz平动xoyz转动结论：由于各质点运动情况相同(位移、速度和加速度)，所以可用一点（常用质心）的运动代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 刚体的整体运动，由质心运动定理(固定坐标系中)二、刚体定轴转动②刚体上每一点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动。③每个质点的角位移、角速度和角加速度相同，但线位移、线速度和线加速度不同。①一个自由度，用角坐标描述刚体位置很方便。1、运动分析2、速度，加速度①速度：②加速度切向加速度法向加速度3、动量矩在普通物理力学中学过，刚体绕定轴转动的动量矩：是沿转轴方向，为了进一步了解定轴转动的实质，并同时向定点转动过渡，我们从普遍意义上导出定轴转动刚体的动量矩。第i个质点的位矢：设刚体绕oz轴转动，则：则刚体对点o的动量矩为：结论：刚体对转轴上o点的动量矩一般并不沿转轴方向，仅为在转轴方向的分量。4、运动微分方程即：而为常量，有刚体定轴转动的第二转动定律5、动能，势能及机械能守恒①动能：③势能：（刚体的势能等于质心的势能）定轴转动的动能定理：④若作用在刚体上的外力均为保守力，或有非保守力但不做功，则机械能守恒解：刚体受重力和轴的支撑力作用，重力对oz轴的力矩为：根据定轴转动的第二转动定律对微小振动，很小，从而得复摆作简谐振动支撑力通过转轴y[例1]一复摆如图所示，物体在重力作用下绕过o点的轴摆动，设刚体对oz轴的转动惯量为Izz,质心为C,对质心转动惯量Icz,,求复摆的周期。动画演示运动学方程为振动周期为分析：单摆小角度运动微分方程：y由平行轴定理：由上式可知，如果把复摆的全部质量都集中到O´点，这样一个复摆和单摆的运动规律一样，称O´为振动中心。复摆单摆y说明：（1）用复摆测量重力加速度，由于悬点O和O´可以互换(复摆的可逆性)，而不改变复摆的运动规律，利用此关系可以准确测定重力加速度。（2）O´点为打击中心，冲力对O点无冲击效应。注意：只要找到具有相同周期的两点O和O´，就可测得等值单摆长L，然后用下式计算重力加速度解:(1)在初始位置，由刚体对oz轴的动量矩定理得(2)求质心在垂直位置时的速度分析：复摆在摆动过程中只有重力矩做功y[例2]一复摆在重力作用下绕过o点的轴摆动,设复摆对oz轴的转动惯量为Izz,质心为c,,最初oc与竖直方向的夹角为,求:(1)复摆在初始位置的角加速度;(2)在竖直位置时质心的速度。y下摆过程中，对其使用定轴转动的动能定理得用机械能守恒以质心的竖直位置为零势能例3.飞轮对o轴的转动惯量为，以角速度绕o轴转动，制动时闸块给轮以正压力，已知闸块与轮之间的滑动摩擦系数为，轮的半径为，轴承的摩擦忽略不计，求制动所需的时间。动画演示解：由飞轮对o轴的动量矩定理6、定轴转动时轴上的附加压力刚体绕定轴转动时受到转轴的约束,可用刚体的动量定理和动量矩定理来确定作用在A、B两点上的约束反作用力。由刚体动量定理由刚体对A点的动量矩定理因为所以最后一式是刚体绕定轴转动的动力学方程,其余五式用来求约束反作用力说明：若，前五式为平衡方程,最后式子是平衡条件,对应约束反力是静力反作用力(即静压力)(2)当时，约束反作用力为动力反作用力(即动压力)(3)附加压力=动压力-静压力(4)当时，附加压力等于零(即在同样主动力作用下，静压力与动压力相等)的条件如果要刚体转动时不在轴承上产生附加压力,当所有主动力等于零时，动力反作用力也都应等于零。以为未知量的二元一次方程组，要使方程有非零解，即，则必有质心必须在z轴上z轴必须为惯量主轴结论：刚体作定轴转动时，若质心在转轴上且此轴为惯量主轴(即中心惯量主轴)，则轴上的附加压力为零，此时我们说刚体达到动平衡，此转轴为自由转动轴。