.下载后可自行编辑修改,页脚下载后可删除。28.2.2应用举例第1课时解直角三角形的简单应用 1.通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用;(重点)2.能够把实际问题转化为数学问题,建立数学模型,并运用解直角三角形求解.(难点)一、情境导入为倡导“低碳生活〞,人们常选择以自行车作为代步工具.图①所示的是一辆自行车的实物图,图②是这辆自行车的局部几何示意图,其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm,且它们互相垂直,座杆CE的长为20cm.点A、C、E在同一条直线上,且∠CAB=75°.你能求出车架档AD的长吗?二、合作探究探究点:解直角三角形的简单应用【类型一】求河的宽度根据网上消息,益阳市为了改善市区交通状况,方案在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥.如图,新大桥的两端位于A、B两点,小张为了测量A、B之间的河宽,在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据:∠BDA°,∠BCA°,CD=82米.求AB的长(准确到0.1米).参考数据:°≈°≈0.24°≈;°≈°≈°≈2.5.解析:设AD=xm,那么AC=(x+82)m.在Rt△ABC中,根据三角函数得到AB=2.5(x+82)m,在Rt△ABD中,根据三角函数得到AB=4x,依此得到关于x的方程,进一步即可求解.解:设AD=xm,那么AC=(x+82)m.在Rt△ABC中,tan∠BCA=eq\f(AB,AC),∴AB=AC·tan∠BCA=2.5(x+82).在Rt△ABD中,tan∠BDA=eq\f(AB,AD),∴AB=AD·tan∠BDA=4x,∴(x+82)=4x,解得x=eq\f(410,3).∴AB=4x=4×eq\f(410,3)≈m.答:ABm.方法总结:解题的关键在于构造出直角三角形,通过测量角的度数和测量边的长度,计算出所要求的物体的高度或长度.变式训练:见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第3题【类型二】求不可到达的两点的高度如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30cm,灯罩BC长为20cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现,光线最正确时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CEcm,参考数据:eq\r(3)≈)?解析:首先过点B作BF⊥CD于点F,作BG⊥AD于点G,进而求出FC的长,再求出BG的长,即可得出答案. 解:过点B作BF⊥CD于点F,作BG⊥AD于点G,∴四边形BFDG是矩形,∴BG=FD.在Rt△BCF中,∠CBF=30°,∴CF=BC·sin30°=20×eq\f(1,2)=10cm.在Rt△ABG中,∵∠BAG=60°,∴BG=AB·sin60°=30×eq\f(\r(3),2)=15eq\r(3)cm,∴CE=CF+FD+DE=10+15eq\r(3)+2=12+15eq\r(3)≈(cm).答:此时灯罩顶端C到桌面的高度CEcm.方法总结:将实际问题抽象为数学问题,画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题.变式训练:见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第6题【类型三】方案设计类问题小锋家有一块四边形形状的空地(如图③,四边形ABCD),其中AD∥BC,BCm,ADm,CDm,∠C=90°,∠A=53°.m,,让小锋算算是否可行.小锋设计了两种方案,如图①和图②所示.(1)请你通过计算说明小锋的两种设计方案是否合理;(2)请你利用图③再设计一种有别于小锋的可行性方案,并说明理由(参考数据:sin53°,cos53°,tan53°=eq\f(4,3)).解析:(1)方案1,如图①所示,在Rt△AGE中,依据正切函数求得AG的长,进而求得DG的长,然后与汽车的宽度比拟即可;方案2,如图②所示,在Rt△ALH中,依据正切函数求得AL的长,进而求得DL的长,然后与汽车的长度比拟即可;(2)让汽车平行于AB停放,如图③,在Rt△AMN中,依据正弦函数求得AM的长,进而求得DM的长.在Rt△PDM中,依据余弦函数求得PM的长,然后与汽车的长度比拟即可.解:(1)如图①,在Rt△AGE中,∵∠A=53°,∴AG=eq\f(EG,tan∠A)=eq\f,\f(4,3))m≈3.68m,∴DG=AD-AG=mm,故此方案不合理;如图②,在Rt△ALH中,∵∠A=53°,LHm,∴AL=eq\f(LH,tan53°)=eq\f,\f(4,3))≈1.43m,∴DL=AD-AL=5.5-1.43=m,故此方案不合理;(2)如图③,过DA上一点M作MN⊥AB于点N,过CD上一点P作PQ⊥AB于点Q,连PM,在Rt△AMN中,∵∠A=53°,MNm,∴AM=eq\f(MN,sin53°)=eq\f,0.8)≈2.4,∴DMm.在Rt△PDM中,∵∠PMD=∠A=53°,DMm,∴PM=eq\f(DM,cos53°)=eq\f,0.6)≈>4.9m,故此方案合理.方法总结:此题主要是利用三角函数解决实际问题,关键是把实际问题转化为解直角三角形的问题,利用三角函数解决问题.变式训练:见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第7题三、板书设计1.求河宽和物体的高度;2.其他应用类问题.本节课为了充分发挥学生的主观能动性,可引导学生通过小组讨论,大胆地发
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意见,提高学生学习数学的兴趣.能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型,并通过解直角三角形解决实际问题.