概率论与数理统计概率论和数理统计六大类考点1、随机事件和概率2、一维随机变量及其分布3、多维随机变量及其分布4、随机变量的数字特征5、大数定律和中心极限定理6、数理统计的基本概念、参数估计和假设检验第一讲随机事件和概率随机事件和概率部分主要考点1、随机事件的关系与运算2、古典型概率与几何型概率3、概率与条件概率的性质与基本公式4、事件的独立性与独立重复试验一、随机事件的关系与运算例1从一批产品中每次一件抽取三次,用Ai(i=1,2,3)表示事件:"第二次抽取到的是正品".试用文字叙述下列事件:()1AAAAAAAAA∪∪;(2);122313123)3(AAA1∪2∪3;(4)AAAAAAAAA123∪123∪123再用表示下列事件:()5都取到正品;()6至少有一件次品;()7只有一件次品;(8)取到次品不多于一件-1-例2A,B为任意两事件,则事件(ABBC−)()∪−等于事件(AAC)−(BAB)()∪−C()()CABC−−(D)()A∪B−BC例3设事件AB和满足条件AB=AB,则(AABBAB).().∪=φ∪=Ω(CABA).().∪=DABB∪=二、古典型概率与几何形概率例4从5双不同的鞋中任取4只,求这4只鞋中至少有两只能配成一双的概率.例5随机地向半圆{}(x,y)|0
0,是常数)内掷一点，则原点和π该点的连线与x轴的夹角小于的概率为.4例6在区间)1,0(中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于1的概率为.2-2-三、概率与条件概率1、基本性质2、重要公式例71随机事件ABPAPB,,满足()()==2和PAB(∪)=1,则有(AAB)∪=Ω()BAB=φ(CPABDPAB)(∪)=1()(−)=0例8已知PAB(∪)=0.6,P(BA|)=0.2,则PA().=例9设事件AB,同时发生时,事件C一定发生,则(APCPAPB)()≤()+()−1.(BPCPAPB)()≥()+()−1.()CP(C)(=PAB).(DPCPAB)()=(∪).例103设XY,为随机变量,且PXY(≥0,≥0)=,74P(XPY≥0)=(≥)0=,试求下列事件的概率:7A={}max(XY,)≥0;BXY={}max(,)<0,min(XY,)<0;C={}max(XY,)≥0,min(XY,)<0.-3-例11从数4,3,2,1中任取一个数,,记为X再从1, ,X中任取一个数,,记为Y则PY{}=2=.例12设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.()1求先抽取的一份是女生表的概率p;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.例13已知100件产品中有10件正品,90件次品.每次使用正品时肯定不会发生故障,而在每次使用次品时,有10%的可能性发生故障.现从100件产品中随机地抽取一件,若使用了n次均未发生故障,则n至少为多大时,才能有70%以上的把握认为该产品为正品.四、事件的独立性与独立重复试验1、事件的独立性2、独立重复试验例14设0λ,f()x=⎨A为常数,λ>0,⎩0x≤λ.则：P(λ0)(A),与a无关随λ增大而增大;(B),与a无关随λ增大而减小;(C),与λ无关随a增大而增大;(D),与λ无关随a增大而减小.例10设随机变量X的概率密度为⎧13若x∈[]0,1,⎪f()x=⎨29若x∈[]3,6,⎪⎩0其他.2若使得P{}X≥k=,则k的取值3范围是______例11设随机变量X的密度函数为ϕ(x),且ϕ(−x)=ϕ(x).F()x是X的分布函数,则对任意实数a,有a1a(A)F(−a)=1−ϕ(x)dx.(B)()F−a=−ϕ().xdx∫02∫0(C)F(−a)=F(a).(D)F(−a)=2F(a)−1.四、常见随机变量的概率分布及其应用-9-例12已知X~U()()a,b,a>0,1P()0DX=例142设随机变量X的密度为f(),x=Ae−x+x−∞1.(B)F(−a)+F(a)=1.(C)F(−a)+F(a)<1.1()()()DFμ−a+Fμ+a=.2例17设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的α(0<α<1),数uα满足P(),X>uα=α若P(),X0,b>0)为概率密度,bf(x)x>0⎩2则应a,b满足(A)2a+3b=4(B)3a+2b=4(C)a+b=1.(D)a+b=2五、随机变量函数的分布例19设随机变量X的概率密度为⎧1⎪,−1≤x<0,⎪2⎪1fx()x=⎨,0≤x<2,⎪4⎪⎩⎪,0其他.令YXY=2,试求的概率密度f(y).Y例20设X服从参数为2的指数分布,证明:随机变量Y=1−e−2X服从U().1,0例21设XEYX~(λ),则=min{},2的分布函数(A)是连续函数.(B)至少有两个间断点.(C)是阶梯函数.(D)恰好有1个间断点.-11-第三讲二维随机变量及其分布二维随机变量及其概率分布部分主要考点1、随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布2、二维随机变量的独立性3、二维随机变量函数的分布一、二维随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布例1设二维随机变量(,)XY的概率分布为XY-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中a,,,bc为常数且X的数学期望EX=−,2.0P{}YX≤0|≤0=0.5,记ZXY=+.