说明：在制作高速运转的机器时，为了消除附加压力，严密确定质心惯量主轴的位置，是一个非常重要的问题。显然又如以O为参考点,则(1)例1：涡轮可以看作是一个均质圆盘,由于安装不善,涡轮转动轴与盘面法线成交角。涡轮圆盘质量为20千克,半径0.2米,重心O在转轴上,O至两轴承A与B的距离均为0.6米.设轴以12000转/分的角速度匀速转动,试求轴承上的压力。解：选取坐标轴如图.图中,,是固定的坐标轴,而,,为几何对称轴。设在图示瞬间,和正好重合,也是惯量主轴.得首先要求出,由坐标变换求解方程组(1)得而静力反作用之和只有20×9.8=196N,可见动力反作用对轴承的危害更大.在与式中第一项代表静力反作用,第二项代表轴上的附加压力.把题给的数据代入得附加压力说明：由于圆盘在转动，故轴承在所受的附加压力都是周期性的，以上所求出的结果，是在图示位置时的瞬时值。这种冲击式的反作用力，对轴承的危害性更大。§3.4刚体的平面平行运动一、刚体平面平行运动学1、运动分析①做平面平行运动的刚体上与固定平面相平行的所有平面的运动规律是相同的，取任意一个平行截面就可以代表刚体的运动，因此可以把刚体做平面平行运动的问题，简化为一个平面图形做平面平行运动的问题。平面平行运动动画1平面平行运动动画1②一平面图形在某一固定平面内的位置可由该平面图形上一直线表示，因此，平面图形做平面运动的问题可简化为一直线段做平面运动的问题。直线在平面内的任意运动，可分解为平动和转动。随基点A的平动=平面平行运动绕基点A的转动+结论：刚体的平面平行运动可以分解为以基点为代表的平动和绕基点的转动，其中刚体上任一点P的平动位移与基点选择有关，而转动角位移与基点的选择无关。2、运动学方程由以上运动分析可知，运动学方程可由基点的运动方程和绕基点定向转轴转动方程组成，即：注意：所谓绕基点的转动是指，绕过基点且垂直于平面图形的轴的转动，该轴不是固定轴，而是定向转轴。3、速度、加速度⑴速度由运动分析可知，做平面平行运动刚体上任意一点P的速度等于基点的速度+该点绕基点转动的速度之和。速度公式的推导：以基点为S´系的坐标原点，建立平面转动参照系，则---固定坐标系---刚联于刚体的动坐标系0任意一点P的速度：yxzoAP在固定系中（向S系投影）：xzyoAP在平面转动系中(向S´系投影)：基点加速度，P相对于基点A的切向加速度P相对于基点A的向心加速度⑵加速度04、转动瞬心⑴转动瞬心做平面平行运动刚体上瞬时速度为零的点叫做转动瞬心，记为c。说明：②瞬心的速度为零，但它加速度并不为零，否则刚体为定轴转动.①瞬心是唯一的，不同时刻有不同的瞬心；因此刚体的平面平行运动，可以看成是在每个瞬时绕瞬心轴的定轴转动，这个定轴不是真正的定轴，瞬心有加速度。④对瞬心而言，刚体上任一点P的速度都垂直于瞬心C与该点P的连线CP。③瞬心可以在刚体上、也可以在刚体外。⑵瞬心的求法方法一：由刚体上任一点速度公式求方法二：几何法1、已知刚体中两点A、B的速度2、已知一点的速度及垂直向里3、已知两点的速度A、B两点必与瞬心在同一直线上，方法三：根据经验判断物体纯滚动(只滚不滑)时的接触点即为转动瞬心。⑶用瞬心求速度的公式取瞬心c为基点，则注：不能用瞬心法求加速度，因ac不等于零。04、例1：设椭圆规尺AB的端点A与B沿直线导槽ox及oy滑动，B以匀速度c运动，求椭圆规尺上M点的速度、加速度，并求本体极迹与空间极迹的方程式。5、空间极迹和本体极迹⑴空间极迹：刚体运动时，瞬心交替变换，瞬心在固定平面上(固定坐标系中)描绘的轨迹。⑵本体极迹：刚体运动时，瞬心在刚体内(运动坐标系中)所描绘的轨迹。