中职数学教学课件：第8章 直线和圆的方程

第八章直线和圆的方程本章将在平面直角坐标系中，学习两点间的距离、线段的中点、直线、圆等知识.8.1两点间距离公式及中点公式◎教学目标（1）了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程；（2）掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；（3）用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．创设情境兴趣导入【学习目标】掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；【重点】两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用【难点】两点间的距离公式的理解8．1两点间的距离与线段中点的坐标数轴上两点的距离所以A,B两点的距离为:d(A,B)=|AB|=X2–X1复习已知平面上两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，如何求P1P2的距离|P1P2|呢?一、平面上两点间的距离yxoP1P2yxoP2P1xyoP1(x1，y1)A1（x1,0)A2（x2,0)B1（0,y1)B2（0,y2)CP2(x2，y2)动脑思考探索新知动脑思考探索新知，则两点间的距离等于这两点横坐标之差的平方与纵坐标之差的平方和的算术平方根。巩固知识典型例题例1求A（−3，1）、B（2，−5）两点间的距离．解A、B两点间的距离为第1题图运用知识强化练习在平面直角坐标系内，描出点、C(5,7)并计算两点之间的距离．找出B点坐标与A点C点的关系？思考练习求A（−2，1）、B（3，4）两点间的距离求A（−1，2）、B（5，3）两点间的距离xyOM如图所示．设M是A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点，怎样求点M的坐标？中点公式(，)由于点M是中点，则解得动脑思考探索新知一般地，设、为平面内任意两点，则线段中点的坐标为巩固知识典型例题例2已知点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四等分，试求出各分点的坐标．图8－2首先求出线段ST的中点Q的坐标，然后再求SQ的中点P及QT的中点R的坐标．解设线段ST的中点Q的坐标为则由S（0，2）、T（−6，−1）得即同理，求出线段SQ的中点P，线段QT的中点故所求的分点分别为P巩固知识典型例题例3已知的三个顶点为，试求BC边上的中线AD的长度．解设BC的中点D坐标为，则由得故即BC边上的中线AD的长度为运用知识强化练习1．已知点和点，求线段AB中点的坐标．2．已知点Q(4，n)是点P（m,2）和点R（3,8）连线的中点，求m和n的值5,5理论升华整体建构平面内两点间的距离公式1线段的中点坐标公式2自我反思目标检测学习行为学习效果学习方法自我反思目标检测已知点求线段MN的长度，并写出线段MN的中点P的坐标．8.2直线的方程◎教学目标（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念；（2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式；（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力.动脑思考探索新知下面求经过点，且斜率为k的直线l的方程．在直线l上任取点（不同于点），由斜率公式可得即显然，点的坐标也满足上面的方程．方程叫做直线的点斜式方程．其为直线为直线上的点，k中点的斜率．当直线经过点且斜率不存在时，直线的因此其方程为倾角为90°，此时直线与x轴垂直，直线上所有的点横坐标都是巩固知识典型例题例1在下列各条件下，分别求出直线的方程：（2）直线经过点，倾角为（3）直线经过点解（2）由于，故斜率又因为直线经过点，所以直线方程为即（3）直线过点，由斜率公式得故直线的方程为即(1)斜率为，且通过巩固知识典型例题在下列各条件下，分别求出直线的方程：(1)斜率为，且通过练习一（2）直线经过点（1，-2），倾角为（3）直线经过点动脑思考探索新知如图所示，设直线l与x轴交于点，与y轴交于点．则a叫做直线l在x轴上的截距（或横截距）；b叫做直线l在y轴上的截距（或纵截距）．想一想直线在x轴及y轴上的截距有可能是负数吗？动脑思考探索新知设直线在y轴上的截距是b，即直线经过点，且斜率为k．