机械动力学-5

第五章单自由度系统的振动，用牛顿定律可建立系统的运动方程如下：§5.1单自由度系统的自由振动1、理论分析如图，是单自由度线性振动系统的模型，其中m是振动物体的质量，k是弹簧刚度，c是阻尼器的阻尼系数，F（t）是外加激振力，是在重力作用下弹簧的静变形，x是从静力平衡位置O-O量起的位移。根据质量m的受力图，注意到一、无阻尼自由振动能用线性微分方程来描述的振动系统即称为线性振动系统。§5.1单自由度系统的自由振动一、无阻尼自由振动当不存在外加激振力，且不考虑阻尼时，上式可简化为无阻尼自由振动方程这是振动的最简单情况。令则无阻尼自由振动方程可改写为λ为正实数，根据微分方程的理论，这一齐次线性微分方程的解具有如下形式：式中称为系统的圆频率，单位为rand/s。称为系统的频率，单位为Hz（赫兹）。和f的单位虽不同，但他们只和系统的固有参数有关，因此也均称为系统的固有频率。振动的周期T为单位为s。齐次线性微分方程的解还可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为式中：A称为振幅；称为初相位，单位为rad。无阻尼自由振动是一个以固有频率为频率的简谐振动。设初始时刻t=0时的位移为x0、速度为v0，则可得2、工程实例机器或结构中的构件受一静负荷后要产生变形，其内部要产生应力，分别称为静变形和静应力。而当受冲击或产生振动时，构件要产生动变形和动应力。例题在一般的质量-弹簧系统中，都认为弹簧是一个没有质量的弹性体。如果要计算的精确一些，也应计入弹簧的质量（如图）。在弹簧坐标为x处取一微元长度dx，则此微元长度的动能为式中q为弹簧单位长度的质量。弹簧上端的速度即为质量块的速度，弹簧下端的速度为零，可以认为弹簧沿高度方向的速度呈线性分布，即弹簧的动能为物体表面间的摩擦力、周围介质的阻力、材料的内摩擦等，这类阻力统称为阻尼。阻尼的性质可能很复杂，通常把它简化为所谓的粘性阻尼。粘性阻尼的特点是阻尼力的大小与速度成正比，阻尼力的方向与速度相反。采用粘性阻尼使得在数学处理上大为简化。有阻尼自由振动的运动微分方程为二、有阻尼自由振动令则有则该方程的特征根为引入量纲一的量称为阻尼比或相对阻尼系数。下面根据特征根的取值，分三种情况讨论：1、大阻尼当或时称为大阻尼。此时特征根为两个不等的负实根。方程的解为式中，。此式所标示的运动是一个非周期性的运动而不是一个振动。2、临界阻尼当或时称为临界阻尼。此时特征根为二重根，方程解为此式所表示的运动也是一个非周期性的运动。3、小阻尼当或时称为小阻尼。此时特征根为一对共轭复根。令此时方程的解为式中的待定系数A1、A2根据初始条件确定。设振动物体具有初位移x0何处速度，则系统对初始条件的响应为也可改写为式中从上面的式子可以看出，这时系统的运动为周期性的振动。其振动圆频率为，称为有阻尼振动的固有频率，它比无阻尼自由振动的固有频率略小。振幅Ae-at随时间成指数形式衰减。如图给出了这种衰减振动的响应曲线。1、理论分析在简谐激振力的作用下，系统的运动方程为§5.2单自由度系统的受迫振动一、简谐激振动作用下的受迫振动或写为式中：根据微分方程的理论，非齐次方程的全解由两部分组成：与之对应的齐次方程的通解x1和非齐次方程的特接x2。则通解为式中C1、C2为积分常数。设特解具有下列形式：由以上式子可解得B1、B2，特x2可改写为式中：B——受迫振动的振幅θ——受迫振动的响应和激振动的相位差δst——静变形λ——频率比，激振频率与固有频率之比方程的全解为取初始条件为x(0)=x0，，则可求得全解为上式就是在简谐振力作用下有阻尼受迫振动的完全响应。它由三部分组成，对应着式中的三项。第二项是与激振力无关的有阻尼自由振动，它完全取决于初始条件，在零初始条件下它不存在。第三项的振幅与激振力有关，频率等于有阻尼自由振动的频率，这一项称为伴随自由振动，在零初始条件下它也存在。只有第一项是纯粹的受迫振动，它是一个稳态的简谐振动，其频率等于激振力的频率，而相位教激振力滞后角θ。从此式可以看出，由于阻尼存在，自由振动和伴随自由振动随着时间的延续而逐渐消失，最后只剩下稳态的受迫振动。式中的后两项之和表示的振动称为稳态振动，而式中的第一项称为稳态振动。