潘索定理：如果本体极迹和空间极迹都是连续曲线，则刚体在作平面运动时，本体极迹将沿空间极迹无滑动地滚动着。两个极迹的切点必为瞬心②求AB杆绕Cz轴转动角速度。方法一：用瞬心法求速度③求速度。注：不能用瞬心法求加速度①确定瞬心的位置C。①选B点为基点（运动已知点）。其中：而：方法二：用基点法求速度②建立坐标oxyz。③运用速度合成。大小：用基点法求加速度结论：空间极迹固定不动而本体极迹随刚体转动而转动。在某一时刻，两个极迹必有一切点。空间极迹：本体极迹：例2:如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度ω1绕O1转动。大齿轮Ⅱ固定，行星轮Ⅰ半径为r，在轮Ⅱ上只滚不滑。设A和B是轮缘Ⅰ上的两点，点A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上。求：点A和B的加速度。动画演示解:(1)轮Ⅰ作平面运动,瞬心为C轮I绕O轴转动的角速度轮I绕O轴作匀角速转动(2)选基点为Ｏ√√√√√√二、刚体平面平行运动动力学2、平面平行运动的动能定理：1、动力学方程在动力学问题中，通常取质心为基点，则刚体的平面平行运动=质心的平动+绕质心轴的转动，此时可运用第二章中学过的质心运动定理和绕质心轴转动的动量矩定理，得刚体平面平行运动动力学方程。＋约束方程(受约束刚体)平动转动3、若外力都是保守力或非保守力不做功，则机械能守恒：例1.半径为，质量为m的圆柱体，沿着倾角为的粗糙面无滑动地滚下。试求质心沿斜面运动的加速度及约束反作用的法向分量N和切线分量(摩擦阻力)。解法一：用质心运动定理和对质心轴的第二转动定理求解(1)受力分析(2)建立坐标系(3)列动力学方程随质心的平动：绕质心的转动：无滑滚动条件圆柱体受到斜面的约束解法二：用机械能守恒定律求圆柱质心的加速度分析做功：只有重力做功由机械能守恒得(1)其中，由约束方程(2)(3)(3)式对t求导得说明:联合质心运动定理可求出约束反作用力解法三：用圆柱对瞬心轴的动量矩定理P由平行轴定理根据圆柱对瞬心轴Pz的动量矩定理约束方程说明:联合质心运动定理可求出约束反作用力讨论：(1)滚动时质心的加速度比无摩擦滑动时的加速度小，根据质量的分别不同，加速度的范围如下：(2)关于摩擦系数：解：由质心运动定理：由绕质心轴的转动定理：约束方程：解之得：例2：质量为m半径为r的均质实心圆柱A,绕以轻绳,绳的一端固定，圆柱由静止开始沿绳竖直下落，求当圆柱下落高度h时,质心轴的加速度及绳子的张力。(1)(2)(3)c解法二：质心运动定理和机械能守恒分析做功：只有重力做功质心运动定理：(1)机械能守恒：(2)(选o点出为零势能)(3)解之得：c解法三：用圆柱对瞬心轴的动量矩定理由平行轴定理c根据圆柱对瞬心轴Cz的动量矩定理由质心运动定理：由约束方程例3：一半径为R的均质圆盘，直立放在粗糙水平面上，开始以初速度V0使其沿水平直线滑动，试求其以后的运动。解:分析①对象：圆盘②受力分析③建立坐标系：ox,θ④动力学方程o⑤分析，由上式可知，质心作匀减速运动，同时圆盘绕质心作匀加速转动。纯滚动条件：达到纯滚动状态的时间，此时：总结：三、滚动摩擦理想情况：刚体和地面都是绝对刚性的ccAB实际情况：刚体和地面都发生形变滚动摩擦力矩结论：滚动摩擦一般小于滑动摩擦(如滚珠轴承等)§3.5角速度矢量一、什么是矢量有大小，方向，而且符合平行四边形加法交换律电流是标量，只有大小，没有方向结论：虽然有限转动角位移是有大小，有方向的量，但不符合平行四边形加法交换律。二、有限转动问题：有限转动是矢量？三、无限小转动问题：无限小转动是矢量吗？