则这条直线的方程为即方程叫做直线的斜截式方程．其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距．例题解析例2、在下列各条件下，分别求出直线的方程：（1）斜率为，y轴上截距为-2；（2）倾斜角为，y轴上截距为3；（2）倾斜角为，过点（0，-1）；练习二在下列各条件下，分别求出直线的方程：（1）斜率为，y轴上截距为3；（2）倾斜角为，y轴上截距为-1；例3、已知直线通过点（-3，0）和点（0，3），求直线方程。练习三已知直线过点，求直线方程。已知直线过点，求直线方程。已知直线的倾斜角为且在x轴上的截距为5，求直线方程。巩固知识典型例题例4设直线l的倾斜角为60°，并且经过点P（2，3）．（1）写出直线l的方程；（2）求直线l在x,y轴上的截距．运用知识强化练习分别求出直线在x轴及y轴上的截距．例5、已知直线过点（1，3），且斜率为斜率的2倍，求直线方程。例6、已知直线过点（1，3），且倾斜角为倾斜角的倍，求直线方程。创设情境兴趣导入方程的图像是一条直线．那么方程的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢，并且经过点已知直线的倾斜角为，由此可以为直线l上不与点重合的任确定一条直线l．设点意一点．则即这说明直线上任意一点的坐标都是方程的解．设点的坐标为方程，则的解，即已知直线的倾斜角为，并且经过点，只可以确定一条直线l这说明点在经过点且倾斜角为的直线上．动脑思考探索新知一般地，如果直线（或曲线）L与方程满足下列关系：(1)直线（或曲线）L上的点的坐标都是二元方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在直线（或曲线）L上．那么，直线（或曲线）L叫做二元方程的直线（或曲叫做直线（或曲线）L的方程.记作曲线L：线），方程或者曲线练习四（1）判断下列各点是否在方程表示的曲线或直线上。点（3，3）和方程点（-1，-1）和方程系数方程图像斜率直线与坐标轴的关系相交平行于x轴垂直于x轴直线在x轴,y轴上的截距y轴上的截距x轴上的截距0不存在（3）因为当x=0时y=3,当y=0时x=-3所以在y轴上的截距为3，在x轴上的截距为-3。求直线x-y+3=0的斜率，倾斜角，在坐标轴上的截距，及直线与坐标轴围成的三角形的面积。解（1）由x-y+3=0得y=x+3K=1（2）（4）已知三角形的顶点求:(1)三角形三边所在直线的方程;(2)AC边中线的方程;(3)平行于AC的中位线所在的直线的方程.ACBMEF例1、若直线l的倾斜角为，且该直线过点A（1，k）,B(-2,0),求k的值，,线段AB的中点。例2、若,则求直线的倾斜角的取值范围。练习：若直线的斜率为2，求实数m.练习：若直线的倾斜角的范围求m的范围。例3、已知直线过点（2，3）且在x轴，y轴上截距之和为10，求直线方程。例4：求过点（2，-3），倾斜角的余弦为的直线方程。8.3两条直线的位置关系◎教学目标（1）理解两条直线平行与垂直充要条件的推导、公式及应用；（2）能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系;(3)通过灵活运用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力.创设情境兴趣导入我们知道，平面内两条直线的位置关系有三种：平行、相交、重合．并且知道，两条直线都与第三条直线相交时，“同位角相等”是“这两条直线平行”的充要条件．两条直线平行，它们的斜率之间存在什么联系呢？动脑思考探索新知当两条直线的斜率都存在且都不为0时如果直线平行于直线，那么这两条直线与x轴，即直线的倾角相等，故相交的同位角相等两条直线的斜率相等；反过来，如果直线的斜率相等，那么这两条直线的倾角相等，即两条直线与x轴相交的同位角相等，故两直线平行．动脑思考探索新知当直线的斜率都是0时（如图（2）），两条直线都与x轴平行，所以都与x轴垂直，所以//．与直线当两条直线的斜率都不存在时（如图（3）），直线的斜率都存在但不相等显然，当直线或一条直线的斜率存在而另一条直线的斜率不存在时，两条直线相交．动脑思考探索新知由上面的讨论知，当直线的斜率都存在时，设，则重合平行相交两条直线的位置关系两个方程的系数关系当两条直线的斜率都存在时，就可以利用两条直线的斜率及直线在y轴上的截距，来判断两直线的位置关系．动脑思考探索新知判断两条直线平行的一般步骤是：(1)判断两条直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行；若只有一个不存在，则相交．