2016秋专升本高等数学电子教案

写在教学前面的话——高等数学学习建议 1、首先，要花点时间全面浏览一下教材，了解一下高等数学这门课程主要有哪几块内容组成，每一块主要讲些什么东西。你们不是初学者，相信对高等数学不会十分陌生，即便是有些内容没有学过 2、其二，要听好课，最好不要缺课，你的自学能力再强，我看还是听老师讲一遍的效果好，有经验的老师会告诉你事情的来龙去脉，重点在哪，难点如何处理等等。断断续续的听课，高兴就来，不高兴就不来，听课内容不连续，麻烦和问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 会越积越多； 3、围绕重点多做习题。数学练习真的太多太多，要围绕重点多做些习题，重点内容所配置的习题往往包含了几个知识点，技巧性也比较高，这些习题要多做些，力求达到熟能生巧的目的； 4、对一些暂时搞不清的问题，不要急于求成一次就把它弄明白，少数问题搞不懂，少量的题目不会做，摆一摆放一放，不要紧，学到后面了回过头来，你会什么都明白了； 5、还有一点，你要善于 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf （思维导图），一个章节、一个单元学完了，你要用自己习惯的方式做好总结，主要内容有哪些？主要的公式定理？主要的计算方法等等。 微积分章节授课次序： 1、 第一章  函数、极限与连续 2、 第九章  无穷级数 3、 第二章  导数与微分 4、 第三章  导数的应用 5、 第六章  多元函数微分学 6、 第四章  不定积分 7、 第八章  微分方程 8、 第五章  定积分及其应用 9、 第七章  二重积分 第一章  函数、极限和连续 第一节  函数 一、 函数的概念 1、函数的概念： （1）函数两要素： 和 （2）判断两个函数是否为同一个函数的方法：只要两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是同一个函数。 2、单值函数和多值函数 单值函数的特点：一一对应 3、显函数和隐函数 （1）形如 的函数称为显函数。 （2）由方程 所确定的函数 称为一个隐函数。有些微分方程的通解就是隐函数。 （3）隐函数有的可以显化，如 （多值函数） 而有些隐函数不能显化，如 4、分段函数：在自变量的不同取值范围内，函数不能用一个表达式表示，而是要用两个或者两个以上的表达式表示。这样的函数称为分段函数。 5、函数的定义域通常是指使函数表达式有意义的自变量的取值范围。求函数的定义域时，一般要注意： （1）如果 ，要求 （2）如果 （ 为正整数），要求 （3）如果 ，要求 （4）如果 ，要求 （5）分段函数的定义域：是将分段函数所有的取值区间做并集。 6、函数的表示法：表示函数通常用公式法辅之以图示法（数形结合）。 例题精讲(P4-P5) 1、求下列函数的定义域： （1） （历年真题）              （2） （历年真题） （3）           （4） 二、 函数的几种常见性态（有界性、单调性、奇偶性、周期性） 1、有界性 （1）有上界： 满足 （存在常数M）上不去 （2）有下界： 满足 （存在常数m）下不来 （3）有界: 满足 （存在正常数M） 事实上： ，有界即既有上界又有下界。从图像上观察，有界函数的图形会被两条平行于x轴的直线夹在中间。 （4）无界 （5）常用有界函数： ， ， ， ， 2、单调性 （1）概念 （2）讨论函数的单调性和有界性都不能离开函数的定义区间。 3、奇偶性 （1）概念：注意奇偶函数的定义域须关于原点对称 （2）判断奇函数的方法： 或者 （3）奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇+偶=非奇非偶 奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇 （4）非奇非偶函数，即对于函数 ，存在 ，有 且 4、周期性 （1）概念 （2） 的最小正周期都是 ， 的最小正周期都是 。 、 的最小正周期都是 例题精讲 2、函数 区间在（    ）有界（历年真题） A．（0,1）  B.（0， ）  C. （1， ）    D．（1,2） 3、判断下列函数的奇偶性： （1）               （2） （3）             （4） 4、讨论下列函数的周期性，如果是周期函数，求出其周期。 （1）       （2）       （3） 三、反函数 （1）概念 （2）单调函数一定存在反函数，且原函数和反函数单调性一致。 （3）原函数和反函数的图形关于直线 对称。 （4）反函数的求法。 例题精讲 5、求函数 的反函数并指出其定义域。 四、基本初等函数 （1）要求熟练掌握基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）的表达式、定义域、值域、图像（要记忆）及4种性态。（P9-P11） （2）常见的幂函数图形： 、 、 、 、 、 。 （3）掌握指数函数、对数函数、四类三角函数 、 的图形。 （4）掌握反三角函数的定义域，主值区间和图形。根据图形记忆： （5）掌握三角函数的常用公式。 五、复合函数 （1）概念 （2）会求复合函数 （2）能正确分析复合函数复合过程（前提：熟练掌握各基本初等函数的表达式） 六、初等函数 （1）概念 （2）一般说来，分段函数不是初等函数。 例题精讲 6、已知函数 的定义域是 ，求下列函数的定义域： （1）   （2）     （3）     （4） 7、填空题： （1）设 的定义域为 ，则函数 的定义域为_____（历年真题） （2）设 的定义域为 ，则 的定义域是_________ （3）设 的定义域为 ，则 的定义域是_________ （4）设 ，则 的定义域是_________ （5）设 ，则 _________ 8、已知 ，试求 9、引入适当的中间变量，将下列函数分解为几个简单函数的复合： （1）       （2）     （3） 10、设函数 （1）做函数 的图形，并写出其定义域； （2）求复合函数 。 11、设函数 ， ，求 。 12、设 ， ， 求 。 第二节  极限的概念与运算 一、 数列极限 1、如果数列 满足 ，则称数列 收敛。否则称数列 发散。 2、如果数列 有一个子列极限不存在，或者有两个子列极限存在但不相等，则数列 发散。如数列 二、函数极限 1、 2、 3、极限值 与函数值 是否存在无关。 例题精讲（P21）  1、函数 在 处（　）． A.有定义且有极限              B.无定义但有极限  C.有定义但无极限              D.无定义且无极限 2、 ，则 ___________， ___________。 3、设函数   当 为何值时， 在点 处极限存在？ 4、若 存在，且 ，求 。 5、设 ，求 与 的值。 三、无穷小和无穷大 1、无穷小:极限为0（绝对值无限变小）的变量。记作： （判定无穷小的方法）.            特例：常数0是无穷小。 2、无穷大：绝对值无限变大的变量。记作： . 3、无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中， （1） 有限个无穷小的和、差、积以及常数和无穷小的积仍为无穷小。 （2） 有界函数和无穷小的积仍为无穷小。 （3）若 是无穷大，则 是无穷小；若 是无穷小，则 是无穷大。（判定无穷大的方法） 4、无穷小的比较 设 和 都是在自变量同一变化过程中的无穷小，且 （1） 如果 ，则称 是比 高阶的无穷小，记作 （2） 如果 ，则称 是比 低阶的无穷小。 （3）如果 ，则称 与 是同阶无穷小。 （4）如果 ，则称 是与 是等价无穷小，记作 ～ 。 5、常见的等价无穷小（记忆）：当 时， ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ,  ～ 例题精讲（P30） 6、当 时， 是 的（  ）（历年真题） A.高阶无穷小    B.低阶无穷小    C.同阶无穷小  D.等价无穷小 7、当 时，下列与 是等价无穷小量的是（  ）（历年真题） A．         B.           C.         D. 8、当 时，下列结论不正确的是（  ）（历年真题） A． ～       B. ～     C. ～   D. ～ 9、下列函数在指定的变化过程中，（　）是无穷小量。 A. 　B.   C. 　 D. 10、当 时，与 等价的无穷小是（　） A.     B.       C. 　  D. 11、当 时， 与 是等价无穷小，则 _________。 