人教版必修2第三章直线与方程3.2直线的方程3.2.3直线的一般式方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b优效预习知识衔接1．直线方程的四种形式：(1)点斜式：当直线斜率k存在时，则过点P(x0，y0)的直线方程为________________；(2)斜截式：当直线斜率k存在时，设在y轴上截距为b，则直线方程为__________；[答案] x－3y＋16＝0Ax＋By＋C＝0自主预习1．直线的一般式方程(1)定义：关于x，y的二元一次方程______________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．[破疑点] AB>0时，k<0，倾斜角α为钝角；AB<0时，k>0，倾斜角α为锐角；A＝0时，k＝0，倾斜角α＝0°；B＝0时，k不存在，倾斜角α＝90°.3．直线方程五种形式的比较预习自测1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )A．A≠0B．B≠0C．A·B≠0D．A2＋B2≠0[答案] D[解析] A，B不能同时为0，则A2＋B2≠0.[答案] B[答案] C4．直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足什么条件时，这条直线有如下性质？(1)与x轴垂直；(2)与y轴垂直；(3)与x轴和y轴都相交；(4)过原点；(5)与x轴重合；(6)与y轴重合．[解析] (1)当B＝0且A≠0时，这条直线与x轴垂直．(2)当A＝0且B≠0时，这条直线与y轴垂直．(3)要使直线与x轴，y轴都相交，则它与两轴都不垂直，由(1)(2)知，当A≠0且B≠0，即当AB≠0时，这条直线与x轴和y轴都相交．(4)将x＝0，y＝0代入直线方程Ax＋By＋C＝0，得C＝0，故当C＝0时，这条直线过原点．(5)当A＝0，B≠0，C＝0时，直线方程化为y＝0，直线与x轴重合．(6)当A≠0，B＝0，C＝0时，直线方程化为x＝0，直线与y轴重合．高效课堂互动探究探究方向一：选择适当的形式写出直线的方程根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．[探究] 分析条件→选择方程形式→代入条件→整理并写成一般式[解析] (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0.(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－2，化为一般式方程为4x－y－2＝0.规律
总结
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：已知直线的斜率和直线上点的坐标时，选用点斜式；已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式；已知直线上两点坐标时，选用两点式；已知直线在x轴，y轴上的截距时，选用截距式．1.直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在y轴上的截距分别为_______.跟踪练习2.已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．[点评]熟练进行直线各种形式方程的互化，是解决直线方程问题的基本功．请自己再用点斜式求l的方程，并化为斜截式．探究方向二：平行与垂直的应用过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.例题(1)已知三直线l1∶2x－4y＋7＝0，l2∶x－2y＋5＝0，l3∶4x＋2y－1＝0，求证：l1∥l2，l1⊥l3；(2)求过点A(2,2)且分别满足下列条件的直线方程：与直线l：3x＋4y－20＝0平行；与直线l：3x＋4y－20＝0垂直．规律总结：1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0.2．直线l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．若l1⊥l2则：A1A2＋B1B2＝0；若A1A2＋B1B2＝0则l1⊥l2.若l1∥l2，则A1B2－A2B1＝0，反之若A1B2－A2B1＝0，则l1∥l2或l1与l2重合．跟踪练习1.(2010·安徽高考)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0[答案] A2.(2009·安徽高考)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0[答案] A探索延拓探究方向四：一般式的综合应用关于直线平行(垂直)的参数的求解：解决含参数的两条直线的一般式方程的平行或垂直关系时，若分类讨论，情况较多、较复杂，可尝试如下判定方法：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0.(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.以上两种判定方法避开了讨论斜率是否存在的情况，可以减少失误．已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)平行；(2)垂直．[探究]让我们仔细审题，探寻方法，可采用审题导引流程图．规律总结：两种方法各有优点：斜率法易于记忆，系数法易于操作，比较而言，当方程中含有字母时，化为一般式进行判定，可避免分类讨论．跟踪练习(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？直线l1：(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5＝0的斜率与直线l2：x－y＋1＝0的斜率相同，则m等于( )A．2或3B．2C．3D．－3误区警示易错点 忽视一般式方程中A与B的条件[错因分析] 错解忽视了当m＝2时，2m2－5m＋2＝0且－(m2－4)＝0.[思路分析] 直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0中，A与B满足的条件是A与B不能同时为0，即A2＋B2≠0.当A＝B＝0时，方程变为C＝0，不表示任何图形．[答案] C针对训练：[答案] D当堂检测2．若ac<0，bc<0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是( )[答案] C3．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝________；若l1∥l2，则b＝________.4．直线2x－4y－8＝0的斜率k＝________，在y轴上的截距b＝________.5．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线，(1)求实数m的范围．(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
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