设t时刻，刚体绕过定点O的某轴线转过角度，则是有大小和方向的量，可在转轴上截取一有向线段来表示。大小：方向：沿转轴方向(用右手螺旋定则确定)称为角位移矢量。o设t时刻，刚体内一点P的位矢为时刻为：则：即线位移△r=角位移△n与位矢r的矢量积。下面证明当无限小时，符合交换律：（1）转动前：P的位矢为角位移和线位移的关系？o（2）先转动后：（3）再转动后：忽略二阶小量（4）先转动后：（5）再转动后：忽略二阶小量因和是矢量，则有：即：得：角位移满足矢量交换律该式表明：微小转动的合成遵循平行四边形加法交换律，从而无限小角位移△n是一个矢量。四、角速度矢量1、角速度矢量的定义：描述了转动快慢和转动方向，是描述刚体整体运动特征的量。2、定点转动刚体内任一点P（位置矢量为r）的线速度v与角速度ω关系：则：§3.6转动惯量一、定点转动刚体的动量矩设为刚体上任一质点，该质点对定点o的动量矩为整个刚体对同一点o的动量矩为ozxy下面求动量矩的分量表达式其中，二、定点转动刚体的动能三、转动惯量转动惯量：描述刚体转动惯性大小的物理量。1、对定轴转动惯性的大小用转动惯量描述，其定义为：回转半径即转动惯量=各质点的质量与该点到转轴距离平方乘积之和。转动惯量由刚体的质量分布和转轴位置 决定 郑伟家庭教育讲座全集个人独资股东决定成立安全领导小组关于成立临时党支部关于注销分公司决定 。刚体对定轴的转动惯量等效质点对同一定轴的转动惯量细圆环细直杆转动惯量简图物体的形状薄圆盘常用到的转动惯量：回转半径回转半径实心圆柱薄圆筒转动惯量简图物体的形状实心球体常用到的转动惯量：回转半径回转半径R平行轴定理叙述：刚体对某一轴线的转动惯量，等于对通过质心的平行轴的转动惯量加上刚体的质量与两轴间垂直距离平方的乘积。miixyzyixiO垂直轴定理叙述：当物体的质量作平面分布时,物体对该平面中任二垂直轴的转动惯量之和,等于对过交点的另一垂直轴的转动惯量。其中叫做轴转动惯量叫做对坐标平面的惯量积2、对定点转动惯性的大小，由于转轴的方向不断变化，要用一个张量才能描述。和oxyzxyzP(dm)注意：若选动坐标系，惯量系数均为常数解：建立动坐标系oxyz,设正方体的边长为，质量为，则密度为y例1计算质量均匀分布的正立方体对其棱边的转动惯量和对其侧面(看成坐标平面)的惯量积。zxo又结论：只需计算一次三个轴转动惯量和三个独立的惯量积，再将某轴线的方向余弦代人上式即可确定刚体对该轴线的转动惯量。推导刚体绕某一瞬时轴转动时的转动惯量的简单公式ozxy会聚轴定理(2)惯量椭球－用几何方法求刚体对某瞬时轴的转动惯量Q点的坐标为：代入式(1)得表示为矩阵形式：(1)中心在O点的椭球面方程oxzyQ惯量椭球的方位、大小和形状与坐标系的选取无关中心惯量椭球：刚体的质心(或重心)在定点O计算出刚体对该轴的转动惯量o用几何方法计算刚体对某瞬时轴的转动惯量如下：若已知椭球面方程，在动系oxyz中描出椭球面，某瞬时轴与椭球面的交点Q到O点的距离即为R，再根据zxyQ(3)惯量主轴及其求法(适当选择坐标系消去惯量积)惯量主轴：使惯量积为零的坐标系(惯量椭球的三条相互垂直的主轴)则椭球面方程变为：这里主惯量－刚体对惯量主轴的转动惯量注意：1、刚体作定点转动时，总有三个惯量主轴存在，且互相垂直；惯量主轴坐标系中的若干物理量的简化表达式惯量张量：2、过质心的三个惯量主轴叫中心惯量主轴。动量矩：动能：惯量主轴的求法(均质刚体)几何对称轴是惯量主轴几何对称面的垂线是惯量主轴举例：半径为r，高为h的均匀圆柱体证明：(1)几何对称轴是惯量主轴取z轴为对称轴，z轴为惯量主轴(2)几何对称面的垂线是惯量主轴取对称面oyz，x轴为惯量主轴若分别取对称面oxy和对称面oxz，同理可证得相应的垂线z轴和y轴均为惯量主轴。