(2)若两条直线的斜率都存在，将它们都化成斜截式方程，若斜率不相等，则相交；(3)若斜率相等，比较两条直线的纵截距，相等则重合，不相等则平行．巩固知识典型例题例1判断下列各组直线的位置关系：（1）（2）（3）故直线的斜率为，在y轴上的截距为．巩固知识典型例题例1判断下列各组直线的位置关系：（1）（2）（3）解（1）由得故直线的斜率为，在y轴上的截距为．由得因为，所以直线与相交．巩固知识典型例题例1判断下列各组直线的位置关系：（1）（2）（3）（2）由知，故直线的斜率为，在y轴上的截距为由得的斜率为故直线，在y轴上的截距为因为，且所以直线与平行．巩固知识典型例题例1判断下列各组直线的位置关系：（1）（2）（3）由得因为，且所以直线与重合．（3）由得故直线的斜率为，在y轴上的截距为．故直线的斜率为，在y轴上的截距为．如果求得两条直线的斜率相等，那么，还需要比较它们在y轴的截距是否相等，才能确定两条直线是否平行．巩固知识典型例题例2已知直线经过点，且与直线平行，求直线的方程．解设的斜率为，则设直线的斜率为k，由于两条直线平行，故又直线l经过点，故其方程为即运用知识强化练习判断下列各组直线的位置关系：当两条直线的斜率都存在且都不为0时，如果直线斜率相等，那么当直线的斜率都是0时，两条直线都与x轴平行，所以与x轴垂直，所以//．的斜率都不存在时直线都与直线当两条直线理论升华整体建构两条直线平行的条件自我反思目标检测学习行为学习效果学习方法8.4圆◎教学目标（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程;(2)通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.动脑思考探索新知将圆的标准方程展开并整理，可得令则这是一个二元二次方程．观察发现具有下列特点：⑴含项的系数与含项的系数都是1；⑵方程不含xy项．具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程吗?动脑思考探索新知将方程配方整理得当时，方程为是圆的标准方程，其圆心在，半径为方程（其中）叫做圆的一般方程．其中均为常数．巩固知识典型例题例3　判断方程是否为圆的方程，如果是，求出圆心的坐标和半径．解1　将原方程左边配方，有所以方程表示圆心为(−2，3)，半径为4的一个圆．解2与圆的一般方程相比较，知D=4,E=−6,F=−3,故所以方程为圆的一般方程，由知圆心坐标为(−2，3)，半径为4．运用知识强化练习已知圆的方程为，求圆心的坐标和半径．已知圆的方程为，求圆心的坐标和半径．自我反思目标检测判断方程是圆的方程吗？为什么？判断方程是圆的方程吗？为什么？运用知识强化练习求经过直线与的交点，圆心为的圆的方程．动脑思考探索新知观察圆的标准方程和圆的一般方程，可以发现：这两个方程中各分别或．确定了这三个字母系含有三个字母系数数，圆的方程也就确定了．因此，求圆的方程时，关键是确（或）的值．定字母系数巩固知识典型例题例4根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：⑴以点(−2，5)为圆心，并且过点(3，−7)；(2)设点A(4，3)、B(6，−1)，以线段AB为直径；(3)应该点P(－2，4)、Q(0，2)，并且圆心在x+y=0上；解⑴由于点（−2，5）与点（3，−）间的距离就是半径，所以半径为故所求方程为分析根据已知条件求出圆心的坐标和半径，从而确定字母系数a、b、r，得到圆的标准方程．这是求圆的方程的常用方法．巩固知识典型例题例4根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：⑴以点(−2，5)为圆心，并且过点(3，−7)；(2)设点A(4，3)、B(6，−1)，以线段AB为直径；(3)应该点P(−2，4)、Q(0，2)，并且圆心在x+y=0上；⑵设所求圆的圆心为C，则C为线段AB的中点，半径为线段AB的长度的一半，即即故所求圆的方程为巩固知识典型例题例4根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：⑴以点(−2，5)为圆心，并且过点(3，−7)；(2)设点A(4，3)、B(6，−1)，以线段AB为直径；(3)应该点P(−2，4)、Q(0，2)，并且圆心在x+y=0上；⑶由于圆心在直线上，故设圆心为，于是有解得因此，圆心为(－2，2)．半径为故所求方程为巩固知识典型例题例5　求经过三点的圆的方程．解　设所求圆的一般方程为将点Ｏ（0，0），A（1，1），B（4，2）的坐标分别代入方程，得解得D=−8，E=6，F=0．故所求圆的一般方程为