绝密#启用前2023届湖北省二十一所重点中学高三第三次联考数学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈R|−1⩽x⩽2},B={x∈R|x2∈/A}.则A∩B=√√√√A.[2,2]B.(2,2]C.[−1,2]D.[−1,2)2.设复数z满足|z−1|=2|Imz|,则z在复平面上对应的点的轨迹为A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线3.若sinθ=cos3θ,则tan3θ+tanθ=11A.−B.C.1D.2224.已知α,β代表不同的平面,l1,l2代表不同的直线,则下列说法中正确的是A.若α⊥β,l1∈α,则l1⊥βB.若l1//α,l2//α,则l1//l2C.若α//β,l1∈α,l2∈β,则l1//l2D.若α⊥β,l1⊥α,l2⊥β,则l1⊥l225.设抛物线C1:y=2px(p>0)的焦点为F(1,0),点P(2,2).已知以点F,P为焦点的椭圆C√2与抛物线C1有公共点,则该椭圆的离心率的最大值为√√2255A.B.C.D.23326.图1是一个不倒翁模型,它是一种古老的中国儿童玩具,最早记载出现于唐代,一经触动就摇摆然后恢复直立状态.如图2,将图1的模型抽象成一个正圆锥和半球的组合体.已知半球的密度是圆锥的2倍,已知要让半球质量不小于圆锥质量,才能使它在一定角度范围内“不倒”,则圆锥的高和底面半径之比至多为图1图2高三数学试题第1页（共4页）1A.B.1C.2D.427.将曲线(x+y)(x−2y+1)+1=0的图像画在坐标轴上,再把坐标轴擦去(x轴水平向右,y轴竖直向上),得到的图像最有可能为ABCD2−{}∈∗8.若实数M满足:对每个满足an+1=an2的不为常数的数列an,存在kN,使得≥akM,则M的最大值为√√−1−5−1+5A.−1B.C.D.222二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知a,b∈R,4a=b2=9,则2a−b的值可能为831A.B.C.24D.3824eaeb10.已知a>b,c>d,==1.01,(1−c)ec=(1−d)ed=0.99,则a+1b+1A.a+b>0B.c+d>0C.a+d>0D.b+c>0∑66i11.已知(x+2)=aix,则i=0A.a1+a2+a3+a4+a5+a6=666B.a3=20C.a1+a3+a5>a2+a4+a6D.a1+2a0=a3+2a4+3a5+4a612.已知a≠0,a,b∈R.设命题p:过点(1,1)恰可作一条关于y=ax3+bx的切线.以下为命题p的充分条件的有A.b+a=1B.b−a=1C.a=ebD.b=ea三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.圆x2+y2−2x+3y−3=0的直径为L.14.请写出一个满足以下条件的函数f(x)的解析式L.xxf(x)为偶函数;y当x>0时,lnx⩽f(x)⩽.e15.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时,他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学、密码学高三数学试题第2页（共4页）以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数a,n(n⩾2),若存在一个整数x,使得n整除x2−a,则称a是n的一个二次剩余,否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数a,记事件A=“a与12互质”,B=“a是12的二次非剩余”,则P(A)=L.;P(B|A)=L.(a−e)·(a+e)16.已知e为平面单位向量,平面向量a满足|a−e|+2|a+e|=4,则的|a+e|最小值为L,最大值为L.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(10分)√∗已知等差数列{an}的首项a1>0,记数列{an}的前n项和为Sn(n∈N),且数列{Sn}为等差数列.{}S(1)证明:数列n为常数列;n2{}a1Sn∗(2)设数列的前n项和为Tn(n∈N),求{Tn}的通项公式.anan+118.(12分)设△ABC的内心为点I,AI与△ABC的外接圆的另一交点为点D.(1)证明:BD=ID;−→−→−−→−−→(2)若AI·ID=BC·BD,且△ABC的三边成等差数列,求cosA.19.(12分)随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面均有所建树,他证明了如下以他名字命名的离D(X)散型切比雪夫不等式:设X为离散型随机变量,则P(|X−E(X)|⩾λ)⩽,其中λ2λ为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下,对事件|X−λ|⩽λ的概率作出估计.(1)证明离散型切比雪夫不等式;(2)应用以上结论,回答下面问题:已知正整数n⩾5.在一次抽奖游戏中,有n个不透明的箱子依次编号为1,2,···,n,编号为i(1⩽i⩽n)的箱子中装有编号为0,1,···,i的i+1个大小、质地均相同的小球.主持人邀请n位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球,记从编号为i的箱子中抽取的小球高三数学试题第3页（共4页）∑nXi号码为Xi,并记X=.对任意的n,是否总能保证P(X⩽0.1n)⩾0.01(假设嘉宾i=1i和箱子数能任意多)?并证明你的结论.附:可能用到的公式(数学期望的线性性质):∑n∑n对于离散型随机变量X,X1,X2,···,Xn满足X=Xi,则有E(X)=E(Xi).i=1i=120.(12分)如图,在几何体ABCDE中,底面ABC为以AC为斜D边的等腰直角三角形.已知平面ABC⊥平面ACD,平面EABC⊥平面BCE,DE//平面ABC,AD⊥DE.(1)证明:DE⊥平面ACD;AC若AC=2CD=2设M为棱BE的中点求当几何(2),,B体ABCDE的体积取最大值时AM与CD所成角的正切值.21.(12分)√在平面直角坐标系xOy中,已知点M(−2,0),N(2,0).点A满足|AM|−|AN|=23,记点A的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设点T与点A关于原点O对称,∠MTN的角平分线为直线l,过点A作l的垂线,垂|AH|足为H,与C交于另一点B,求的最大值.|BH|22.(12分)√设函数f(x)=ax+b(a>0),g(x)=e−x,h(x)=f(x)g(x),h(x)的极大值点为x=0.(1)求b;(2)若曲线y=f(x),y=g(x)上分别存在两点A、C,B、D,使得四边形ABCD为边平行于坐标轴的矩形,求a的取值范围.高三数学试题第4页（共4页）
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