说明：(1)若，则为旋转椭球，则在xy平面内的各轴都是主轴；(2)若，椭球变为球体，所有通过O点的轴都是主轴。例2均匀长方形薄片的边长为与，质量为，求此长方形薄片绕其对角线转动时的转动惯量。设薄片的厚度为t,密度为(1)其中，(2)将(2)式代入(1)式得xyo解：方法一直接用定积分计算动坐标系oxyz得方法二利用计算xyo得方法三取惯量主轴为坐标轴xyo得结论：取惯量主轴为坐标轴来计算薄片绕对角线转动时的转动惯量最简便。§3.7刚体绕固定点转动一、定点转动运动学1、运动分析(1)刚体的定点转动可以看成是任一瞬时轴的“定”轴转动。常平架回转仪(2)自由度S=3(4)本体极面，空间极面空间极面：转动瞬轴在空间(固定坐标系中)描绘的曲面。(3)运动学方程潘索定理：本体极面在空间极面上作纯滚动本体极面：转动瞬轴在刚体内(动坐标系中)描绘的曲面。2、速度，加速度(1)速度：(2)加速度：欧拉公式(3)刚体作一般运动时，将运动分解为刚体随基点A的平动＋刚体绕基点A的“定点”转动，则刚体上任一点P的速度为加速度为说明:(1)若动系为刚联于刚体的空间转动坐标系，则00(2)若动系为平面转动坐标系，则A动坐标系转动的角速度刚体绕对称轴转动的角速度A3、刚体绕两相交轴转动的合成刚体绕某点O作定点转动，相当于刚体绕某轴作“定轴”转动，而该轴又绕另一固定轴转动，这两个轴相交于O点。结论：当刚体绕两个相交轴转动时，刚体的瞬时角速度等于它分别绕这两个轴转动的角速度的矢量和。例1半径为R的圆盘以不变的角速度绕水平轴AB转动，而轴AB又以不变的角速度绕竖直轴CD转动，求圆盘水平直径一端M点的速度和加速度。解：建立平面转动坐标系oxyz0例2：高为h，顶角为2α的圆锥在一平面上滚动而不滑动，如已知此锥以匀角速度ω绕轴转动，试求圆锥底面上A点的转动加速度a1和向轴加速度a2的量值。解:分析1、在圆锥上建立o-xyz坐标系，母线与ox重合，与圆锥一起运动。2、求3、求（转动加速度）4、求（向轴加速度）例3：碾磨机的边缘沿水平面作纯滚动，轮的水平轴则沿OB以匀角速度转动，，求轮上最高点M的速度和加速度大小。解:(1)分析碾磨机的运动，随A点平动，并绕A点的“定点”转动。建立平面转动坐标系，oz轴不动，oxy平面绕oz轴转动。(2)计算总角速度根据纯滚动条件碾磨机作一般运动(3)计算M点的速度(4)计算M点的加速度例4：当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水平圆形轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的连线和竖直线成角时，B点的速度及加速度。已知螺旋桨的长度，螺旋桨自身旋转的角速度为。解:(1)分析螺旋桨的运动：刚体的一般运动，随A点平动，绕A点“定点”转动。建立随体平面转动参考系。(2)计算螺旋桨的总角速度A螺旋桨作一般运动(3)计算B点的速度A(4)计算B点的加速度A4、欧拉运动学方程(1)欧拉角的定义绕固定点O转动的刚体，欧拉角可定义如下：建立固定坐标系建立固结在刚体上的随体坐标系平面与平面相交线动画演示动画演示动画演示给定,可用如下方法确定刚体的位置Step2Step3Step4Step1(2)欧拉运动学方程二、定点转动动力学由刚体对定点o的动量矩定理(1)建立刚联于刚体的惯量主轴坐标系oxyz(2)(3)其中，(4)1.欧拉动力学方程将(3),(4)代人(1)得欧拉动力学方程联合欧拉运动学方程(5)(6)联立方程(5),(6)消去得到关于的二阶常微分方程，求解三个微分方程得刚体定点转动的运动学方程，从而确定刚体的运动规律。