四、极限的计算方法 1、函数极限的计算公式和法则同样适用于数列极限的计算。 2、基本结果： （1） （2） （3）         （4） 3、初等函数的连续性：如果初等函数 在点 有定义，则 。 4、极限的四则运算法则（略） 基本题型I：求 ，且 在点 有定义，则 。 基本题型Ⅱ：求 ，而 在点 无定义，通过因式分解、有理化或者通分等恒等变换化简 后，回到基本题型I。 基本题型Ⅲ：求 ，分子分母同时除以 的最高次方。 可以记忆公式：当 , 为非负整数时，有 5、两个重要极限 重要极限Ⅰ ：             一般形式： （须满足 ） 重要极限Ⅱ ：       一般形式： （须满足 ） （须满足 ） 可以记忆公式： 6、有界函数与无穷小之积仍为无穷小 （1）记忆几个有界函数： ， ， ， ， （2）举例：求 解： ，又 ， 原式 。 （3）注意以下四个极限： 7、等价无穷小替换原理 （1）记忆常见的等价无穷小 当 时， ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ,  ～ （2）注意等价无穷小的一般形式 （3）在自变量同一变化过程中， 都是无穷小，且 ～ ， ～ ，如果 存在，那么      = 注意：相乘除的无穷小可以用各自的等价无穷小替换， 相加减的无穷小不能用各自的等价无穷小替换 8、极限存在准则 （1）夹逼准则 （2）单调有界收敛准则 9、洛比达法则 （1） 型未定式 设函数 和 满足：① ， ②在 的某个去心领域内 和 均可导，且 ③ （A可为有限常数也可为 ） 则有          （2） 型未定式 设函数 和 满足：① ， ②在 的某个去心领域内 和 均可导，且 ③ （A可为有限常数也可为 ） 则有          （3）如果题目须不止一次使用洛必达法则，那么每次使用法则之前都需要判断是否为 型或 型 （4）注意洛必达法则与其他极限运算法则结合起来使用 （5）其他可以化为 型或 型的未定式 ①未定式 型可以化为 型或 型 ②未定式 型可通过通分等恒等变换化为 型或 型 ③未定式 型可以利用 先化为 型，最终化为 型或 型 例题精讲 12、 （　） A．       B.       C.       D. 13、 （　） A．-1      B.       C. 1      D. 14、 ，则 （　） A．       B.       C.       D. 15、如果 都不存在，则 （　） A．一定存在  B. 一定不存在    C. 0    D. 不能确定 16、如果 ，则 _________ 17、 _________ 18、 _________（历年真题） 19、 _________（历年真题） 计算题： 20、       21、       22、   23、     24、         25、   26、             27、 28、     29、     39、 31、         32、 33、               34、         35、           36、         37、     38、 39、       40、           41、   42、       43、     44、             45、         46、       47、         48、         49、 50、           51、         52、 53、       54、 55、 （历年真题）  56、       57、 58、             59、         60、 61、 （历年真题）  62、       63、 64、           65、           66、 67、利用夹逼准则证明： 。 68、利用夹逼准则求： 。 第三节  函数的连续性 一、函数连续概念和间断点的分类 1、函数 在点 处连续： ( ) 2、函数 在点 处连续的直观意义：当自变量的改变量 很微小时，函数值的改变量 也很微小。 3、函数 在点 处连续必须同时满足三个条件（判断连续方法1）： （1）函数 在点 （的某一邻域内）有定义； （2） 存在； （3） 。 如果上述条件有一个不满足，则函数 在点 处间断，点 称为函数 的间断点。 