从开始振动到达受迫振动的稳态需要一个实践过程，这个过程称为过渡过程。过渡过程的长短与阻尼的大小有密切的关系。令则式中，β称为动力放大系数，它是频率比和阻尼比两个变量的函数。若将阻尼比视为参量，则可绘出对一系列值的曲线，如图a所示。因为它反映了振幅随激振力频率变化的关系，故称之为幅频特性曲线。从上图可以看出：1）当，即时，，，此频率段称为准静态。2）当，即时，，此频率段称为惯性区。3）当，即时，动力放大系数迅速增大，阻尼对动力放大系数的影响最为显著。此频率段称为共振区（或阻尼区）。此外，由于阻尼的存在，使得受迫振动的位移影响与激振力不同步，它们之间存在一个相位角角。值也与和有关，这种关系曲线称为相频特性曲线，如图b所示。2、工程实例之一：不平衡旋转质量引起的振动在通风机、电动机、水泵、离心压缩机、汽轮机等旋转机械中，由于偏心质量而引起受迫振动是很普遍的现象。例题系统的四个弹簧为并联，总刚度为K=4k=3320N/cm，固有频率为频率比为这说明此时超过共振点较远，不会发生共振。则振幅为在这个例题中，造成振动的原因是衣物不可避免地要偏离旋转中心。在水泵、磨床、内燃机等机器中，高速旋转的叶轮、砂轮轴、曲轴必须进行平衡，就是为了尽量地减小质心相对旋转中心的偏移量。3、工程实例之二：隔振问题一些机器本身是振源，要采取一些措施将机器与地基隔离开来，以减少振动对周围环境的影响，称为主动隔振。还有一种情况，振源来自外界，要使外界的振动较少地传到机器中来，以保持机器（例如精密磨床）的加工精度而采取的隔振措施，称为被动隔振。例题：在上例中加了弹簧和阻尼来减振，从而使洗衣机的振动较少地传播到周围环境中去。试分析未采取隔振措施时和采取隔振措施后洗衣机传递到地基的作用力。解：当未加隔振时（如图a），作用于地基的力就是离心惯性力，其最大值为在采取隔振措施后（如图b），洗衣机传递到地基的力有两部分：通过弹簧传递到地基的力和通过阻尼器传递的力为这两部分的频率相同，均为ω，用旋转矢量表示如图c所示。它们的合力的最大值为1、叠加原理线性微分方程描述的系统为线性系统。线性系统满足“叠加原理”。所谓叠加原理就是说，如果系统在激振力F1（t）的作用下的响应是x1（t），在激振力F2（t）作用下的响应是x2（t），则当以F1（t）、F2(t)的线性组合c1F1(t)+c2F2(t)激励系统时，系统产生的响应为c1x1（t）+c2x2（t）。其中，F1（t）、F2（t）是任意函数c1、c2为任意常数。2、用傅里叶级数法求解振动响应设激振力F（t）是一个任意的周期函数，周期为T，圆频率为。只要函数F（t）满足狄利克雷的充分条件，就能展成傅里叶级数式中a0、ak、bk为傅里叶系数，其表达式为二、周期激振力作用下的受迫振动上式也可改写为式中若系统的质量、刚度和阻尼分别为M、K和C，则此时受迫振动的微分方程为c0相当于一个静载荷，它不引起振动，而只改变系统的静平衡位置。若令则稳态响应可以写为可以由上式看出，在周期激振力作用下，系统的振动响应由无穷阶简谐振动而合成。式中的称为第k阶响应的动力放大系数为第k阶响应与第k阶激振力间的相位差例题由于函数的均值为零，系数a0=0；由于函数为奇函数，系数ak=0；系数于是，激振力函数可表达为系统的响应为3、周期性激励下的频域响应在周期性激励振力作用下，系统的谐振现象更复杂，就更需要描绘振动响应随频率变化的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。为此，可以用激振频率ω作为横坐标，以响应的峰值作为纵坐标，绘出响应的峰值随激振频率变化的曲线称为频域响应，而作为时间的函数来描述的响应称为时域响应。4、工程实例例题机床凸轮进给系统的振动如图a为机床凸轮进给系统的简化模型。m代表滑台及其上面的刀架的质量，K和c分别为切削刚度和阻尼，K1为驱动系统的刚度。凸轮使顶杆D沿水平线作周期运动，运动规律为锯齿波，如图b所示。已知凸轮的升程为h，转速为n，试求质量m的受迫振动。解：顶杆D的运动规律，也即锯齿波的方程为激励频率可以根据凸轮转速计算出激励周期为则可求出傅里叶系数三、在任意激振力作用下的受迫振动一个有阻尼的单自由度系统在任意激振力的作用下，其运动微分方程为其中，F(t)的图像如图所示，上式也可写为