求(I),,;()abc的值IIZ的概率分布;().IIIP{}X=Z例2设二维随机变量(,)XY的概率密度为22f(,)xy=Ae−2x+2xy−y,−∞.1两种常见的二维连续型随机变量例61设平面区域D由曲线y=及直线y=,0xx=,1x=e2所围成,二维随机变量(,)XY在区域D上服从均匀分布，则(,)XY关于X的边缘概率密度在x=2处的值为____.例7假设二维随机变量(,)XY在区域G={}(x,y)|x2+y2≤1,y≥0上服从均匀分布,记:⎧0X<0,⎪⎧,0若XY≥3,U=⎨10≤XY0,y>0,f(,)xy=⎨⎩,0其他,求随机变量ZXY=+2的分布函数.例21设二维随机变量(,)XY的概率密度为⎧1,02;()II求ZXY=+的概率密度fz(z).例23设相互独立随机变量XY与分别服从N)1,0(和N(1,1),则11(APXY)(+≤0)=;(BPXY)(+≤1)=;2211(CPXY)(−≤)0=;(DPXY)(−≤1)=.22例24设XYZ,,相互独立,XNYN~(1,2),~(2,2)Z~N(3,7),记a=P(X0,f()x=⎨⎩0,x≤0.则DX(2−1)=.例3设随机变量X的分布函数为x−1F(x)=0.3Φ(x)+0.7Φ(),2其中Φ()x为标准正态分布的分布函数,则EX=(ABCD)0.()0.3.()0.7.()1.-18-例4设二维随机变量(XY,)服从正态分布N(μ,μ;σ2,σ2;0),则E(XY2)=例5设随机变量XY与相互独立,且EX与EY存在,记UXY=max{},,V=min{}X,Y,则E(UV)=(A)EU⋅EV()BEX⋅EY(C)EU⋅EY()DEX⋅EV例6设随机变量XY和的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布.试求随机变量Z=XY+的方差.例7设两个随机变量XY,相互独立,1且都服从均值为,0方差为的2正态分布,求随机变量XY−的方差.例8设XY与相互独立且均服从N(0,1),求ZXY=2+2的数学期望与方差.例9游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光;电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行.假设一游客在早8点的第X分钟到底层候梯处,且X在[]0,60上服从均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.-19-例10一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间[]10,20上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元,若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.三、常见随机变量的数学期望与方差例11设随机变量XXX,,相互独立,123其中X1在[]6,0上服从均匀分布,2X2服从正态分布NX(0,2),3服从参数为λ=3的泊松分布.记Y=X1−2X2+3X3,则DY=___.四、协方差与相关系数例12设随机变量XY和的联合概率分布为XY-10100.070.180.1510.080.320.20则XY2和2的协方差cov(XY2,2)=_____.例13设随机变量XY和的相关系数为,9.0若ZX=−,4.0则YZ与的相关系数为.-20-例14将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则XY和的相关系数等于(A)−1.(B)0.(C)0.5.(D)1.例15设随机变量XNYN~(0,1),~(1,4),且相关系数ρXY=,1则(APYX){}=−2−1=1.(BPYX){}=2−1=1.(CPYX){}=−2+1=1.(DPYX){}=2+1=1.例16设随机变量XY和的相关系数为,5.0EX=EY=,0EX2=EY2=,2则EXY()+2=.例17设随机变量X1,X2, Xn(n>1)独立同分布,1n且其方差为2令则σ>,0Y=∑Xi,ni=1σ2(AXY)cov(,)=.(BXY)cov(,)=σ2.1n1n+2n+1()()CDXY+=σ2.()()DDXY−=σ2.1n1n-21-例18设X1,X2, Xn(n>2)为独立同分布的随机变1n量且均服从记,NX(0,1),=∑XYXXi,i=i−,ni=1i=1,2, , n.求:()IYi的方差DYi,i=1,2, , n.(II)Y1与Yn的协方差cov(YY1,n).(III)P{}Y+Y≤0.1n独立不相关例19设二维随机变量(,)XY服从二维正态分布,则随机变量ξ=XYXY+与η=−不相关的充分必要条件为(AEXEY)()=().2222(BEXEXEYEY)()()()().−[]=−[](CEXEY)(2)=(2).(DEXEXEYEY)()()()().2+[]2=2+[]2例201设随机变量X的概率分布密度为f()x=e−x,2−∞