4、左、右连续 （1） 在点 处左连续 ：   （2） 在点 处右连续 ： 在点 处连续 在点 处既左连续也右连续。（判断连续方法2） 5、间断点的分类：设点 为函数 的间断点， （1）第一类间断点： 都存在， ①可去间断点： ② 跳跃间断点： （2）第二类间断点： 不存在。 特别的，当 ，则点 称为无穷间断点 （3） 初等函数的间断点往往是无定义的点 （4） 分段函数的间断点往往是分段点，这些分段点是否为间断点要从连续性的三个条件判断。（常考题型） （5） 间断点的分类关键在于正确计算函数的左右极限 二、连续函数的运算法则和初等函数的连续性。 1、连续函数的四则运算法则 2、复合函数的连续性 设点 为 的间断点， 存在，且 在点 处连续，则 3、反函数的连续性 4、初等函数的连续性 （1）一切初等函数在其定义区间内都是连续的。即如果初等函数 在点 有定义，一定有 （2）求初等函数的连续区间就等同于求其定义区间。 三、闭区间上连续函数的性质。 1、最大值最小值定理：如果函数 在 上连续，则 在 上一定有最大值和最小值。 2、介值定理：如果函数 在 上连续，且其最大值和最小值分别为 和 ，则对于在 和 之间的任意常数 （ ）,则至少存在一点 ，使得 。 3、零点定理：如果函数 在 上连续，且 ，则至少存在一点 ，使得 。 4、利用零点定理证明方程根的存在性的步骤： （1）构造一个函数 ，说明 在 上连续； （2）计算 和 ，说明 ； （3）由以上条件根据零点定理可得结论。 例题精讲 1、函数 ，自变量 有增量 时，函数 相应的增量 =（　） A. 　    B.       C. 　    D. 2、函数 在点 处有定义是 在点 处连续的（　） A.必要条件  B.充分条件      C.充要条件      D.无关条件 3、函数 的连续区间是（　） A.   B.     C.   D. 4、设 ，则 是 的（　） A.连续点    B.可去间断点  C.跳跃间断点    D.无穷间断点 5、设函数 ，则 是（  ）（历年真题） A．可去间断点      B. 跳跃间断点      C.无穷间断点    D.连续点 6、函数 的连续区间是_________。 7、如果函数 在点 处连续，则 _________。 8、设函数 是 上的连续函数，则 _________。 9、函数 在点 处为第_________类间断点。 10、研究下列函数的连续性，如果有间断点，指出其间断点的类型 （1）           （2） （3）                   （4） 11、确定 的值，使得函数   在 处连续。 12、确定 的值，使得函数   在 处连续。 13、设分段函数  （1） 取什么值时， 是 的连续点； （2） 取什么值时， 是 的间断点； （3）当 时，求函数 的连续区间。 14、 =_________。 15、证明：方程 至少有一个根介于1和2之间。 16、证明：方程 至少有一个小于1的正根。 17、设函数 在 上连续，并且 ，证明至少存在一点 ，使得 。 18、设函数 和 在 上连续，且 ，试证：在 内至少存在一点 ，使得 。 19、设函数 在 内连续，且 ，则在 上必有一点 ，使得      第九章    无穷级数 第一节  常数项级数的概念和性质 一、 常数项级数的概念 1、 称为级数的通项， 称为级数的前n项(部分)和 2、如果 ，则称级数 收敛于S； 如果 不存在，则称级数 发散。 3、由级数定义得出判定 敛散性的步骤：（该方法仅适用于 易求的级数） （1）先求 ；（2）再求 二、常用级数公式 1、 发散。 2、记忆几何级数 三、级数的基本性质 1、如果 和 分别收敛于s和w,则级数 也收敛，收敛于 如果 收敛， 发散，则级数 一定发散 如果 和 均发散，则级数 敛散性不确定 2、 和 敛散性相同。 3、去掉、添加或者改变级数的有限项后得到的新级数与原来的级数敛散性相同。 4、如果 收敛，则 逆否命题：如果 ，则 发散。 第二节  常数项级数的概念和性质 一、正项级数的审敛法（正项级数 满足 ） （一）比较审敛法 1、 设正项级数 和 满足: （1）如果 收敛，则 也收敛；（2）如果 发散，则 也发散。 2、大的收敛则小的收敛，。 3、使用比较审敛法判断级数 敛散性的方法 （1）预判：观察 ，根据记忆的级数公式预判其敛散性； （2）如果预判 收敛，则 ，且 收敛，根据大的收敛则小的收敛。 