说明：一般为非线性非齐次方程组,求解非常繁琐。3.定点转动刚体的机械能守恒选惯量主轴坐标系2.定点转动刚体的动能定理拉格朗日－泊松情况重心在刚体对称轴上，固定点与重心不重合，在重力场中的对称陀螺。§3.8重刚体绕固定点转动的解重刚体：除约束反作用力外，刚体只在重力作用下作定点转动，称这种刚体为重刚体，例如陀螺。一、重刚体的几种可解情况欧拉－潘索情况刚体作惯性运动，重心G为固定点，所有外力都通过固定点G,这种刚体叫欧拉陀螺或不对称陀螺。C.B.柯凡律夫斯卡雅情况重心在惯量椭球的赤道平面上的一种对称陀螺。二、欧拉－潘索情况(仅讨论的情况)1.动力学方程()2.特点—寻找三个守恒定律刚体对O点的动量矩守恒取沿方向无力矩对称陀螺非线性齐次方程组,建议寻找守恒定律角速度在自转轴oz方向的投影不变外力矩对刚体不做功，则刚体的转动动能守恒刚体对z轴的动量矩守恒角速度在动量矩方向的投影为常量3.运动分析的量值不变根据动力学方程，得由动力学方程(3)得由动能守恒与的夹角不变瞬时轴以半张角在固定坐标系中绕轴画出一个正圆锥—空间极面瞬时轴以半张角在动坐标系中绕轴画出一个正圆锥—本体极面结论：无力矩对称陀螺的运动，相当于本体极面沿空间极面沿逆时针作纯滚动4.运动学方程结论：无力矩对称陀螺作规则进动运动学方程：说明:陀螺作匀角速自转和匀角速规则进动例.一回转仪，，依惯性绕重心转动，并作规则进动。已知此回转仪自转角速度为，并知其自转轴与进动轴的夹角，求进动角速度的量值。解：由于回转仪绕重心转动，故，属于欧拉－潘索情况。根据欧拉动力学方程由于，则由欧拉运动学方程根据动力学方程，得(4)(5)(6)(7)将(4)、(6)和(7)代人(2)式得即得三、拉格朗日－泊松情况()重心在刚体对称轴上，固定点与重心不重合，在重力场中的对称陀螺。(1)建立固定坐标系S惯量主轴坐标系(2)受力分析零势能外力：重力重力对o点的力矩为(3)欧拉动力学方程为说明：非线性非齐次方程组，求解较麻烦，建议寻找守恒定律(或称为第一积分)。(4)三个第一积分对oz轴的动量矩守恒或者可由方程(3)得(4)对的动量矩守恒(5)(6)机械能守恒(9)由方程(6)得(7)方程(7)代人(5)得(8)(7)式代人(9)式得(10)方程(7)、(8)和(10)为欧拉角的三个第一积分，求解这三个方程也比较麻烦，其中(10)可化为椭圆积分后求解，然后根据方程(7)和(8)得说明：陀螺作伴有微小章动的进动，叫做赝规则进动，如地球。拉格朗日－泊松情况举例北极星织女星进动周期:25800年章动周期:19年第三章 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结 补充例题1:轮子A、B分别置于光滑斜面上，如图所示，两轮的中心用铰链与一直杆连接。设轮A重量为G，轮B重量为P,杆重忽略不计，斜面的倾角分别为与，且。求平衡时，杆与水平线的交角。解法一(解析法)分别选取A轮和B轮为研究对象，并受力分析，建立oxy坐标系，列平衡方程如下对A轮对B轮解法一(几何法)分别选取A轮和B轮为研究对象，并受力分析，作相应的力三角形由正弦定理得补充例题2：一曲杆在A、B、C三处用光滑轴承支承，曲杆受主动力和力偶的作用。力力偶矩矢量位于与DE垂直的铅垂面内，与水平成。AH段与DE段平行，。不计曲杆的自重。试求各轴承处的约束反作用力。解：分析：本题为典型的空间力系的平衡问题，有六个未知量需要求解，有六个独立的平衡方程。在建立坐标系时，应尽量使坐标轴的方向与未知力平行或垂直。(1)研究对象：曲杆(2)建立坐标系：(3)受力分析：如图所示，轴承光滑，约束反作用力沿杆方向没有分量(5)列平衡方程