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,则当n→∞时,Y=X2依概率n∑ini=1收敛于.三、两个中心极限定理-23-例3设随机变量XXX1,,2 n相互独立,S=XXX++ ,则根据列维−林德伯格n12n(Levy−lindberg)中心极限定理,当n充分大时,近似服从正态分布只要Sn,XXX1,2, n()A有相同的数学期望.(B)有相同的方差.()服从同一指数分布.C()D服从同一离散型分布.例4设XXX1,,,2 n 为独立同分布的随机变量列,且均服从参数为λ(λ>1)的指数分布,()记φx为标准正态分布函数,则⎧n⎫X−nλ⎪∑i⎪(AP)lim⎨i=1≤x⎬=φ(x).n→∞⎪λn⎪⎩⎪⎭⎪⎧n⎫∑Xi−nλ⎪⎪(BP)lim⎨i=1≤x⎬=φ(x).n→∞⎪nλ⎪⎩⎪⎭⎪⎧n⎫λ∑Xi−n⎪⎪(CP)lim⎨i=1≤x⎬=φ(x).n→∞⎪n⎪⎩⎪⎭⎪⎧n⎫∑Xi−λ⎪⎪(DP)lim⎨i=1≤x⎬=φ(x).n→∞⎪nλ⎪⎩⎪⎭⎪例5假设XXX1,,2 n是来自总体X的简单随机样本,k2已知EX=ak(k=1,2,3,4).并且a4−a2>.0证明1n当n充分大时,随机变量Z=X2近似服从正态n∑ini=1分布,并指出其分布参数.-24-第六讲数理统计数理统计部分主要考点1、基本概念2、参数估计3、假设检验一、基本概念例1设总体XE~(λ),则来自总体X的简单随机样本XXX1,,2 n的联合概率密度f(,,).x1x2 xn=例2设随机变量XY,独立同分布,且X的分布函数为F(x),则Z=max{}X,Y的分布函数为()()AF2x()()()BFxFy2(C)11−[]−F()x()1D[][−F()1x−F()y]例3设总体X的概率密度为⎧2x,01),Y=,则X2(A)Y~χ2(n).(B)Y~χ2(n−1).(C)Y~F(n,1).(D)Y~F(1,n).例8设X,,(X Xn≥)2为来自总体N)1,0(的简单12n随机样本,X为样本均值,S2为样本方差,则(A)nX~N(0,1).(B)nS2~χ2(n).2(n−1)X(n−1)X1(C)~t(n−1).(D)n~F(1,n−1).S2∑Xi-26-i=2例91设总体X的概率密度为f()x=e−x(−∞0设总体X的概率密度为f()x=⎨⎩,0其他其中参数λ(λ>0)未知,XXX1,2, n为来自总体X的简单随机样本,()I求参数λ的矩估计;()II求参数λ的最大似然估计.例141⎧1−()x−μ⎪eθ,,x>μ设总体X的概率密度为f()x=⎨θ⎩⎪,0x≤μ,其中θ>,0μ和θ是未知参数,从总体X中抽取简单随机样本XXX1,,,2 n求μ和θ的矩估计量和最大似然估计量.例15⎛123⎞设总体X的概率分布为X~⎜⎟,⎜22⎟⎝1−θθ−θθ⎠其中参数θ∈(0,1)未知,以N表示来自总体X的i简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数,3试求常数使为的(i=,2,13).a1,,,a2a3T=∑aiNiθi=1无偏估计量,并求T的方差.例16⎧2e−2(x−θ),x>θ,设总体X的概率密度为f()x=⎨⎩0,x≤θ,其中θ>0是未知参数.从总体X中抽取简单随机∧样本XXX,,, 记θ=min(XXX,, ).12n12n()1求总体X的分布函数F(x);∧()2求统计量θ的分布函数F∧(x);θ∧()3如果用θ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.-28-例17⎧1,0θ设总体X的概率密度为f(,)xθ=⎨⎩0,x≤θ,其中θ∈(−∞,+∞),是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本XXX1,,.2 n∧1n∧1证明θ1=∑Xi−1,θ2=min(XXX1,2, n)−ni=1n是θ的两个无偏估计量,并确定哪一个更有效.-29-例设有正态总体为未知参数20XN~(μ,8),μ()1现有总体X的10个观测值x1,,,,x2 xn110已知求未知参数的x=∑xi=1500,μ10i=1置信度为0.95的置信区间.()2要使得0.95的置信区间长度不超过1,则n最少应该是多少.(3)若n=100,那么区间()x−1,x+1作为μ的置信区间，则置信度是多少.例21设一批零件的长度服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,.σ均未知现从中随机抽取16个零件,测得样本均值样本标准差则的置信x=20(cm),S=1(cm),μ度为0.90的置信区间是11(A)(20−t(16),20+t(16));40.0540.0511(B)(20−t(16),20+t(16));41.041.011(C()20−t(15),20+t(15));40.0540.0511(D)(20−t(15),20+t(15)).41.041.0三、假设检验-30-
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