如果预判 发散，则 ，且 发散，根据小的发散则大的发散。 4、记忆常用级数公式：P-级数 5、比较审敛法的极限形式：设正项级数 和 ，令 则当 时， 和 同时收敛或者同时发散。 例题精讲    1、判定下列级数的敛散性 （1）     （2）     （3）     （4）   （5）   （6）   （7）       （8） （9） （二）比值审敛法 1、设正项级数 ，令 ，则 （1）当 时， 收敛；（2）当 或 时， 发散； （3）当 时，级数敛散性无法确定。 2、当级数的通项 中一般含有 之类的表达式时，一般用比值判别法判定敛散性；当级数的通项 形如P-级数时，用比值判别法往往会得出 ，无法判定。 例题精讲    2、判定下列级数的敛散性 （1）     （2）     （3）   （4） 二、交错级数的审敛法 1、交错级数形如： 或者 2、莱布尼兹判别法 如果交错级数 满足：（1） （2） 则级数 收敛，且其和 。 例题精讲    3、判定 敛散性 三、 任意项级数的审敛法 1、任意项级数 中的 为任意实数。 2、判定定理1：如果级数 收敛，则级数 也收敛。 3、对于任意项级数 ，有 （1）如果级数 收敛，则级数 也收敛，此时称 绝对收敛。 （2）如果级数 发散，而级数 收敛，此时称 条件收敛。 4、判定定理2:设任意项级数 ，令 ，则 （1）当 时， 绝对收敛；（2）当 或 时， 发散。 从以上定理可知：对于任意项级数 ，如果用比值判别法判定 发散，则 一定发散。 5、任意项级数 的判定步骤。 例题精讲    4、判定下列级数的敛散性，如果收敛是绝对收敛还是条件收敛？ （1）     （2）     （2） （4）     （5） 5、P251历年真题 第三节  幂级数的收敛半径和收敛域 一、 函数项级数的概念 1、                         （1） 任取 带入（1），得到一个常数项级数： （2） 1 如果 收敛，则 成为 的收敛点，所有收敛点的集合成为 的收敛域； 2 如果 发散，则 成为 的发散点，所有发散点的集合成为 的发散域； 3 显然，收敛域U发散域=   2、举例 ：几何级数 是定义在 上的函数项级数，当 收敛，当 时发散。那么 的收敛域就是 ，在 内， ， 称为和函数。 二、 幂级数 （一）幂级数的概念 1、 或者 称为关于 的幂级数，事实上， 2、 或者 称为关于 的幂级数，事实上， （二）幂级数 的收敛域和收敛半径 1、分析：对于幂级数 ，用比值审敛法讨论 的敛散性，使得 收敛的 的取值区间就是 的收敛区间，也就是 的收敛区间。 （1）当 时， ，所以 是 的收敛点； （2）当 时，令 ，由比值审敛法 ①如果 ，无论 取何值都有 ，则 收敛，此时 的收敛域为 ②如果 ，无论 取何值都有 ，则 收敛，此时 的收敛 域仅为 。 ③如果 ， 收敛必须有 ，即 ，得 ，此时 的收敛开区间为 。而 时 的敛散性须单独讨论，从而确定收敛域的开闭。 由以上分析可知，幂级数 的收敛域是一个以原点为中心，从 到 的区间。定义 ，称 为幂级数 的收敛半径。 2、求幂级数 的收敛半径和收敛域的方法： （1）计算 （2）①当 时， ，收敛域为 ②当 时， ，收敛域为 。 ③当 时， ，此时 的收敛开区间为 。而 时 的敛散性须单独讨论，从而确定收敛域的开闭。 例题精讲    1、求幂级数 的收敛半径和收敛域 2、求幂级数 的收敛半径和收敛域 3、P256历年真题 第二章  导数与微分 第一节  导数的概念 一、导数的概念 1、函数 在点 的导数：  =       ① （1） 表示函数 相对于自变量 在 上的平均变化率， 导数 = 表示函数 在点 处的瞬时变化率。 （2） 还可记作： ， ， （3）导数定义的不同形式：      ①   ②   ③ = （4）函数 在点 的左、右导数： 左导数：  =       右导数：  =   ①函数 在点 可导 左导数 和右导数 都存在且相等。 ②左、右导数主要用于计算分段函数分界点的导数。 2、设函数 在 内可导，则函数 在 内的导（函）数： =                     ② （1） 在 内的导数可记作： ， ， ， （2） 在点 的导数 就是它的导函数 在点 处的函数值：