微分几何第二章曲面的概念光滑曲面曲面的切平面和法线第二章曲面论内容提要1、曲面的概念〔简单曲面、光滑曲面、切平面和法线〕2、曲面的第一根本形式(第一根本形式、曲线的弧长、正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换〕3、曲面的第二根本形式(第二根本形式、曲面曲线的曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等〕4、直纹面和可展曲面〔直纹面、可展曲面〕5、曲面论的根本定理〔根本方程、根本定理〕6、曲面上的测地线〔测地曲率、测地线、高斯—波涅公式、曲面上向量的平行挪动〕7、常高斯曲率曲面〔常高斯曲率的曲面、伪球面、罗氏几何〕该点处这两条坐标曲线的切向量为：1.2光滑曲面、曲面的切平面和法线一、光滑曲面、正常点、正规坐标网1、若曲面x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)或r=r(u,v)中的
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有直到k阶的连续微商，则称为k阶正则曲面或类曲面。2、过曲面上一点(u0,v0)类的曲面又称为光滑曲面。有一条u--曲线：r=r(u,v0)和一条v—曲线：r=r(u0,v)假如它们不平行，即ru×rv在该点不为零，那么称该点为曲面的正常点。r0S(u0,v0)rurv3、正规坐标网由ru，rv的连续性，假设ru×rv在(u0,v0)点不为零，那么总存在该点的一个邻域U，使在这个邻域内有ru×rv不为零，于是在这片曲面上，有一族u线和一族v线，它们不相切，构成一正规坐标网。命题1曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式
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示，即有z=z(x,y).给定曲面x=x(u,v),y=y(u,v),或r=r(u,v)z=z(u,v)可得如下命题：不妨设第一个不为0，即证：事实上，ru×rv在(u0,v0)点不为零，那么由上面阐述，总存在该点的一个邻域U，使在这个邻域内有ru×rv不为零，故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0，代入得z=z[u(x,y),v(x,y)]=z(x,y)。由隐函数定理，x=x(u,v),y=y(u,v)在U中存在唯一的单值连续可微函数u=u(x,y),v=v(x,y),这条曲线在曲面上(u0,v0)处的切方向称为曲面在该点的切方向或方向，切方向仅与du:dv有关(P63)二、曲面的切平面设曲面曲线为(c)：u=u(t),v=v(t),或r=r[u(t),v(t)]=r(t)，其中分别是在(u0,v0)点处的两条坐标曲线的切向量。它平行于以下切方向三种表示通用：du:dv、(d)和。1、切平面的定义(u0,v0)rurvC可以看出，切向量与共面，但过(u0,v0)点有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数切方向，且有命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量所确定的平面上。(u0,v0)rurv这个平面我们称作曲面在该点的切平面。3、切平面的方程设曲面上一点为P0(u0,v0)，R(X,Y,Z)为切平面上任一点，则如果用显函数z=z(x,y)表示曲面时，有或写成坐标表示式三、法方向与法线1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。由定义，曲面的法方向为单位法向量为rurvru×rvr0R-r0=(ru×rv)t2、法线的方程设法线上任一点R(u,v)则法线的方程为用坐标表示为rurvru×rvRr0R–r0//ru×rv则有法线的方程为用坐标表示为如果用显函数z=z(x,y)表示曲面时，有例题P65，求切平面和法线.四、参数变换如果曲纹坐标(u,v)变为新的曲纹坐标：则得到曲面关于新曲纹坐标的方程因此（1），则两个法向量平行。（2），所有参数法向量的正向保持不变，称这个方向为曲面的正向。〔3〕假如交换参数，那么正向改变为负向，曲面为双侧。对求导：谢谢观赏！
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