第3章Z变换本章主要学习目标逆Z变换Z变换的性质和定理利用Z变换解差分方程因果稳定系统收敛域的特点零极点分布分析系统频率响应序列特性对收敛域的影响Z变换的定义新教材作业：1，3，4，5，8，9，10，11对应老教材：14，16，17，18，22，23，24，25为了将序列的傅立叶变换的使用范围拓宽，在序列不满足绝对可和条件下，我们给序列乘上一个衰减因子使得其DTFT存在，这样我们定义了Z变换。Z变换的定义单边Z变换双边Z变换Z变换存在条件使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比
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示，即分子多项式P(z)的根是X(z)的零点。分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。收敛域一定不包含任何极点，在极坐标系下是圆环，例3.1.1|z|>1式中z=ejω表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用上式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。例3.1.2x(n)=u(n)，求其Z变换。解：由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数δ(ω)，其傅里叶变换可以表示出来。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。FT和ZT之间的关系可表示为序列特性对收敛域的影响有限长序列序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛域的一些一般关系，对使用Z变换是很有帮助的。右序列左序列双边序列有限长序列：从n1到n2的序列值不全为零，此范围之外为零。序列x(n)满足其Z变换为x(n)有界，任何非0整数的0次方都等于1，0的任何非负次方都等于0有限长序列的收敛域表示如下：n1<0，n2≤0时，0≤|z|＜∞n1<0，n2>0时，0<|z|＜∞n1≥0，n2>0时，0<|z|≤∞有限长的因果序列如果n可以取负数，则|Z|不能为无穷大；如果n可以取正数，则|Z|不能为0例3.2.1求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域解：这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0
|a|。左序列：n≤n2时，序列值不全为零；n>n2时，序列值全为零。如果,z=0点收敛，z=∞点不收敛，其收敛域是在某一圆(半径为Rx+)的圆内，收敛域为0≤|z|0，则收敛域为0<|z|Rx-，其收敛域为Rx-<|z||a|。如果|a|<1，两部分的公共收敛域为|a|<|z|<|a|-1，其Z变换如下式：|a|<|z|<|a|-1如果|a|≥1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0a，求其逆Z变换x(n)。为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，极点有：z=a;当n<0时z=0共二个极点，其中z=0极点和n的取值有关。n≥0时，n=0不是极点。n<0时，z=0是一个n阶极点。因此分成n≥0和n<0两种情况求x(n)。n≥0时，n<0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查(2.5.10)式是否满足，此处n<0，(3.3.6)式满足。图2.5.4例3.3.1中n<0时F(z)极点分布例3.3.2已知，求其逆变换x(n)。解：该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图3.3.2所示。图中有二个极点z=a和z=a-1，这样收敛域有三种选法，它们是(1)|z|>|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a|<|z|<|a-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|z|<|a|，对应的x(n)是左序列。图3.3.2例3.3.2X(z)极点分布图下面按照收敛域的不同求其x(n)。(1)收敛域|z|>|a-1|种收敛域是因果的右序列，无须求n<0时的x(n)。当n≥0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收敛域|z|<|a|这种情况原序列是左序列，并且由于收敛域可以取0，所以无须计算情况，当时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n<0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，分母阶次比分子阶次高2阶以上，改求c外极点留数之和最后将x(n)表示成x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收敛域|a|<|z|<|a-1|这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n≥0和n<0两情况分别求x(n)。n≥0时，c内极点z=ax(n)=Res［F(z),a］=ann<0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此x(n)=-Res［F(z),a-1］=a-n最后将x(n)表示为ann≥0x(n)=x(n)=a|n|a-nn<0留数定理求IZT小结1.确定被积函数F(z)=X(z)Zn-1(注)2.在X(z)的收殓域内画出围绕原点的闭合单围线C3.确定围线内C内F(z)的所有极点（注）4.用留数定理求IZT如果C内存在高阶极点，就需要使用留数辅助定理（要求F(z)分母阶次比分子阶次高2阶或以上）（最好先根据收敛域判断序列的特点，再做IZT）2.幂级数法(长除法)可以用长除法将X(z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)。要说明的是，如果x(n)是右序列，级数应是负幂级数，长除法按降幂排列；如x(n)是左序列，级数则是正幂级数，长除法按升幂排列。例3.3.5已知用长除法求其逆Z变换x(n)。解：由收敛域判定这是一个右序列，用长除法将其展成负幂级数1-az-13.部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表3.2.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。(3.3.7)(3.3.8)(3.3.9)(3.3.10)求出Am系数(m=0,1,2,…N)后，很容易示求得x(n)序列。例3.3.6已知求逆Z变换。解：见新教材P57因为收敛域为2<|z|<3，第一部分极点是z=2，因此收敛域为|z|>2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|<3。查表3.2.1得到x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)表3.2.1常见序列Z变换一些常见的序列的Z变换可参考表3.2.1。3.4Z变换的性质和定理1.线性则M(z)=ZT[m(n)]=aX(z)+bY(z),Rm-<|z|
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
数字滤波器的一般原则：1、若使设计的滤波器拒绝某个频率（不让该频率信号通过）应在单位圆上相应频率处设置一个零点。2、若使设计的滤波器突出某个频率（使该频率信号尽量无衰减的通过），应在单位圆内相应的频率处设置一个极点，极点越接近单位圆，在该频率处的幅频响应幅值越大。2006电子科大硕士研究生入学考试《信号与系统》最后一道题（25分）1.稳定的LTI系统其中B为常数1.试确定H（z）画出零极点图，标明收敛域2.试求h(n)，判断因果性3.有多少种可能的信号通过系统之后产生的输出为分别写出他们的表达式4.在第3问中，如果信号是绝对可和的，则输入信号应该取哪种形式第七周课前
练习
飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习
1.求IZT：2.求IZT:
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